湖南省邵阳市第一中学等校（名校联考联合体）2026届高三下学期第三次联考数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南省邵阳市第一中学等校（名校联考联合体）2026届高三下学期第三次联考数学试题（Word版附答案），共18页。试卷主要包含了已知 为第二象限角， ，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净底，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.若复数 ，则 （ ）
A. B. C.4 D.0
2.若 ，则 的真子集个数为（ ）
A.3 B.8 C.7 D.6
3.若双曲线 ： 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. B. C.2 D.3
4.已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 的定义域为 ，周期为 4，若 ，则 （ ）
A. B. C.0 D.2
6.若将函数 图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到 的图象，则
的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知 ， ， 为平面上的一个动点，若 ，则 的轨迹所围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为 1 的正四面体 中， 是棱 的 10 等分点，过 作与
， 均平行的平面 ，记此平面截正四面体 所得的截面面积为 .则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知 为第二象限角， ，则（ ）
A. B.
C. D.
10.用 1，2，3，4 四种颜色给图中的 ， ， ， 四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域
涂不同色，则（ ）
A.用四种不同颜色涂色的不同方法数为 24
B.用 1，2，3 这三种不同颜色涂色的不同方法数为 6
C.在用四种不同颜色涂色的条件下，区域 用 4 涂色的概率为
D.在用 1，2，3 这三种不同颜色涂色的条件下，区域 用 2 涂色的概率为
11.经过点 作直线与抛物线 ： 分别切于点 ， ，对应切线的斜率分别为
， ，直线 与 轴交于 ，过 任意作一条直线与 交于 ， ，则（ ）
A. B.
C. 的坐标为 D. 的中点到 轴的距离为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若圆台的上下底面半径分别为 1 和 4，侧面积为 ，则圆台的体积为________.
13.在圆 的内接四边形 中，若 ， ， 则四边形 的最大面积为________
14.若 ， ，则 的值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
在正项数列 中，已知 .
（1）证明： 为等比数列；
（2）若 ， ，求 的前 项和 .
16.（本小题满分 15 分）
在不透明的口袋中装有相同的 6 个红色的乒乓球，其中 2 个球上标有数字 1，4 个球上标有数字 2.
（1）在首次从甲袋中摸出 1 个标有数字 1 的球，且不放回的条件下，求第二次从口袋中摸出 1 个标有数字
2 的球的概率；
（2）从口袋中不放回取 2 个小球，每次取 1 个，记事件 ，事件
，则 ， 是否相互独立?请说明理由.
17.（本小题满分 15 分）
如图 1， 是边长为 2 的正三角形，四边形 是一个梯形；其中 ，
.现在沿着 把 折起到 的位置，连接 ， ，且使得 ，
如图 2.
（1）求证：平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（本小题满分 17 分）
在平面直角坐标系 中，设动直线 ： 恒过定点 ；直线 ： ， 为平
面上的一个动点， 到 的距离为 ；且 .
（1）求 的坐标；
（2）求 的轨迹 的方程；
（3）设 关于 轴的对称点为 ， ，过 作与 轴垂直的直线 ，求 被 分成的左、
右两个部分面积之比的取值范围.
19.（本小题满分 17 分）
设函数 在 上可导，导函数为 ，若关于 的方程 在 有且
只有两个不同的解，则称 是 上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为 在 上
的平行切点.
（1）是否存在 上的“双平行切线函数” ，但在 上不是单调函数?
若存在，请举例；若不存在，请说明理由；
（2）令 ，设直线 与 的图象交于两个不同的点 ， ，其横坐标分
别为 ， ，且 是 上的“双平行切线函数”， 在 上的平行切点为 ， .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： .
高三数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C C C C A B D ABC ABD AD
1.B【解析】 .
2.C【解析】因为 ，所以 ，所以 的真子集个数为 .
3.C【解析】因为双曲线 ： 的离心率为 ，
所以 ，所以 .
4.C【解析】 在 上的投影向量为 .
5.C【解析】因为 的周期为 4，所以 ，因为 ，所以
，联立消去 得， .
6.A【解析】由已知得， ，令 ， ，解得，
.
7.B【解析】法一：因为 ， ，设 ，由 得
，
平方并整理得 ，化简并整理得 ，
故点 的轨迹是圆，其半径为 ，故其面积为 .
法二：因为 ， ， ，所以 的轨迹为存在一条直径位于 轴上的圆，设此直径的
端点坐标为 ，则 或
所以 或 ，所以 的轨迹所围成的面积为 .
