浙江杭州二中2025-2026学年高一下学期 数学3月周末练3

这是一份浙江杭州二中2025-2026学年高一下学期 数学3月周末练3，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、在 △ABC 中，若点 D 是 BC 边上靠近点 C 的三等分点，则 AD= ( )
A. AB−23AC B. 13AB+23AC C. 12AB+13AC D. 23AB+13AC
2、已知平面向量 a,β 满足 a=1 ， β=2 ， a⊥a−2β ，则 2a+β 的值是_____( )
A. 7 B. 7 C. 10 D. 10
3、已知向量 a,b 满足 a=1 ， b=2 ， a⋅b=−32 ，则 csa,a+b= ( )
A. −24 B. −22 C. 24 D. 22

4、如图， △ABC 中， AB=3 ， AC=1 ， D 是 BC 边中垂线上任意一点，则 AD⋅AB−AC 的值是 ( )
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4

5、已知圆 O 的半径为 13， PQ 和 MN 是圆 O 的两条动弦，若 PQ= 10, MN=24 ,则 PM+QN 的最大值是 ( )
A. 17 B. 20
C. 34 D. 48
6、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 2acs2B2=c+a ，则 △ABC 的形状为 ( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
7、在等腰 △ABC 中， BA=BC ，若点 M 为 △ABC 的垂心，且满足 BM=18BA+λBC ， 则 cs∠ABC 的值为 ( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
8、在 △ABC 中， A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 a+b=8 且 tanC2= sinB2−csB ，若 △ABC 面积为 4，则 tanC= ( )
A. 2
B. 12 C. 34 D. 43
二、多选题
9、已知 z 是复数，且 z+1z−1 为纯虚数，则 ( )
A. z=1 B. z⋅z=1
C. z 在复平面内对应的点在实轴上 D. z−2−2i 的最大值为 22+1
10、在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 sinA=sinBsinC ，则下列说法正确的是 ( )
A. S△ABC=12a2 B. tanA=b2+c2−a22a2
C. sinBsinC+sinCsinB 有最大值 5 D. a2≤45bc
11、正方形 ABCD 的边长为2, E 在 BC 上,且 BE=13BC ,如图,点 P 是以 AB 为直径的半圆上任意一点， AP=λAD+μAE ，则 ( )

A. λ 最大值为 13 B. μ 最大值为 1
C. AP⋅AE 最大值是 2103+2 D. AP+12AD 的最大值为 3+22
三、填空题
12、已知 1−i 是方程 x2+bx+c=0b,c∈R 的一个根，则 b+c= _____.
13、如图，为了测量河对岸 A,B 两点之间的距离，在河岸这边取点 C,D ，测得 ∠ADC=90∘,∠BDC=60∘,∠ACD=45∘,∠BCD=75∘,CD=100m ,设 A,B,C,D 在同一个平面内，试求 A ， B 两点之间的距离为_____；

14、已知 O 为 △ABC 的外心，若 csBsinCAB+csCsinBAC=mcsA+2AO ，则 m 的最大值为_____.
四、解答题
15、(1)计算: −23+i1+23i+21+i2026+4−8i2−−4+8i211−7i ;
(2)已知 z=1+i ，求 z2−3z+6z+1 的模.
16、如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=2,BC=4 ， ∠ADC=23π ， E 为 CD 中点， 且 AF=λAD,0≤λ≤1 .

(1)若 AE⊥BF ，求实数 λ 的值；
(2)求 BF⋅FE 的取值范围.
17、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a+3c=3bcsA ，且 △ABC 的面积为 522 .
(1)求 csB 的值；
(2)若 bsinC=22 ，求 △ABC 的周长.
18、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 且满足 3sinBsinA−csBcsA=sinC .
(1)求角 C 的大小；
(2)若 △ABC 的面积 S=103 ，内切圆的半径为 r=3 ，求 c ；
(3)若 ∠ACB 的平分线交 AB 于 D ，且 CD=2 ，求 △ABC 的面积 S 的最小值.
19、若三角形 ABC 内一点 P 满足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ ，则称 P 为三角形 ABC 的布洛卡点， θ 为三角形 ABC 的布洛卡角. 已知 a ， b ， c 分别为三角形 ABC 三个内角 A ， B,C 所对的边,点 P 为三角形 ABC 的布洛卡点, θ 为三角形 ABC 的布洛卡角.
(1)若 b=c ，足 PBPA=PCPB=3 ，求三角形 ABC 的布洛卡角的余弦值值；

