2026年哈师大附中高三下学期二模数学试卷及答案

这是一份2026年哈师大附中高三下学期二模数学试卷及答案，共36页。试卷主要包含了已知椭圆𝐶等内容，欢迎下载使用。
6．已知函数() = 1 3 − + 的极大值为 1，则()的极小值为（）
3
−1B．1C．− 1 3
D．1
3
7．在△?中，若内角，为锐角，满足?? = ? + ,则??的最大值为（）
??
注意事项：
2
2
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将
A．2
2
2
2
4
8．已知椭圆?: 2 + 2 = 1 ? > > 0的左、右焦点分别为 , ，为椭圆上一点，若̅̅̅̅̅̅→ = 2̅̅̅?̅̅→，
条形码粘贴在答题卡指定位置.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非
?22
̅̅̅̅̅1̅→ ⋅ ?̅̅̅̅̅2→ = 0，则?的离心率的取值范围是（）
B． 1 , 1
2
A． 1 , 1
2
121
D． 1 , 1
3
C． 1 , 1
3
选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 = { ∈ | < 7}， = {| = 2 + 1, ∈ ℤ}，则 ∩ =（）
A．{1,3}B．{1,3,5}C．{1,3,5,7}D．{3,5,7}
2．“2 + − 2 < 0”是“|| < 2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．记?为等差数列{??}的前?项和，若?3 + ?7 = 14，10 = 13，则（）
A．?5 = 7B．公差 = 1
C．23 = 1D．若? = ??cs??，则1 + 2 + ⋯ + 20 =− 10
下列说法正确的是（）
随机事件, 相互独立的充要条件是(̅) = [1 − ()] ⋅ ()
设为随机变量，则(2) = () + ()2
充要条件D．既不充分也不必要条件
3
3．已知复数是方程2 − 2 + 3 = 0 的根，则|| =（）
C．若~ 3, 1
3
，则() = 1, () = 2
2
A．
B．
C．2D．3
D．若~(1, 22)，记函数() = ( ≤ ), ∈ ，则 f (x) 的图象关于点 1, 1 对称
2
4．在三棱锥 − ?中， = ? = 3，, 分别是, ?上的点，且 = 6，: = : ? =
1: 2，则与?所成角的余弦值为（）
曲线?: |x| + || = 1( > 0)是优美的封闭曲线，其围成的面积记为，是?与轴正半轴
的交点，过原点的直线交?于点, ，则（）
− 1
B．1
C．− 1
D．1
<
4433
A． 1
2
1B．2 > 3
5．人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.
C．当 = 1 时，̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→的最大值是1
D．当 = 1时，̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ ∈ 0, 7
−
神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.σ =1
1+
于σ 表述错．误．的是（）
是最常用的激活函数，下面关
228
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
A． ?2 = 2
3
B．0 < < 1C．'
= 1 − D． 2 < 7
8
12．过1,2引直线，与圆?: − 32 + − 42 = 4 相切于，则 =．
13．函数() = ? − − 1 有两个不同的零点，则实数?的取值范围是．
14．已知向量?̅→, ̅→满足|?̅→ + ̅→| = 1, |?̅→ − ̅→| = 2，则|3?̅→ + ̅→|的最大值为．
已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道 0，下一时刻变道至车道 1 的概率
为1；若当前在车道 1，下一时刻变道至车道 0 的概率为1．
42
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知函数 = 2sin3cs − sin + 1 > 0，最小正周期的范围为3,4.
求的取值范围；
（1）已知? = 0 时刻车辆处于车道 0 的概率为4，处于车道 1 的概率为1．
55
①写出该模型的一步转移概率矩阵；
②若? = 1 时刻车辆处于车道 1，求? = 0 时刻车辆处于车道 0 的概率．
若
∈ ∗
，函数
的图象关于直线
=
对称，求
??(2 + ? )
4
的值.
（2）在第（1）问的初始概率条件下，记?? = (? = 0)，求随机变量?的分布列（结果用含?
的式子表示）．
16．（15 分）
3
四棱柱? − 11?11的底面?是菱形，且∠? = ?， = 2，侧面11是矩形，且
是11的中点.
（1）求证: 平面?1? ⊥平面?；
3
（2）若平面11与平面?所成二面角的平面角为?,1 = 3，求直线1与平面所成角的正弦值.
18．（17 分）
已知 =− 1 + ?? > 0
（1）设函数 = + ，讨论函数 的单调性；

