2025-2026学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷（含解析），共2页。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知角的终边过点且，则（ ）
A．3B．4C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．设，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知：，，且，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．函数的定义域为，，
B．在，，上是减函数
C．已知函数是奇函数，则
D．函数的最大值为
8．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．若，，则
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
（多选）11．（6分）已知函数对任意，，总有，当时，，若（1），则下列选项正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．D．在，上的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数是幂函数，则（2） ．
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
14．已知函数在上恰有奇数个零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数的定义域为集合，集合．
（1）求，；
（2）若集合，，求实数的取值范围．
16．（15分）已知．
（1）求，的值；
（2）若为锐角，求的值．
17．（15分）已知函数．
（1）根据定义研究的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（17分）在高等数学中，将四个数按照一定顺序排成两行两列（横排称行，竖排称列）的数表，表达式称为此数表的二阶行列式，并记作，即．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数在上是减函数，求的取值范围；
（3）已知函数在上的最大值为2，求实数的值．
19．（17分）已知函数且，．
（1）求实数的值；
（2）若，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知且，设，且，问是否存在实数，使得函数在，上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
解：由集合，，
把两集合的的范围画在数轴上，如图所示：
则．
故选：．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
3．已知角的终边过点且，则（ ）
A．3B．4C．D．
解：根据题意，可知，
因为，所以，结合，解得．
故选：．
4．已知函数，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：函数，
则，
因为，所以，
故．
故选：．
5．设，则（ ）
A．B．C．D．
解：由题意可得，
又，，所以，，
所以．
故选：．
6．已知：，，且，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
解：，，且，
，
当且仅当时取等号，
由解得，
的最小值是，
故选：．
7．下列命题正确的是（ ）
A．函数的定义域为，，
B．在，，上是减函数
C．已知函数是奇函数，则
D．函数的最大值为
解：对于，若函数有意义，则满足，解得且，所以不正确；
对于，由函数，可得在，上是减函数，所以不正确；
对于，由，当时，可得，则，
因为为奇函数，，
所以当时，，所以正确；
对于，因为，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最大值为，所以错误．
故选：．
8．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．
解：因为对任意实数，总存在实数，使得，
所以函数的值域为，
设，则能取所有正数，
当时，，此时的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得：实数的取值范围是，．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
解：对于，由，可得，正确；
对于，由，因为，可得，但的符号不确定，错误；
对于，因为，可得，
由，
所以，正确；
对于，由，因为且，可得，，
所以，即，不正确．
故选：．
（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．若，，则
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
解：由图知，最小正周期，
所以，
由图知，函数的图象过点，，
所以，
所以，即，
又，所以，
所以，
由，得，
所以，
选项，因为，
所以的图象关于直线对称，故选项正确；
选项，，故选项正确；
选项，令，则，
所以或，
解得或，
因为，，
所以，故选项错误；
选项，将函数的图象向左平移个单位长度可得，故选项正确．
故选：．
（多选）11．（6分）已知函数对任意，，总有，当时，，若（1），则下列选项正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．D．在，上的最小值为
解：因为函数对任意，，总有，
又当时，，（1），
所以逐一分析各个选项如下：
对于，令，可得，可得，
所以，即，
因为（1），
所以（1），所以，
令，，可得，
所以，所以错误；
对于，令，则，
因为，所以，
所以函数为奇函数，即为奇函数，所以正确；
对于，因为，
所以，
由，可得，
将代入上式，整理得，
又由，可得，
将代入上式，整理得，所以正确；
对于，设，且，则，
因为当时，，所以，
又由，
则，即，
所以函数在上为减函数，所以在，上的最小值为（5），
则（5）（4）（1）（1）（3）（1）
（1）（2）（1）（1）
（1）（1）（1），
因为（1），所以（5），所以正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数是幂函数，则（2） 8 ．
解：函数是幂函数，
，，，
故（2）．
故答案为：8．
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为， ．
解：因为在上单调递增，
所以，解得．
故答案为：，．
14．已知函数在上恰有奇数个零点，则 ．
解：即为，
令，则，
因为△，方程有两个不同的实数根和，
且，设，
又的最小正周期为，的长度为，
设为在内的零点个数，为在上的零点个数，
则的零点总个数为，且为奇数，
当时，，，
在内，有2个解，均在上，有2个解，均在上，
所以，，，不符合题意；
当时，，，
在内，有1个解，在有2个解，且均在上，
则，，，不符合题意；
当时，，，
在内，无解，在有2个解，且都在区间上，
则，，，不符合题意；
当时，，，
在内，有2个解，有1个解，且为，
则，，，符合题意；
当时，，，
在内，有2解，均在上，无解，
则，，可得，不符合题意，
综上可得，实数的值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数的定义域为集合，集合．
（1）求，；
（2）若集合，，求实数的取值范围．
解：（1）由得，集合，
因为等价于，即，
则，解得，所以集合，，
所以，因为，，所以，；
（2）若，得，解得，
此时满足，符合题意；
若，要使，
则，解得；
综上，的取值范围是．
16．（15分）已知．
（1）求，的值；
（2）若为锐角，求的值．
解：（1）根据，可得，
所以，
可得，，
所以．
（2）根据，且为锐角，可得，
所以，
可得
．
17．（15分）已知函数．
（1）根据定义研究的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）设，，且，
所以，
，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减；
（2）因为函数定义域为关于原点对称，
，
所以函数是定义在上的奇函数，
所以，得，
由（1）可得，解得，
所以实数的取值范围是．
18．（17分）在高等数学中，将四个数按照一定顺序排成两行两列（横排称行，竖排称列）的数表，表达式称为此数表的二阶行列式，并记作，即．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数在上是减函数，求的取值范围；
（3）已知函数在上的最大值为2，求实数的值．
解：（1）由
，
，
所以函数的最小正周期为；
（2）由（1）知，
令，解得，
因为在上是减函数，
所以，
当时，，
则有，解得，
因为，
所以，
可得的取值范围为；
（3）由（1）知，
且，
所以
，
令，则，
因为，可得，所以，
所以，
可得函数的图像开口向下，对称轴为，
当时，即时，，
由，解得，不合题意，舍去；
当时，即时，，
由，可得，解得或，所以；
当时，即时，，由，解得，
综上可得，实数的值为或6．
19．（17分）已知函数且，．
（1）求实数的值；
（2）若，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知且，设，且，问是否存在实数，使得函数在，上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由函数，可得，
因为，可得，
即恒成立，所以，解得．
（2）由（1）知：，则，即，
因为且，所以，可得，所以，
因为对任意，都有恒成立，
即在，上恒成立，
即在，上恒成立，
令，则对于任意，上恒成立，
因为，
令，则，
又因为在上的单调递减函数，在上的单调递增函数，
所以函数在上的单调递减函数，
要使得，则，
因为的图像开口向上，且对称轴为，
所以当或时，求得最大值，
当时，；当时，，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
（3）不存在，理由如下：
由，可得，即，所以，
整理得，解得或，
因为，所以，则，且是上的单调递增函数，
当，时，可得，
所以，令，则，所以，
令，则，
当时，在为单调递减函数，
要使得在，上的最大值为0，则在上的最小值为1，
因为的图像开口向上，且对称轴为，
所以在上单调递增，可得，
解得，不符合题意，舍去；
当时，在为单调递增函数，
要使得在，上的最大值为0，则在上的最大值为1，
因为的图像开口向上，且对称轴为，且，
①当时，即时，，解得，
可得，可得，不符合题意，舍去；
②当时，即时，，解得，舍去；
所以不存在实数，使得函数在，上的最大值为0．