(2)若三角形 ABC 的面积为 S .
①证明: a2+b2+c2=4Stanθ ；
②当 θ=π6 ， a=2 时，求面积 S 的大小.
杭州二中 2025 级高一下数学周末练 3
一、单选题
1、在 △ABC 中，若点 D 是 BC 边上靠近点 C 的三等分点，则 AD= ( )
A. AB−23AC B. 13AB+23AC C. 12AB+13AC D. 23AB+13AC
【答案】 B

如图,
AD=AB+BD=AB+23BC
=AB+23AC−AB=13AB+23AC .
故选: B .
2、已知平面向量 a,β 满足 a=1,β=2,a⊥a−2β ，则 2a+β 的值是_____▲_____ 1_____、_____
A. 7 B. 7 C. 10 D. 10
【答案】 C
由于 a⊥a−2β ,所以 0=a⋅a−2β=a2−2a⋅β ,又因为 a=1 ,故 a⋅β= 12 . 所以有 2α+β=2α+β⋅2α+β=4α2+β2+4α⋅β=4+4+2=10 .
故选: C
3、已知向量 a,b 满足 a=1,b=2,a⋅b=−32 ，则 cs⟨a,a+b⟩= ( )
A. −24 B. −22 C. 24 D. 22
【答案】 A
由模长公式 a+b=a+b2=a2+2a⋅b+b2=1+2×−32+4=2 ,
由夹角公式 cs⟨a,a+b⟩=a⋅a+baa+b=a2+a⋅baa+b=1−321×2=−24 .
故选: A
4、如图， △ABC 中， AB=3 ， AC=1 ， D 是 BC 边中垂线上任意一点，则 AD . AB−AC 的值是 ( )

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】 D
设 BC 中点为 E (如图所示)，

则 AD=AE+ED ，
所以 AD⋅AB−AC=AE+ED⋅AB−AC
=AE⋅AB−AC+ED⋅AB−AC
=AE⋅AB−AC+ED⋅CB
又 ED⊥BC ,所以 ED⋅CB=0 ,
又因为 AE=12AB+AC ,
所以 AD⋅AB−AC=12AB+AC⋅AB−AC
=12AB2−AC2=12×9−1=4 .
故选: D .
5、已知圆 O 的半径为 13， PQ 和 MN 是圆 O 的两条动弦，若 PQ=10 ， MN=24 ， 则 PM+QN 的最大值是 ( )

A. 17 B. 20 C. 34 D. 48
【答案】 C
设 O 是圆的圆心,连接 MO,OP,ON ,作 PQ⊥OE,MN⊥OD ,垂足分别为 E , D ,
则 E,D 分别是 QP,MN 的中点,由勾股定理得 OE=132−52=12 ,

OD=132−122=5,
PM+QN=OM−OP+ON−OQ
=OM+ON−OP+OQ=2OD−OE,
故 PM+QN=2OD−OE≤2OD+OE=34 ,
当 OE,OD 反向时等号成立,
所以 PM+QN 的最大值是 34 .
故选: C
6、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 2acs2B2=c+a ，则 △ABC 的形状为 ( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】 C
由正弦定理可得 2sinAcs2B2=sinC+sinA ,
所以 2sinA⋅1+csB2=sinC+sinA ,
即 sinAcsB=sinC=sinB+A=sinBcsA+csBsinA ,所以 sinBcsA=0 ,
又因为 B∈0,π ,所以 sinB≠0 ,则 csA=0 ,
又因为 A∈0,π ,所以 A=π2 .
故选: C .
7、在等腰 △ABC 中， BA=BC ，若点 M 为 △ABC 的垂心，且满足 BM=18BA+λBC ， 则 cs∠ABC 的值为 ( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】 C

