广东省深圳中学2026届高三二轮二阶测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份广东省深圳中学2026届高三二轮二阶测试数学试卷含解析（word版+pdf版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知 ,所以 .
2. 命题 “ ” 的否定是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“ ”为存在量词命题,该命题的否定为“ ”.
3.若 ，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,所以 ,即 ,故 A 错误;
因为 ，所以 ，故 B 错误；
由 知 ，两边同乘以正数 ，则 ，故 错误；
因为 ,所以 ,所以 ,故 正确 .
4.已知空间向量 ,则下列选项可以与 构成空间向量的一组基底的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于 ,由于基底向量不能是零向量,故 错误,
对于 ,由于 与 不共面,符合基底要求,故 正确,
对于 ,故 共面,不符合要求, 错误,
对于 ,故 共面,不符合要求, 错误.
5.已知数列 均为等差数列,且 ,则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,即 , 根据等差数列的性质可知 ,所以 .
6.在平面直角坐标系 中,如图所示,将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上,圆盘的圆心与原点重合,圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线,细线的端头 (开始时与圆盘上点 重合) 系着一支铅笔,让细线始终保持与圆相切的状态展开,切点为 ,细绳的粗细忽略不计,当 时,点 与点 之间的距离为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】展开过程中: .
7.已知函数 ,且 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 得: ,解得:
. 由 得: ,解得: .
8.已知关于 的方程 有四个互不相等的根,若这四个根在复平面上对应的点共圆,则 的取值可能是
A. -4 B. -6 C. -7 D. -9
【答案】C
【解析】因为 ,即 ,解得 ,
设所对应的两点分别为 ,则 ,
设 的解所对应的两点分别为 ,记为 ,
当 ,即 ,解得 ,即 时,
因为 关于 轴对称,且 关于 轴对称,
当 四点共线时, ,不合题意,
除此种情况,以 为顶点的四边形为矩形或等腰梯形,所以 四点共圆;
当 ,即 或 时,此时 ,且 ,
故此圆的圆心为 ,半径 ,
又圆心 到 的距离 ,解得 ,
综上可得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某校高三数学考试的预估均分与实际均分存在略微差异, 为评选 “最难人的代表”, 有同学统计了历次考试分差并得到一组数据: 7.7, 8.1, 8.2, 8.7, 9.4, 9.5, 若去掉一个最高分和一个最低分, 则
A. 这组数据的极差变小 B. 这组数据的均值不变
C. 这组数据的方差变小 D. 这组数据的第 75 百分位数不变
【答案】ABC
【解析】对于 A，原来 6 个数据的极差为 ,
去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为 ,极差变小了,故 正确;
对于 ,原来 6 个数据的均值为 ,
后来这 4 个数据的均值为 ,所以均值不变,故 正确;
对于 ,原来 6 个数据的方差为
,
后来这 4 个数据的方差为 ,
所以这组分值的方差变小,故 正确;
对于 ,因为 ,所以原来 6 个数据的第 75 百分位数为 9.4,
又 ，所以后来这 4 个数据的第 75 百分位数为 ，故 D 错误.
10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆,测得轨道的近日点(距离太阳最近的点) 与太阳中心的距离为 ,远日点 (距离太阳最远的点) 与太阳中心的距离为 ,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则
A. 轨道的焦距为 B. 轨道的离心率为
C. 轨道的短轴长为 D. 当 越大时,轨道越扁
【答案】BC
【解析】由题知 ,解得 ,
对于选项 ,因为轨道的焦距为 ,所以选项 错误,
对于选项 ,因为离心率为 ,所以选项 正确,
对于选项 ,因为轨道的短轴长为 ,所以选项 正确,
对于选项 ,因为 ,则 越大时,离心率越小,则轨道越圆,故选项 错误.
11.已知角 满足 ,则
A. 存在 在第一象限， 在第三象限B. 存在 在第一象限， 在第四象限
C. 存在 在第二象限， 在第三象限D. 存在 在第二象限， 在第四象限
【答案】BCD
【解析】因为 ,
所以 , 令 ,则 ,整理得 ,且方程有解,
有 ,作函数 图像:
则由图像可知存在 ,有 , 所以当 时, 恒成立,则 , 因此 一正一负,说明当 在第二象限时, 在四个象限均可, 当 时, 成立,此时 ,
因此 皆为负,说明当 在第一象限时, 只能在第二象限或第四象限,
综上所述, BCD 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】因为 且 ,所以 ,解得 .
13.若四面体 中， ，则四面体 的体积是_______.
【答案】2
【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示，
设 ,则 ,解得 , .
14.已知直线 与曲线 分别交于 两点，则 ________.