（2）当? = 1，0 < < 时，证明：1 − ≥ ? ；

当 0 < ≤ 1 时，1 − ≤ ? ，求实数?的取值范围．
19．（17 分）
已知双曲线?：2 − 2 = 1 (? > 0, > 0)的左、右焦点分别为 , ，实轴长为 2 2，双曲线?
?2212
17.（15 分）
在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道，分别记为车道 0 和车道 1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记?为第?个时间步长车辆所在的车道（? = 0,1,2, ⋯）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于
的一条渐近线为 − = 0．
求双曲线?的标准方程；
为坐标原点，点、、是双曲线 C 上不同三点，且、两点关于轴对称，△的 外接圆经过点．
当前时刻状态，记? = (?+1 = |? = ?) ?, = 0,1 为一步转移概率，矩阵 =
00
01 为一
①求证：直线与圆2 + 2 = 1 相切；
步转移概率矩阵.
1011
②直线与渐近线交于, 两点，求 的取值范围．
2026 年 高三年级 模拟考试数学科试题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
B
D
C
D
C
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
13． (0, +∞)14． 4
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
（1）?(?) = 2 sin ? ?(√3 cs ω ? − sin ω ?) + 1
= 2√3 sin ω ? cs ω ? − 2 sin2 ω ? + 1
= √3sin(2??) + 2???(2??) = 2 sin (2?? + ?)……4 分
6
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
ACD
T2ππ
    