如图，在等腰 △ABC 中，找底边 AC 的中点 D ，
作 BD⊥AC,BC⊥AE,BD,AE 交点 M 即为垂心,
以 D 为原点建立平面直角坐标系，
设 AC=2a,BD=b ,故 A−a,0,Ca,0,B0,b ,
故 BC=a,−b,BA=−a,−b,AC=2a,0 ,
故 BM=18BA+λBC=−18a,−18b+λa,−λb=λ−18a,−λ−18b ,
设 Mm,n ,故 BM=m,n−b ,则 m=λ−18an−b=−λ+18b ,
故 Mλ−18a,−λ+78b ,
又 BM⋅AC=0 ,故 2λ−18a2=0 ,而 a≠0 ,则 λ−18=0 ,解得 λ=18 ,
故 BM=0,−14b ,故 n−b=−14b ,解得 n=34b ,可得 M0,34b ,
易得 AM=a,34b,AM⋅BC=0 ,可得 a2−34b2=0 ,可得 b2=43a2 ,解得 b= 233a
由三线合一性质得 BD 平分 ∠ABC ,故 ∠ABC=2∠CBD ,而 tan∠CBD=ab=a233a =32 ,
由二倍角公式得 tan∠ABC=tan2∠CBD=2×321−322=43 ，故 cs∠ABC=17 ，故 C 正确.
故选: C
8、在 △ABC 中， A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 a+b=8 且 tanC2= sinB2−csB ,若 △ABC 面积为 4,则 tanC= ( )
A. 2
B. 12 C. 34 D. 43
【答案】 C
因为 tanC2=sinC2csC2=2sinC2⋅csC22cs2C2=sinC1+csC .
所以 sinC1+csC=sinB2−csB⇒sinB+sinB⋅csC=2sinC−sinC⋅csB
所以 sinB+sinB⋅csC+csB⋅sinC=2sinC⇒sinB+sinB+C=2sinC
所以 sinB+sinA=2sinC .
由正弦定理可得: a+b=2c ，又 a+b=8 ，所以 c=4 .
因为 △ABC 面积为 4，所以 12absinC=4⇒absinC=8 ①
由余弦定理可得: c2=a2+b2−2abcsC=a+b2−2ab1+csC=64−2ab1+csC ，
所以: ab1+csC=64−162=24 ②
① ÷ ②可得: sinC1+csC=13 ，即 tanC2=13 .
所以 tanC=2tanC21−tan2C2=2×131−19=34 .
故选: C
二、多选题
9、已知 z 是复数，且 z+1z−1 为纯虚数，则 ( )
A. z=1 B. z⋅z=1
C. z 在复平面内对应的点在实轴上 D. z−2−2i 的最大值为 22+1
【答案】 ABD
由题意设 z=x+yix,y∈R ,
则 z+1z−1=x+1+yix−1−yix−1+yix−1−yi=x2−1+y2−2yix−12+y2=x2−1+y2x−12+y2−2yix−12+y2 .
因为 z+1z−1 为纯虚数,
所以 x2−1+y2=0 ,且 y≠0 ,即 x2+y2=1 ,且 y≠0 .
因此 z=x2+y2=1 ,故选项 A 正确; z⋅z=x2+y2=1 ,所以故选项 B 正确;
因为 z 在复平面内对应的点为 x,y,y≠0
所以 z 在复平面内对应的点不在实轴上,故选项 C 错误;
因为 z−2−2i 表示圆 x2+y2=1y≠0 上的点到点 2,2 的距离,
且最大距离为 0−22+0−22+1=22+1 ,故选项 D 正确.
故选: ABD .
10、在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 sinA=sinBsinC ，则下列说法正确的是 ( )
A. S△ABC=12a2 B. tanA=b2+c2−a22a2
C. sinBsinC+sinCsinB 有最大值 5 D. a2≤45bc
【答案】 ACD
由 sinA=sinBsinC 及正弦定理 asinA=bsinB=csinC 得: bc=a2sinA ,
对于 A,S△ABC=12bcsinA=12×a2sinA×sinA=12a2,A 正确;
对于 B,b2+c2−a22a2=2bccsA2a2=2a2sinA⋅csA2a2=csAsinA≠tanA,B 错误;
对于 C,sinBsinC+sinCsinB=bc+cb=b2+c2bc=a2+2bccsAbc
=bcsinA+2bccsAbc=sinA+2csA=5sinA+φ ,其中锐角 φ 由 tanφ=2 确定,
因此 sinBsinC+sinCsinB 有最大值 5,C 正确；
对于 D,a2=bcsinA ,而 b2+c2≥2bc ,当且仅当 b=c 时取等号,
则 csA=b2+c2−a22bc≥1−sinA2>0 ,
两边平方得: cs2A≥1+sin2A4−sinA ，又 cs2A=1−sin2A ，
化简得: sinA5sinA−4≤0 ,且 A∈0,π,sinA∈(0,1] ,解得 sinA∈0,45 ,
所以 a2bc=bcsinAbc=sinA≤45 ,即 a2≤45bc 成立, D 正确.
故选: ACD
思路点睛: 处理三角形中的边角关系时, 一般全部化为角的关系, 或全部化为边的关系. 题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理, 出现边的二次式一般采用到余弦定理.
11、正方形 ABCD 的边长为2， E 在 BC 上，且 BE=13BC ，如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上任意一点， AP=λAD+μAE ，则 ( )

