河北省保定市六校联考2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学（含解析）

这是一份河北省保定市六校联考2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学（含解析），共23页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章~第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【详解】由，得，则，所以．
故选：D
2. 已知一组数据满足线性回归关系，且经验回归方程为，若，则（ ）
A. 30B. 60C. 630D. 1200
【答案】D
【详解】易知样本数据的中心点在回归直线方程上，
易知，所以，
即，可得.
故选：D
3. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 240B. C. 160D.
【答案】D
【详解】展开式的通项公式为：
.
令的次数为0，则.
将代入通项公式中，可得：
.
故选：D.
4. 篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ）
A. 1.2B. 2.4C. 2.16D. 2.52
【答案】C
【详解】由已知可得，的分布列为
所以，，
.
故选：C.
5. 抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件B：“两枚骰子的点数之和是6”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】事件含有的基本事件数为，
事件含有红1蓝5和红2蓝4两个基本事件，
所以．
故选：C
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以等价于，
因为幂函数在和上单调递减且时，，时，
所以等价于或或，
当，时，
但不能推出或或，
所以充分性不成立，
当，时，但不能推出，
所以必要性不成立．
综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
7. 一只智能玩具狗在起点处，每次向前或向后跳动一个单位长度，且每次向前、向后跳动的概率均为，记第6次跳动后到起点处的距离为个单位长度，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意知的取值依次为0，2，4，6，其中
，
所以．
故选：D.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，即，所以，即；
令，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，即，所以，即.
所以.
故选:.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，0.72，，0.85，则正相关的变量x，y所对应的线性相关系数是（ ）
A. B. 0.72C. D. 0.85
【答案】BD
【详解】若线性相关系数是正数，则变量x，y正相关．
所以0.72，0.85符合题意，
故选:
10. 学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（ ）
A. 不选主食的方法种数为30B. 主食和配菜都选的方法种数为12
C. 配菜至少选1种的方法种数为54D. 主食，配菜只选2种的方法种数为21
【答案】ABD
【详解】对于A，不选主食的方法种数为，A正确；
对于B，主食和配菜都选的方法种数为，B正确；
对于C，配菜至少选1种的方法种数为，C错误；
对于D，主食，配菜只选2种的方法种数为，D正确．
故选：ABD．
11. 若函数的两个极值点分别为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【详解】由题意知，在上有2个不同的根，
即等价于在上有2个不同交点．
令，则，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，当时，，当时，，
所以当时，与在上有2个不同的交点，且，故A正确，B错误；
对于C，由题意知，，
所以，
又因为，所以，则，故C正确；
对于D，设，所以，
解得，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的图象在处的切线方程是____________．
【答案】
【详解】由已知，得，所以，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：.
13. 若，则的值被4除的余数为__________．
【答案】3
【详解】令，得，
因为，
所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，
当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，
所以，
又，
故被4除余3．
故答案为：.
14. 已知，且，则的最小值为________．
【答案】7
【详解】因为，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为7．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人从左到右排成一排拍照，求甲不在正中间，乙不在排头的排法种数．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为．
【小问2详解】
方法一：5人随机排有种排法，其中甲在正中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在正中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法．
综上所述，甲不在正中间，乙不在排头排法种数共有种．
方法二：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头排法种数共有种.
16. 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表：
（1）完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？
（2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中，
【答案】（1）列联表见解析，有关联；
（2）分布列见解析，.
【小问1详解】
列联表如下：
零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联．
因为，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001．
【小问2详解】
由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人，
在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人．
所以的可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以，
，
故的分布列为：
所以.
17. 已知函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若，当时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【小问1详解】
方法一：由为奇函数，得，
即，
则，即，整理得，
由上式对定义域内一切x都成立，得，解得或，
当时，的定义域为，关于原点对称，，满足为奇函数；
当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数，
所以.
方法二：当时，的定义域为，关于原点对称，
由为奇函数，得，即，解得，
当时，，，
因此，奇函数，满足题意，
当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，定义域为，
当时，函数单调递减，且，则，
令，则，恒成立等价于恒成立，
当时，，当时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，因此，
所以m的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存在零点，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
的定义域为，，
当时，因，所以恒成立，即在为单调递减函数；
当时，令，所以当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数，
综上，当时， 在为单调递减函数；
当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数.
【小问2详解】
当时，，，，
则，
令，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
因为存在零点，所以，
即实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）可得，当时，，
令，则，
所以
，
即，
两边同时取指数可得，
又上式中，所以.
19. 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Pissn（），则其概率分布为．
（1）当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则，
（2）若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算：
①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：）
②求使得最大时的值．
（3）若Pissn（），求证：当时，．
【答案】（1）0.8186；
（2）①0.225；②，或
（3）证明见解析
【小问1详解】
因为Pissn（），且，可近似地认为，即，
所以
；
【小问2详解】
①由题知Pissn（），其中，
．
②，
所以，
当时，，当时，，当时，，
所以
所以当，或时，最大．
【小问3详解】
因为Pissn（），所以，
由泊松分布的概率公式，得，
所以，
要证当时，，只要证当时，．
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以只要证，
因为，所以只需证，
令，则对任意的恒成立，
所以在上单调递减，且，
所以，所以，
所以当时，.0
3
近视学生
非近视学生
合计
每天使用时长不低于2小时
105
250
每天使用时长低于2小时
合计
175
400
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
近视学生
非近视学生
合计
每天使用时长不低于2小时
145
105
250
每天使用时长低于2小时
30
120
150
合计
175
225
400
0
1
2
3
4
5