【答案】
【解析】设 两点的横坐标分别为 ,
由 ,得 ,故 .
因此 .
令 ,
令 , 显然 递增且 ,当 时, ; 当 时, ;
因此 ,即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图,在 中, 是边 上一点, ,记 , ,满足 .
(1)求 的值；
( 2 )若 ，求 的值 .
【解析】(1)在 中， ， .
,
,因此 .
(2)在 中，根据正弦定理得 . 又 ， ， ， .
又 ,解得 或 . .
16.数列 满足对任意的正整数 ,函数 均存在两个极值点
(1) 证明 ;
(2)若 ，求 的前 项和 .
【解析】(1)函数 定义域为 ，且 ，因为函数 有两个极值点， 在 上有两个变号零点。
令 ,解得 ,有两个不相等的正根,
.
(2)由(1)知 ,
所以
所以
.
17.如图,四棱锥 中, 且 .
(1)若平面 平面 ，证明:平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】
( 1 )证明:因为平面 平面 ，且平面 平面 ， ， 平面 ,可得 平面 ,
又 平面 ,故 ,又 ,所以
由 ,得 ,
如图 ,取 中点 ,连接 ,有 ,
又 ,所以 ,故
因为 , 平面 平面 ,所以 平面 , 又 平面 ,故平面 平面
(2)取 中点 ，以 为原点， 为 轴，过 且平行于 的直线为 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系
因为 为 的中点,所以 在平面 内.
可设 ,可得 ,
,
因为 ,所以 ,
即 ,解得 ,得 ,
,
设平面 与平面 的法向量分别为 ,
由题意可得 即
可取 ,同理可得 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,故 , 故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18.设 为实数， 是以点 为顶点，以点 为焦点的抛物线， 是以点 为圆心、半径为 1 的圆位于 轴右侧且在直线 下方的部分.
(1)求 与 的方程；
(2)若直线 被 所截得的线段的中点在 上,求 的值；
(3)是否存在 ，满足: 在 的上方，且 有两条不同的切线被 所解得的线段长相等? 若存在,求出 的取值范围; 若不存在,请说明理由.
【解析】(1) 设 ,则 ,解得 ,故 ,依题意有
(2)设 被 所截得的线段为 ，中点为 ，
联立 和 有 ,故 ,
故 代入 得:
,解得 .
(3)如图， 在 的上方时，抛物线和圆无交点，联立 和 有 且 ,解得 ,
显然, 切线斜率存在,设切线方程为 ,由 为四分之一圆知 ,
又圆心到切线的距离等于半径: ,故 ,
切线方程为 ,与 联立得 ,
设 被 所截得的线段为 ,则 ,
记 ,则 ,
记 ,则 ,
依题意有: 对给定的 使得 和 有两个交点,
由 知
使 即可,否则 在 上单调,不存在 使得 ,
而 ,故只需 ,解得 , 综上所述: .
19.数学中的等效性与对称性不仅体现在几何和函数中, 还体现在概率问题中. 已知一个不透明的罐子中有编号分别为 的 个小球 ,除编号外,小球的大小、质地完全相同. 现从中一次性随机摸出 个小球.
(1) 若 ，求这 个小球编号两两不相邻的概率；
(2)记 ， 分别为摸出的这 个小球的最大、最小编号，求 ；
(3)若 ，记 表示摸出小球的最大最小编号之差， 表示未摸出小球的最大最小编号之差,记 ,证明 .
参考公式: 已知随机变量的期望具有线性可加性,即对于随机变量 ,有.
【解析】( 1 )记事件 表示选出的小球编号不相邻，从 8 个小球中选出 3 个球共有 种选法，所选小球编号不相邻方法, 等效于将 5 个相同的小球排成一列, 从其产生的 6 个空隙选 3 个空插入 3 个小球, 共 种方法,因此 ;
(2)法一(对称法):
考虑对称变换: 将每个编号 映射为 ,则编号 变换后仍为 .
设原集合的抽样结果为 ,对 进行对称变换得到
则 .
由于抽样是均匀的, 与 有相同的概率分布,所以 与 同分布, 与 同分布,所以
,所 .
法二(组合恒等式):
① 首先计算 ,则
②再计算 ,则
所以 .
(3) 和 恰好相等的所有可能值为 .
和 恰好相等且等于 时,不同的分组方法有 2 种;
和 恰好相等且等于 时,不同的分组方法有 2 种;
和 恰好相等且等于 时,不同的分组方法有 种;
所以当 时, ; 当 时, .
下证 时, :
① 当 时， 显然成立；
② 对 ，即 ，
综上所述, 原不等式成立 .