A. λ 最大值为 13 B. μ 最大值为 1
C. AP⋅AE 最大值是 2103+2 D. AP+12AD 的最大值为 3+22
【答案】 BC
以线段 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 如图,

A−1,0,B1,0,E1,23,D−1,2,C1,2 ,设 P csθ,sinθ,θ∈0,π,
则 AP=csθ+1,sinθ,AD=0,2,AE=2,23 ，由 AP=λAD+μAE ，
得 csθ+1,sinθ=λ0,2+μ2,23 ,则 csθ+1=2μsinθ=2λ+23μ ,解得 μ=csθ+12λ=3sinθ−csθ−16 ,
对于 A,λ=3sinθ−csθ−16=10sinθ−φ−16 ,其中锐角 φ 由 tanφ=13 确定,
−φ≤θ−φ≤π−φ ,则当 θ=π2+φ 时, λmax=10−16,A 错误;
对于 B,−1≤csθ≤1,μ=csθ+12≤1 ,当且仅当 θ=0 时取等号, B 正确;
对于 C,AP⋅AE=2csθ+2+23sinθ=2103sinθ+β+2 ,其中锐角 β 由 tanβ=3 确定,
φ≤θ+β≤π+β ,则当 θ=π2−β 时, AP⋅AE 取得最大值 2103+2,C 正确;
对于 D,AP+12AD=1+csθ,sinθ+1 ,则 AP+12AD=
1+csθ2+sinθ+12
=3+22sinθ+π4 ,而 θ+π4∈π4,5π4 ,当 θ=π4 时, AP+12AD 取得最大值为 2+1,D 错误.
故选: BC
三、填空题
12、已知 1−i 是方程 x2+bx+c=0b,c∈R 的一个根，则 b+c= _____.
【答案】 0
由 1−i 是方程 x2+bx+c=0b,c∈R 的一个根,得 1+i 是该方程的另一根,
则 −b=1−i+1+i=2,c=1−i1+i=2 ,解得 b=−2,c=2 ,
所以 b+c=0 .
故答案为: 0
13、如图，为了测量河对岸 A,B 两点之间的距离，在河岸这边取点 C,D ，测得 ∠ADC=90∘,∠BDC=60∘,∠ACD=45∘,∠BCD=75∘,CD=100m ,设 A,B,C,D 在同一个平面内,试求 A,B 两点之间的距离为_____；

