2026聊城高三下学期一模试题数学含解析

这是一份2026聊城高三下学期一模试题数学含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
4．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
5．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．有一种玻璃材质的高脚杯，杯内壁的轴截面可视为椭圆的一部分，如图所示，杯体最粗处直径为，杯口直径为，杯深，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（ ）
A．第一组数据的平均数为4B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9D．将两组数据合并后数据的方差是30
10．若角的终边经过点，定义角的函数为：，则（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．当时，
11．如图长方形，，，点C，F，D，E是所在边和上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得，重合，，重合，，重合，，重合，得到六面体，其直观图如图所示，则（ ）
A．该六面体的体积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．二面角的余弦值为
D．该六面体内能装下的最大的球的表面积为
三、填空题
12．的展开式中的系数是____________．
13．已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________．
14．已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________．
四、解答题
15．如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为．
(1)证明：平面；
(2)是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值．
16．某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表：
(1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数；
(2)该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上山、下山的方式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客了解其下山方式，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列和期望．
附：参考数据：，，．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17．已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，以线段为直径作圆，该圆是否恒过上一定点？若是，求出该点坐标；若否，请说明理由．
18．已知数列满足.
(1)求的前n项和；
(2)记数列的前n项和为，若．
（i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；
（ii）求数列的前n项和．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围；
(3)若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且．
第x天
1
2
3
4
5
接待游客人数y（万人）
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9
参考答案
1．D
【详解】由集合，则满足，解得，
所以，可得，
因为，所以.
2．C
【详解】，
所以.
3．D
【详解】对于A，函数在上单调递增；
对于B，函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
对于C，因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增；
对于D，因为函数和在上单调递减，
所以函数在上单调递减.
4．A
【详解】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
5．C
【详解】设，不妨取渐近线的方程为，
则，又，故，
因为，的面积为6，
所以，解得
所以的渐近线的斜率为.
6．A
【详解】圆，圆心为，半径，
到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径，
圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切，
有，或，
当时，化简得，解得或；
当时，化简得，方程无解，
则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或，
所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件.
7．B
【详解】作杯内壁的轴截面如图，建立如图所示的平面直角坐标系.
设椭圆的标准方程为，
由题意：，
当时，则，所以对应第一象限内点的纵坐标为.
因为杯深，所以.
所以椭圆的离心率为：.
8．C
【详解】，，
，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，，，
在中，，
，，
，，
，，
，，，
是边上一点，.
9．ACD
【详解】设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
由题意知，，
则有，解得第一组的平均数为，故选项A正确；
第二组的方差为，故选项B错误；
将两组数据合并后数据的平均数是，故选项C正确；
第一组样本数据的方差，
即，
即，
即，
，
，
则两组数据合并后数据的方差是
，
，
，
则两组数据合并后数据的方差
，故选项D正确.
10．AB
【详解】令坐标原点为，设，，则，所以.
化简函数，.
最后判断选项：
A：，正确；
B：，正确；
C：，函数为奇函数，错误；
D：，，错误.
11．BCD
【详解】根据题意，在六面体中，
，
故此六面体由两个全等的三棱锥构成，
又，，
同理可得，
又平面，
平面，
，故A错误；
如图，以为原点建立空间直角坐标系，并连接交平面于，
则，
又为等边三角形，且六面体关于平面对称，
，，
则，，
，直线与所成角的余弦值为，故B正确；
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
则，不妨取，则，
，又二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为，故C正确；
该六面体内能装下的最大的球为其内切球，设半径为，六面体表面积为，
，
，即，解得，表面积为，
即该六面体内能装下的最大的球的表面积为，故D正确．
12．
【详解】表示5个因式的乘积，
的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1，
此时的系数为，
的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1，
此时的系数为，
所以展开式中的系数为.
13．/
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
所以，
所以函数的周期为，
所以，
由题意知，，
即，
解得.
14．3
【详解】由.
所以.
如图：
取中点为，连接，则.
所以.
因为为的外心，所以.
由.
又根据余弦定理，.
因为，
所以
.
当时，取得最大值，为，所以的最大值为.
15．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由已知点为线段的中点，点为线段的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，
所以，所以，
由已知，，，，，
因为是该圆柱的母线，所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
故平面，又平面，
所以，，
又为圆的直径，为圆上异于，的点，
所以，
以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则，故，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)；8.8万人.
(2)分布列见解析，数学期望为3.
【详解】（1）由题，又，，，，
所以 ，
因此关于的经验回归方程为，
将代入回归方程得，即预测第7天接待游客人数为8.8万人.
（2）设事件为“游客步行下山”，事件为“游客步行上山”，事件为“游客乘观览车上山”，
根据全概率公式可得每位游客步行下山的概率为，
所以由题意，的可能取值为
，，
，，
，
因此的分布列为：
所以期望为.
17．(1)
(2)过定点；定点坐标为
【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为，
因为点在抛物线上，可得，解得，
又因为，根据抛物线的定义，可得，即，
整理得，解得或，
因为，所以，所以抛物线的方程为.
（2）解：设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则，
，
假设以线段为直径的圆恒过上的点，则，
因为，且，
所以，
整理得，
因为，所以，
两边同时除以，可得，
即，即，
将代入上式，可得，
整理得，
因为上式对任意恒成立，所以，解得，
当时，可得，
所以以线段为直径的圆恒过抛物线上一定点.
18．(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）
【详解】（1）当时，；
当时，，
显然满足上式，则.
（2）（i）由，
当时，，即；
当时，，则，
即，则，即，
所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，
则，即.
由（1）知，，
由（i）知，，
则
，
所以
.
19．(1)
答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1），
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，恒成立，即，移项可得，
令， ，
令，，，
①时，又，所以，
令，，
令，，
在单调递减，，即，
在单调递减，，
即，故时符合题意；
②当时，，
故，时，，单调递增，，
时，，单调递增，，
故时不符合题意；
综上，的取值范围是；
（3）证明：因为有最大值，所以，
，解得．
当时，，，
已知曲线在点处的切线方程为，
则切线斜率，又，
根据点斜式方程可得切线方程为，
即．
令，则．
，
令，，
当时，又，，，
即，在单调递增，，
故此时不存在使；
当时，，解得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
又时，，，，
，使得，
则当时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
又时，，，，
使得，即，
综上，当时，存在使，且．0
1
2
3
4