北京清华大学附属中学上地学校2025－2026学年九年级第二学期3月学科适应性练习数学试卷-下学期（Word版附解析）

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1.“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒33900000000000000次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（）
A. 次B. 次C. 次D. 次
2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）
A. B. C. D.
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a// b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 75°B. 105°C. 135°D. 155°
5.已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在反比例函数的图像上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是 （ ）
A. y1+y2＜0B. y1+y2＞0C. y1-y2＜0D. y1-y2＞0
6.若关于x的方程+3x-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A. m>-B. m-C. m>-且m0D. m-且m0
7.如图，在平面直角坐标系中，点M（2，0），点A（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上（不与端点重合），连接并延长交于E，过点P作交于F，连接交于G，给出下面四个结论：①；②；③；④．
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ③
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.如图，过外一点作的两条切线，若的半径为5，，则的长为 ．
13.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为 米．
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点．如果点的横坐标是，那么关于的不等式的解集是 ．
15.如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为 ．
16.某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示：
(1) 如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）；
(2) 在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 ．（写商场编号）．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：．
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD中点，过点A作AF// BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：四边形ADCF为矩形；
(2) 若BC=6，，求EF的长．
21.(本小题4分)
燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点．
(1) 求该正比例函数和反比例函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，求的取值范围．
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线
(1) 求抛物线的顶点的坐标；（要有过程）
(2) 若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①当时，求的长．
②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，在等边中，为边上一点，连接，为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1) 求证：；
(2) 点为延长线上一点，连接交于点．若为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
25.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形m上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．

已知点，点．
(1) 中，是线段的“二倍点”的是 ；
(2) 直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
(3) 的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】38
14.【答案】或
15.【答案】3
16.【答案】【小题1】
B、C、E /（答案不唯一）
【小题2】
B、C、E

17.【答案】解：原式
．

18.【答案】解：，
由①得，
解得，
由②得，
解得，
所以不等式组的解为．

19.【答案】解：原式．
，
，
原式.

20.【答案】【小题1】
证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD．
∵E是AD的中点，∴AE=ED，∵AF// BC，∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE．
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．
又∵AF// BC，∴四边形ADCF为平行四边形．
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF为矩形．
【小题2】
∵AD为BC边上的中线，∴．
∵在Rt△ABD中，，∴，∴．
又∵E为AD中点，∴，∴在Rt△EBD中，，
由（1）知△AFE△DBE，∴．

21.【答案】解：设每张桌面的宽为尺，
根据图形，可得小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺．
故可得，
解得：，（舍去），
∴，
答：长桌的长为尺．

22.【答案】【小题1】
解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点，
，，
正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：；
【小题2】
当时，，，
当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，
，
解得．

23.【答案】【小题1】
解：
；
∴顶点的坐标为；
【小题2】
解：①当时，，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
由题意，，，
当时，，，
∴；
②由①知：，，抛物线的解析式为，
当时，解得或，
∵点在点的下方，
∴，
∴，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，，
∴．

24.【答案】【小题1】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，即．
在和中，
∴，
∴．
【小题2】
解：．
理由：如图，在上取点K，使，连接，
由（1）知，
∴，，
∵H为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵,
,
∴.
在和中,
∴,
∴.
∵,,,
∴.

25.【答案】【小题1】
，​​​​​​​
【小题2】
如图：
、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
直线过定点，
当直线过时，
，
解得，
当过时，
，
，
观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或；
【小题3】
设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，
过作于，交于，如图：
此时最小，
由得，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的最小值为；
连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：
在中，
，
；
线段的最大值为．
综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为．
商场
需甲种货物数量（件）
需乙种货物数量（件）
A
4
7
B
13
4
C
10
5
D
8
5
E
15
6