【答案】 502m
在 △BDC 中， ∠BDC=60∘,∠BCD=75∘ ，则 ∠CBD=45∘ ，
其中 sin75∘=sin45∘+30∘=sin45∘cs30∘+cs45∘sin30∘
=22×32+22×12=6+24 ,
由正弦定理,得 BD=DCsin∠BCDsin∠CBD=100sin75∘sin45∘=503+1m ,
在 △ADC 中, ∠ADC=90∘,∠ACD=45∘ ,则 ∠DAC=45∘ ,
又 DC=100m ,则 AD=100m ,
又 ∠ADB=∠ADC−∠BDC=90∘−60∘=30∘ ,
在 △ABD 中,由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB
=1002+503+12−2×100×503+1cs30∘=5000,
所以 AB=502m .
故答案为: 502m
14、已知 O 为 △ABC 的外心，若 csBsinCAB+csCsinBAC=mcsA+2AO ，则 m 的最大值为_____.
【答案】 233/233
依题意 csBsinCAB+csCsinBAC=mcsA+2AO 两边同时乘以 AB 得:
csBsinCAB2+csCsinBACABcsA=mcsA+2⋅12AB2,
csBsinCAB+csCsinBACcsA=mcsA+2⋅12AB,
即 csBsinCsinC+csCsinBsinBcsA=mcsA+2sinC2 ,
∴csB+csAcsC=m2csA+2sinC ,
即 −csA+C+csAcsC=m2csA+2sinC ,
即 sinAsinC=m2csA+2sinC ,而 C∈0,π,sinC≠0 ,
则 sinA=m2csA+2,∴m=2sinAcsA+2=4sinA2csA23cs2A2+sin2A2=4tanA23+tan2A2= 43tanA2+tanA2≤423=233,
又 A∈0,π,A2∈0,12π,∴tanA2>0 ,
∴m=4sinA2csA23cs2A2+sin2A2=4tanA23+tan2A2=43tanA2+tanA2≤423=233 .
故 m 的最大值为 233 ,
故答案为: 233
四、解答题
15、(1)计算: −23+i1+23i+21+i2026+4−8i2−−4+8i211−7i ;
(2)已知 z=1+i ，求 z2−3z+6z+1 的模.
【答案】 10;22 .
(1) 原式 =i1+23i1+23i+21+i21013+4−8i+8i−44−8i+4−8i11−7i=i+−i 1013+0=0.
(2) z2−3z+6z+1=1+i2−31+i+62+i=3−i2+i=1−i ,
∴z2−3z+6z+1 的模为 2 .
16、如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=2,BC=4 ， ∠ADC=23π ， E 为 CD 中点， 且 AF=λAD,0≤λ≤1 .

(1)若 AE⊥BF ，求实数 λ 的值；
(2)求 BF⋅FE 的取值范围.
【答案】 1λ=13
(2) −6,2516
(1) 解: 在平行四边形 ABCD 中, AB=2,BC=AD=4,∠ADC=23π ,
∴∠BAD=π3 ，
建立如图坐标系，

则 A0,0 ， D4,0 ， B1,3 ， C5,3 ，
∵E 为 CD 中点,故 E92,32 ,
∵AF=λAD ,故 F4λ,0 ,
∴AE=92,32,BF=4λ−1,−3 ,
∵AE⊥BF,∴AE⋅BF=0 ,
所以 92×4λ−1+32×−3=0 ,
∴λ=13 ;
(2)解:由(1)可知， B1,3 ， F4λ,0 ， E92,32
所以 BF=4λ−1,−3,FE=92−4λ,32 ,
所以 BF⋅FE=4λ−192−4λ−32=−16λ2+22λ−6=−16λ−11162+2516 ,
∵0≤λ≤1
当 λ=1116 时， BF⋅FE 的最大值为 2516 ，当 λ=0 时，最小值为 -6 .
所以 BF⋅FE∈−6,2516 ;
17、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a+3c=3bcsA ，且 △ABC 的面积为 522 .
(1)求 csB 的值；
(2)若 bsinC=22 ，求 △ABC 的周长.
【答案】(1) csB=−13
(2)10
(1) 由 a+3c=3bcsA ，正弦定理可得 sinA+3sinC=3sinBcsA ，
sinA+3sinA+B=3sinBcsA, sinA+3sinAcsB+csAsinB=3sinBcsA,
sinA+3sinAcsB=0,
因为 A∈0,π ,所以 sinA>0 ,两边同时除以 sinA 得 1+3csB=0 ,
得 csB=−13 .
(2) 由 B∈0,π,csB=−13 ，得 sinB=1−cs2B=223 .
因为 S△ABC=12absinC=522 且 bsinC=22 ，所以 a=52 .
再由 S△ABC=12acsinB ,得 522=12×52×c×223 ,即 c=3 .
由余弦定理: b2=522+32−2×52×3×−13=254+9+5=814 ,得 b=92 .
因此 △ABC 的周长为 a+b+c=52+92+3=10 .
18、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 且满足 3sinBsinA−csBcsA=sinC .
(1)求角 C 的大小；
( 2 )若 △ABC 的面积 S=103 ，内切圆的半径为 r=3 ，求 c ；
(3)若 ∠ACB 的平分线交 AB 于 D ，且 CD=2 ，求 △ABC 的面积 S 的最小值.
【答案】 1C=π3
(2) c=7
(3) 433
(1) 由 3sinBsinA−csBcsA=sinC ,得 −3csA+B=sinC ,则 3csC=sinC ,即 tanC=3 ,
而 0