安徽合肥市第一中学等校2025-2026学年高二下学期4月联考数学试卷A-自定义类型

这是一份安徽合肥市第一中学等校2025-2026学年高二下学期4月联考数学试卷A-自定义类型，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若函数f(x)=+a的导函数为f'(x),且f(2)=f'(2),则a=（）
A. 0B. -C. -D. -
2.在空间四边形中，分别为线段的中点，则（ ）
A. B. C. D.
3.设公差不为0的等差数列{}的前n项和为,若=20,则=（）
A. B. C. D.
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则x轴正半轴上到C的渐近线距离为2的点的横坐标为（）
A. 2B. 4C. D.
5.函数f(x)=(-3x+1)的最小值为（）
A. -eB. -C. 5D. e
6.已知正项等比数列{}的公比为q(q1),前99项和为A,数列{}的前99项和为B,则数列{}的前99项和为（）
A. B. C. -D. -
7.已知a=,b=-,c=-,则（）
A. c< b< aB. b< a< cC. a< b< cD. a< c< b
8.已知点是椭圆：上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
10.已知函数f(x)的导函数f'(x)在[-4,3]上的图象如图所示,则下列说法正确的是（）
A. f(x)在(-2,2)上单调递减B. 当x=-2时,f(x)取得极大值
C. 当x=2时,f(x)取得极小值D. f(3)是f(x)在[-4,3]上的最大值
11.若数列{}满足:存在正整数k,使得n>k时恒有+=c(c为常数),则称数列{​​​​​​​}为“k阶等和数列”,其中c为该数列的“阶和”.已知无穷数列{​​​​​​​}是“3阶等和数列”,=1,=2,=3,且“阶和”c=4,记数列{​​​​​​​}的前n项和为,则下列说法正确的是（）
A. =
B. 存在正整数m,使得=0
C. 存在无穷多个正整数p,使得=2
D. 当=|-2|,且{}的前m项和为2026时,m=3039
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=x+在x=0处的切线方程为 .
13.已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为____ _.
14.已知数列{}的前n项和满足4=6+,则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l:x+ay-2=0.
(1)若直线l':3x-y=0与l垂直,求a的值;
(2)若直线l与抛物线=2x交于A,B两点,O为坐标原点,求证:OAOB.
16.(本小题15分)
已知等差数列{}的前n项和为,且==-49.
(1)求与;
(2)若=,求{}的前n项和.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，为的中点，，点满足.
(1)求证：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x-2x+k(kR).
(1)若k=0,求f(x)在[,2]上的最小值;
(2)讨论f(x)的零点个数;
(3)若f(x)有两个不同的零点,(.
19.(本小题17分)
已知曲线：经过椭圆：（，，）的左、右顶点，，圆：（）的圆心为的一个焦点.
(1)求，的方程，并判断与的公共点个数.
(2)若，
（ⅰ）证明：上的点都在圆内；
（ⅱ）已知圆与直线分别交于点，（点在轴左侧），点（），直线，分别与交于另外一点，，当变动时，证明直线，的斜率之积为定值，且直线过定点.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）直线l'的方程为，即，知直线l'的斜率k'=3,
当时，直线可化为，斜率。
因为直线l与l'垂直，可得：kk'=-3=-1,
解得。
当时，直线l的方程为，此时直线l垂直于x轴，两直线不垂直，故不符合题意。
综上，的值为。
（2）由题意得，联立直线l与抛物线方程：
，整理得，=+16>0,
​​​​​​​设A(,),B(,),则=-4,
​​​​​​​所以=+=4-4=0,所以OAOB.
16.【答案】解：（1）设数列{}的公差为d，由==-49，
得，即，
解得=-1，d=-2，
所以=+(n-1)d=-1+(n-1)(-2)=-2n+1，
则===-；
（2）由（1）知=-2n+1，=-，
所以==1+=1+(-)，
所以=n+(1-+-++-)=n+(1-)=.
17.【答案】解：（1）如图，连接.
因为为的中点，所以，
因为，所以，
所以，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）在直三棱柱中，，
因为，，，所以，
所以，所以，，两两互相垂直.
在中，，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.

18.【答案】解：(1)当k=0时, , =,x(0,+),
令,解得,
在[,]上,在[,2]上,，
易知f(x)在[,]上单调递增,在[,2]上单调递减,
又f()-f(2)=--(2-4)=-32>-3=>0,
所以f()>f(2),f(x)在[,2]上的最小值为f(2)=2-4.
（2）由f(x)=0,得k=,
设=t,由题意知t>0,则=2t-,
所以方程k=2t-的实根个数就是f(x)的零点个数.
设g(t)=2t-,则g'(t)=2-=.
设h(t)=+2t-2,则h'(t)=4t+>0,
所以h(t)在(0,+)上单调递增,又h(1)=0,
所以当t(0,1)时,h(t)0,g(t)单调递增,
所以g(t)的最小值为g(1)=2,g(t)在(0,1),(1,+)上的取值范围都是(2,+),
所以k2时,方程k=2t-有2个实根f(x)有2个零点.
（3）设，（），则由f()=f()=0,可得
,即,
两式相减：，
整理得k=2(+)-.
要证+>,即证+>(+)-,即证>0.
因为