因为  0 ,所以 , T 3, 4，则，  .……6 分
2

  
 4 3 
f (x) π 
（2）若  N ,由（1）知  ，  ，所以  1 ，所以2 sin  2x  6  ……8 分
 4 3 
又函数 f  x 的图象关于直线? = ?对称，则2? + π = ?? + π , ? ∈ ?，解得2? = ?? + π (? ∈ ?)……10 分
623
tanπ+tanπ
则tan (2? + π) = tan (?? + π + π) = tan (π + π) = 34 = −2 − √3……13 分
434
341−tanπ⋅tanπ
34
16．（15 分）
（1）证明：取??中点为?，连接??, ??，
∵ ?, ?分别为?1?1, ??中点，且???1 ?1是矩形,
∴ ??//??1
∵ ??1//??1
∴ ??//??1
∴ ?? ⊂ 平面??1?
∴ ?? ⊥ ??……2 分
在菱形????中，
∵ ∠??? =
?, 3
∴ ?? = 2 ∵ ?为??中点, ?? = ?? = 2
∴ ?? ⊥ ??·……4 分
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??
?? ∩ ?? = ?
??, ?? ⊂ 平面???? ∴ ?? ⊥ 平面?1??? ∵ ?? ⊂ 平面????
平面??1? ⊥ 平面????··················……6 分
（2）在平面?1???内，过?作?? ⊥ ??，
∵ ?? ⊥ 平面?1???,??//??,∴ ?? ⊥平面?1???,∴ ?? ⊥ ??
∴ ?? ⊥ 平面???? ∴ ??, ??, ??两两垂直，如图建立空间直角坐标系·············……8 分则?(√3, 0,0), ?(0,2,0), ?(√3, 1,0), ?(√3, −1,0)
由（1）知?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，所以∠???为二面角? − ?? − ?1平面角，所以∠??? = 60°
又?? = ?? =
3,∴ ?(√33
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗→
3√33
1√2 , 0, 2), ∴ ??1 = ?? + ??1 = ?? + ?? = (−
, 3, )
22
?⃗⃗⃗?⃗⃗→ = (−√3, 1,0), ?⃗⃗⃗?⃗⃗⃗→ = (− √3 , −1, 3)
22
设平面???的法向量为?⃗→ = (?, ?, ?)
{?⃗→ ⊥ ?⃗⃗⃗?⃗⃗→
⇔ {?⃗→ ⋅ ?→?⃗→ = 0
−√3? + ? = 0
?⃗→ ⊥ ⃗?⃗⃗⃗?⃗⃗→
?⃗→ ⋅ ?→?⃗→ = 0
⇔ { √3
−
2
? − ? +
3令? = 1,得?⃗→ = (1, √3, √3)·……12 分
? = 0
2
−3√3+3√3+3√3
cs⟨?⃗⃗⃗⃗?⃗⃗⃗⃗1→ ，?⃗→⟩ = 22 =
√42
··……14 分
27914
√7⋅√ 4 +9+4
直线?? 与平面???所成角的正弦值为√42
··……15 分
114
17．（15 分）
113
由题意可知，从状态 0 转移到状态 1 的概率 p01  4 ，则 p00  1 4  4 .
111
从状态 1 转移到状态 0 的概率为 p10  2 ，则 p11  1 2  2 .
3
4
故一步转移概率矩阵为：? = ( 1
2
1
4
1 )4 分
2
记事件 A 为“ n  0 时刻车辆处于车道 0”，事件 B 为“ n  0 时刻车辆处于车道 1”.
已知 p( A)  0.8 ， p( A)  0.2 ，由全概率公式， p(B)  p( A) p01  p( A) p11  0.3.
由贝叶斯公式，所求概率为 p( A | B)  p( A) p01  2 .……8 分
p(B)3
记 an  p( Xn  0) ，则 p( Xn  1)  1 an .
由全概率公式及转移矩阵可得递推关系：
an1
 3 a
4 n
 1 (1 a
2n
)  1 a
4 n
 1 ，……10 分
2
212
则 an1  3  4 (an  3) ，
故数列a  2 是以 2 为首项，公比为 1 的等比数列.
3
 n
154
所以an
 2 
3
2 ( 1
15 4
)n .……12 分
故 p( Xn
 1)  1 an
 1  2
315
( 1 )
4
n .·……13 分
故随机变量 Xn 的分布列为：
··……15 分
18．（17 分）
（1）?(?) = ? ln ? + ? − 1，?′(?) = ? + 1……2 分
?
当? ≥ 0时,?′(?) > 0, ∴ ?(?)在(0, +∞)单调递增
当? < 0时,令?′(?) > 0 ⇒ ? > −?；令?′(?) < 0 ⇒ 0 < ? < −?
∴ ?(?)在(0, −?)单调递减，在(−?, +∞)单调递增·……4 分
（2）当? = 1时，原不等式⟺ 1 − ? ≥ ln ? .
−1+ln ?
当0 < ? < e时，ln ? < 1，原不等式⟺ (1 − ?)(−1 + ln ?) ≤ ln ?
Xn
0
1
P
2  2 ( 1 )n
1  2 ( 1 )n

