2026高考数学二轮复习讲义第十七章 圆锥曲线解答题策略（教师版+学生版）

这是一份2026高考数学二轮复习讲义第十七章 圆锥曲线解答题策略（教师版+学生版），共7页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，典例2-1，典例2-2，变式2-1，典例3-1，典例3-2等内容，欢迎下载使用。
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
6、已知点是椭圆上一个定点，椭圆上有两动点、
（1）若直线，则直线过定点
（2）若直线，则直线斜率为定值；
（3）若直线，则直线过定点
（4）若直线，则直线斜率为定值；
（5）当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；
7、过双曲线上任一点，、为双曲线上两动点
（1）若，则直线恒过定点．
（2）若直线，则直线斜率为定值；
（3）若，则直线恒过定点．
（4）若直线，则直线斜率为定值；
（5）当直线过定点为原点时，则有（第三定义）；
8、过抛物线上任一点引两条弦、，
（1）若，则直线恒过定点．（2018全国一卷文科）
（2）若，则直线恒过定点．
（3）若直线，则直线斜率为定值则．
经典真题回顾
1．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
3．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
5．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
8．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
考点一：轨迹方程
解题思路
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【典例1-1】一动圆与圆外切，与圆内切． 设动圆圆心的轨迹为
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线分别交于两点，以为直径的圆过坐标原点O，动点在上，且成等比数列，求动点的轨迹方程．
【典例1-2】线段的长为3，端点分别在轴和轴上运动，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)曲线与轴的左右两个交点分别为为上异于的动点.过点分别作直线，直线，其中与曲线交于两点，交直线于点，点满足.
①求点的轨迹方程；
②的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【变式1-1】过点的直线与抛物线交于点M，N，且当直线恰好过抛物线C的焦点F时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q在线段MN上（异于端点），且，求点Q的轨迹方程．
高考预测
1．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时，
（ⅰ）求证：为定值
（ⅱ）求动点的轨迹方程．
考点二：向量塔桥进行翻译
解题思路
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【典例2-1】在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，．
(1)求所在椭圆的离心率；
(2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标；
(3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【典例2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．
(1)当时，求的值；
(2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．
【变式2-1】已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若分别是的左､右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围.
高考预测
1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：；
(3)若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率.
考点三：弦长、面积背景的条件翻译
解题思路
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．
【典例3-1】已知两定点，，动点P满足
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程.
【典例3-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现过圆上任意一点作双曲线的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.如图，过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于异于点的，两点，，且的周长为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过双曲线的右焦点的直线与交于，两点（异于顶点），线段的中垂线与轴交于一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式3-1】已知圆A：，圆B：，圆C与圆A、圆B都外切，记圆心C的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)过点的直线交E于M，N两点，与直线交于点T，过点T作x轴的平行线l，直线OM，ON与直线l分别交于S，Q两点，证明：与的面积相等．
高考预测
1．对于椭圆：（），我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍.
(1)求椭圆C伴随双曲线的方程；
(2)点F为的上焦点，过F的直线l与上支交于A，B两点，设的面积为S，（其中O为坐标原点）.若，求的值.
考点四：斜率之和差商积问题
解题思路
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【典例4-1】已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，和的面积分别为，，记
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标；
(3)若，设直线AP和直线BQ的斜率分别为，，求的取值范围．
【典例4-2】已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值.
【变式4-1】已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点.
(1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.
高考预测
1．已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值.
考点五：弦长、面积范围与最值问题
解题思路
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于，有以下三种常见的表达式：
①（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②（横截距已知的条件下使用）
③（纵截距已知的条件下使用）
【典例5-1】已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2.
(1)求的方程；
(2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值.
【典例5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且⊥，垂足为.

(1)求点的轨迹方程；
(2)证明：当的斜率存在且时，、弦长的倒数和为定值；
(3)求四边形的面积的最小值.
【变式5-1】已知曲线，从上任意不在轴上的一点向轴作垂线，为垂足，是线段的中点.
(1)求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)已知，若为轨迹上位于轴同侧的两点，且共线，求四边形面积的最大值.
高考预测
1．已知双曲线的离心率为，焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围．
考点六：定值问题
解题思路
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【典例6-1】平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若点C为，过的直线l与点的轨迹交于A，B两点（A，B与C不重合），直线，与直线交于点，．证明：以为直径的圆在上截得的弦长为定值．
【典例6-2】已知椭圆的焦距为2，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
【变式6-1】已知双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的一条渐近线的斜率为，且的一个焦点到其渐近线距离为2.
(1)求的方程；
(2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值.
高考预测
1．定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”.
结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点.
(1)求；
(2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点；
(3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值.
考点七：中点弦与对称问题
解题思路
对于中点弦问题常用点差法解决．
【典例7-1】设椭圆.已知点，在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点（在右侧），且与线段交于点.
（i）证明：；
（ii）当为中点时，求直线的方程.

