初中数学冀教版（2024）九年级上册解直角三角形的应用教学ppt课件

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1.巩固解直角三角形相关知识？
3.能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题？
2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角、方向角、坡度有关的实际问题？
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形。
(1) 三边之间的关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2. 解直角三角形的依据
(2) 两锐角之间的关系：
∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3) 边角之间的关系：
方向角： 如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.
一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55º的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25º的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
你是怎样想的？与同伴进行交流.
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x= ≈20.79 海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
【例1】如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
解：如图，在Rt△APC中， PC =PA • cs(90°-65°) =80 × cs 25° ≈72. 505. 在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
仰角和俯角： 如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
【例2】欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30º,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60º,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 则∠ADC=60º,∠BDC=30º,
1、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
常见的俯角仰角问题的基本图形
坡度和坡角： 如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡度和坡角有什么区别？
【例3】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
如图,∠ADB=90°,
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
1、一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.  
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知　 DE＝CF＝4（米），　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．　　答： 路基下底的宽约为22.93米．
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度。当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是 ( )
2. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米。
3. （1）小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
解：过点E作EF∥BC
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米?
4.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
解：作AG⊥CD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
解：过A作AF⊥BC于点F， 则AF的长是A到BC的 最短距离. ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°， ∠ACE=∠CAF=30°， ∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
5、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里，∴AF=AC · cs30°=6 (海里)，6 ≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
6、水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m, EF=BC=6m.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
解：过点C作CD⊥AB于点D，
750－600≈150(km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案。
利用仰俯角解直角三角形
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题