315 4

315 4
⟺ −1 + ? − ? ln ? ≤ 0 ⟺ ln ? + 1
?
− 1 ≥ 0.·……6 分
( )1
′11
?−1
设? ?
= ln ? + ? − 1，则? (?) = ? − ?2 =
?2 .
当0 < ? < 1时，?′(?) < 0；当? > 1时，?′(?) > 0，
∴ ?(?)在(0,1)单调递减，在(1, +∞)单调递增. ∴ ?(?) ≥ ?(1) = 0.·……9 分
（3）原不等式⟺ 1 − ? ≤ln ?
−1+? ln ?
(0 < ? ≤ 1).
1
①当? < 0时，当0 < ? < e?时，−1 + ? ln ? > 0，ln ? < 0，
∴ 1 − ? > 0 >ln ?
−1+? ln ?
，不合题意.·……11 分
②当? ≥ 0时，原不等式⟺ (1 − ?)(−1 + ? ln ?) ≥ ln ? ⟺ ? − 1 − (?? − ? + 1) ln ? ≥ 0.
设ℎ(?) = ? − 1 − (?? − ? + 1) ln ? (0 < ? ≤ 1).
则ℎ′(?) = 1 − (? ln ? + ? − ?−1)，ℎ′′(?) = − ? − ?−1 = − ??+(?−1).
?
1−? − 0 = 1−?，1−? − 1 = 1−2?.
??2
?2
????
1）当? ≥ 1时，ℎ′′(?) < 0，∴ ℎ′(?)在(0,1)单调递减，∴ ℎ′(?) > ℎ′(1) = 0，
∴ ℎ(?)在(0,1]单调递增，∴ ℎ(?) ≤ ℎ(1) = 0，不合题意.·……13 分
2）当0 ≤ ? ≤ 1时，1−2? ≥ 1，∴ ℎ′′(?) > 0，∴ ℎ′(?)在(0,1)单调递增，∴ ℎ′(?) < ℎ′(1) = 0，
2?
∴ ℎ(?)在(0,1]单调递减，∴ ℎ(?) ≥ ℎ(1) = 0.·……15 分
3）当1 < ? < 1时，令ℎ′′(?) < 0 ⇒ ?? + (? − 1) > 0 ⇒ 1−? < ? < 1.
2
′( )
?
1−?′′
∴ ℎ ? 在(
?
, 1)单调递减，∴ ℎ (?) > ℎ (1) = 0.
∴ ℎ(?)在(0,1]单调递增，∴ ℎ(?) ≤ ℎ(1) = 0，不合题意.
综上，0 ≤ ? ≤ 1.·……17 分
2
19.（17 分）
22
解：（1）由已知a 2, a  b ，所以双曲线的方程为? − ? = 1．2 分
22
（2）①设?(?1, ?1), ?(?2, ?2),直线??: ? = ?? + ?，代入?2 − ?2 = 2中得
(?2 − 1)?2 + 2??? + (?2 − 2) = 0
当?2 − 1 ≠ 0且∆= 4(2?2 + ?2 − 2) > 0时，?1
+ ?2
= − 2??4 分
?2−1
2
∴ ??的中点? ( −?
? −1
, − ??
?2−1
)，∴ ??垂直平分线为? + ??
2
? −1
= −? (? +? )
?2−1
2
与?轴交点记为?，令? = 0，得? (0, − 2?? )5 分
? −1
?1√1 + ?2 ∙ √2?2 + ?2 − 2
|??| = √1 + ?2 ∙ |
?2
| , |??| =
− 1
|??| = 2
|?2
− 1|
·6 分
∵ |??| = |??|, ∴ (
−2?? 2
1
?2 − )
= (1 + ?2) (?
?2 − 1
2(1 + ?2)(2?2 + ?2 − 2)
) +(?2 − 1)2
化简得?2?2 = ?2 + ?4 − 1,即?2 = ?2 + 1,……8 分
∴ ?点到??的距离? =|?|
√1+?2
= 1 ∴直线??与圆?2 + ?2 = 1相切.……10 分
②设?(?3, ?3), ?(?4, ?4)，将? = ?? + ?代入?2 − ?2 = 0中得(?2 − 1)?2 + 2??? + ?2 = 0
当?2 − 1 ≠ 0且∆1= 4?2[?2 − (?2 − 1)] = 4?2，
2??
?2
?3 + ?4 = − ?2 − 1 , ?3 ∙ ?4 = ?2 − 1
|??| = √1 + ?2 ∙ |? − ? | = √1 + ?2 ∙ 2|?|
……12 分
34|?2−1|
由①知|??| = 2√1+?2∙√2?2+?2−2
|?2−1|
∴ |??| = √3?2−4 = √3 − 4
··……14 分
|??|
?2
?2
又∵ ?2 − 1 = ?2 − 2 ≠ 0且∆= 4(2?2 + ?2 − 2) = 4(3?2 − 4) > 0·……15 分
∴ ?2 > 4且?2 ≠ 2,∴ |??| ∈ (0,1) ∪ (1, √3)……17 分
3|??|