【典例7-2】已知椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
【变式7-1】已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
高考预测
1．已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
考点八：定点问题
解题思路
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
【典例8-1】材料：椭圆上点处的切线方程可化为，抛物线上点处的切线方程可化为．
问题：已知椭圆上点处的切线为，且抛物线与相切．
(1)求切线的方程．
(2)求抛物线的方程．
(3)已知定点，不过点的直线与抛物线恒有两个不同交点，且与其准线交于点（点不在轴上）．若直线的斜率分别是，且成等差数列，证明：直线恒过定点．
【典例8-2】已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点.
【变式8-1】已知椭圆（）的焦距为2，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
高考预测
1．已知椭圆过点，离心率为，一条直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.
考点九：三点共线问题
解题思路
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．
【典例9-1】已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值.
【典例9-2】已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线.
【变式9-1】椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，过点的动直线与椭圆相交于P，Q两点，当直线的斜率为1时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AP与直线的交点为，是否存在定实数，使Q，B，N三点共线?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
高考预测
1．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆交于不同两点；
①若，求直线的方程．
②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线.
考点十：四点共圆问题
解题思路
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【典例10-1】在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求；
(3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：.
【典例10-2】已知椭圆T：的右焦点为，直线l：与椭圆T相切．
(1)求椭圆T的方程；
(2)过点作与x轴平行的直线交椭圆T于M，N两点，直线PE与y轴交于点Q，证明：M，N，E，Q四点共圆．
【变式10-1】已知椭圆，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且．
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意两点
①若点，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设和的面积分别为，，若，求线段MN的长度；
②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段的长度不大于．
高考预测
1．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P．
(1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明；
(2)证明：点P必在直线上；
(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．
考点十一：切线问题
解题思路
（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．
（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．
（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
【典例11-1】平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求，的方程；
(2)点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由．
【典例11-2】给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l为抛物线的切线，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.运用上述材料解决以下问题.已知过抛物线的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，过A，B两点分别作C的切线，两切线交点为M.
(1)当线段AB中点的纵坐标为时，求直线l的斜率；
(2)求的值；
(3)若点D与点F关于原点对称，过点D作直线与C相交于不同的两点P，Q，分别过P，Q作C的切线，两切线相交于点R，问：是否存在直线，使得与的面积相等？若存在，求出的方程；若不存在，试说明理由.
【变式11-1】已知椭圆的短轴长为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆外的一点，过作两条直线与椭圆相切，且这两条直线互相垂直，求点的轨迹方程；
(3)过平面上一点作（2）中的轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为.依此类推，过平面上一点作轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为.在每条轨迹方程上任取三个点，且使得均为钝角（为坐标原点）.求证：
高考预测
1．如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
(3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围.
考点十二：定比点差法
解题思路
定比点差法是一种在解析几何中常用的方法，特别是在处理圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）上的特定点时非常有效。该方法通过设定一个定点与曲线上任意两点之间的比值关系，结合点差法，可以简化计算过程，快速求解出所需参数或几何量。
【典例12-1】已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
【典例12-2】过的直线与椭圆交于P，Q，过P作轴且与椭圆交于另一点N，F为椭圆的右焦点，若，求证：
【变式12-1】已知椭圆，点，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．
高考预测
1．在平面直角坐标系xy中，已知椭圆C:=1(a> b>0 )的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为
（1）求a，b的值
（2）当过点P(6，0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得=，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
考点十三：齐次化
解题思路
齐次化处理圆锥曲线是一种数学技巧，旨在将圆锥曲线的非齐次方程通过变量替换或坐标变换转化为齐次方程。这种处理可以简化问题的复杂度，使得后续的求解过程更为直观和高效，常用于解决与圆锥曲线相关的几何问题。
【典例13-1】已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
【典例13-2】如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于､两点(在的上方)，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点､是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
【变式13-1】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．
高考预测
1．已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点.
(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；
(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.
考点十四：极点极线问题
解题思路
极点极线问题通常涉及圆锥曲线的特殊点和线。解决方法包括利用圆锥曲线的性质和定义，通过设定极点和极线的关系，运用几何和代数方法求解。关键在于理解极点和极线的几何意义，并灵活运用相关公式和定理。
【典例14-1】已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线.
【典例14-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆：.
(1)点是直线：上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点在圆上，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最大值.
【变式14-1】阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
高考预测
1．已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.
考点十五：同构问题
解题思路
利用圆锥曲线的标准方程和性质，通过变量替换、坐标变换等手段，将不同曲线或方程转化为相同或相似的形式，从而简化求解过程。
【典例15-1】抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点．
【典例15-2】设抛物线的焦点为F，过F作直线l交抛物线E于A，B两点.当l与x轴垂直时，面积为8，其中O为坐标原点.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若l的斜率存在且为点，直线与E的另一交点为C，直线与E的另一交点为D，设直线的斜率为，证明：为定值.
【变式15-1】已知椭圆的焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与轴正半轴和轴分别交于点，与椭圆分别交于点，各点均不重合且满足．若，证明：直线恒过定点．
高考预测
1．已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线上一点P作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆相切．
高分突破：蝴蝶问题
解题思路
关键在于利用圆锥曲线的对称性和几何性质，通过设定蝴蝶定理中的关键点，结合代数方法求解。需要熟练掌握圆锥曲线的标准方程和交点求解技巧。
【典例16-1】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点．
【典例16-2】椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与交于点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当点异于两点时，证明：为定值．
【变式16-1】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；
(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的斜率为，求的值．
高考预测
1.已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．