8.D【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，
在正四面体 中，易知 ， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以
.过 作 的平行线，交 于 ，再过 作 的平行线，交 于 ，作 交
于 ，连接 ，
得截面四边形 ，易知四边形 为矩形，
由相似三角形知识可知 ， ，
所以 .
二、选择题
9.ABC【解析】因为 为第二象限角， ，所以 ，
，
，
又因为 ，所以 ，故选 ABC.
10.ABD【解析】A.用四种不同颜色涂色的方法数为 ，所以 A 正确；
B.用 1，2，3 这三种不同颜色涂色的方法数为 ，所以 B 正确；
C.只考虑区域 的涂色，直接得：在四种不同颜色涂色的条件下，区域 用 4 涂色的概率为 ，所以 C 错
误；
D.在用 1，2，3 这三种不同颜色涂色的条件下，区域 用 2 涂色的概率为 ，所以 D 正确.
11.AD【解析】设经过点 的直线 方程为 ，
代入 得， ，
因为 与 切于点 ， ，所以 ，
化简得， ，设此方程的两个不同根分别为 ， ，
则 ， 分别对应于过点 ， 的 的切线 ， ， ，所以 A 正确；
由于 为 的两个等根，所以 ，
同理 ，所以 B 错误；
由 ， 的坐标分别为 ， ，
所以直线 的方程为 ，化简得， ，
将 ， 代入得， ，
将 ， 代入得， ，所以 的坐标为 ，所以 C 错误；
又直线 为 的准线， 为抛物线焦点，由抛物线的定义得，
的中点到直线 的距离为 （其中 ， 分别为 ， 到准线的距离），所以 的
中点到 轴的距离为 ，D 正确.
三、填空题
12. 【解析】设侧棱长为 ，则 ，所以 ，所以圆台的高为 ，
所以圆台的体积为 .
13. 【解析】在三角形 中，由余弦定理得， ，
所以 ，所以 ，
由圆的对称性得，当且仅当 时，三角形 的面积取得最大值，为 ，
所以四边形 的最大面积为 .
14.1【解析】因为 ， ，
令 ，所以 ，
则当 时 ，即 在 上单调递减，
所以当 时， ，矛盾，故 .
因为当 时， ；当 时， ，
所以 ，即 ，所以 .
四、解答题
15.【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 为等比数列.
（2）设公比为 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 的前 项和为 .
16.【解析】（1）记首次从口袋中摸出 1 个标有数字 1 的球为事件 ，第二次从口袋中摸出 1 个标有数字 2
的球为事件 ，
则 ，
所以第二次从口袋中摸出 1 个标有数字 2 的球的概率为 .
（2）由已知得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， 不相互独立.
17.【解析】（1）取 的中点为 ，连接 ， ， ，
由图 1 中的条件得， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又由正三角形性质得 .
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）过 点在平面 内作直线 垂直于 ，如图，分别以直线 ， ， ，为 ， ， 轴建立
空间直角坐标系 ，
则平面 的法向量为 ，
， ， ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 所以
所以 的坐标为 .
（2）设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
化简得， .
（3）记 的坐标为 ，由题意知， 点不可能位于 轴上，
故根据椭圆对称性，不妨设点 在第一象限或在 轴正半轴上，即 ， ，
又 ， ，所以直线 的方程为 ，
设 与 轴， 分别交于点 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 的面积 与 的面积 之比为
，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
又因为 ， ， ，
所以 的值域是 ，所以 ，
所以 ，
根据对称性， 被 分成的左、右两个部分面积之比的取值范围是 .
19.【解析】（1）存在 上的“双平行切线函数” ，但在 上不是单调函数，
首先证明： 为 上的“双平行切线函数”：
，令 ，即 ，
化简得， ，所以 ， ，
所以 为 上的“双平行切线函数”；
令 得， ， ，
当且仅当 时， ，所以 在 ， 上单调递增，
当且仅当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 在 上不是单调函数，
所以存在 上的“双平行切线函数” ，但在 上不为单调函数.
（2）（i）由已知得， ，
由已知得， ， 在 上有两个不同的解 ， ，
所以 ，即 在 上有两个不同的解 ， ，
由题意可得， ，
设 ，则 ，
当 时， ，则 为减函数，即 为减函数，
当 时， ，则 为增函数，即 为增函数，
故 .
当 时， ， ， ，
所以 在 上有两个不同的解 ，
即 的取值范围为 .
（ii）不妨设 ，
则 ， ，
要证 ，即证 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 在 上为增函数，
所以只需要证明： .
因为 ，
所以只需要证明： ，其中 ，
设 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
即 ，其中 ，
即 得证.