四川省南充市阆中东风学校2024-2025学年高三上学期12月月考试题数学试卷（含答案）

这是一份四川省南充市阆中东风学校2024-2025学年高三上学期12月月考试题数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了 已知集合，，若，则实数， 为虚数单位，复数，则的虚部为， “”是“”的， 在中，边上的中线，则等内容，欢迎下载使用。
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知集合，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】由集合间的关系建立等量关系，求得实数的值.
【详解】∵，∴，即.
故选：C.
2. 为虚数单位，复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据虚部的定义即可求解.
【详解】，
所以的虚部为，
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分出不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据必要不充分条件的概念可判断.
【详解】由得，
因为是的真子集，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆锥和圆柱底面半径为，表示圆锥和圆柱的高，利用圆锥和圆柱的体积公式可得结果.
【详解】
设圆锥和圆柱底面半径为，则圆锥母线长，圆柱的高为，
故圆锥高，
圆锥体积，圆柱体积，
所以.
故选：C.
5. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，将2代入导数求出的值，根据同角三角函数的基本关系求出结果.
【详解】因为，所以，，
则.
故选：D.
6. 在中，边上的中线，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用，由数量积定义计算即可．
【详解】因为，
所以.
故选：B.
7. 已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解.
【详解】因为，所以，
两式相减得，
所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C.
8. 已知定义在[，]上的函数满足，且当x[，1]时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. (，]B. (，]
C. (，]D. (，]
【答案】B
【解析】
【分析】由题设，求分段函数的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为和有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数的范围.
【详解】∵当时，，
∴当时，，
综上，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
∵有三个不同的实数根，
∴的图像和直线有三个不同的交点，
作的大致图像如图所示，
当直线和的图像相切时，设切点为，
∴，可得，，代入，
可得，
当过点时，，
由图知，实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：将方程有三个不同的实数根转化为函数图象有三个不同交点问题，应用数形结合思想及导数研究函数图象的交点情况，求参数.
二､多选题（本题共3个小题，每个小题6分，共计18分，在每小题给出的选项中，有多要符合题目要求，全部远对的每6分，部分远对的得部分分有选错的得0分）
9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. 的坐标为B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，
则焦点，所以A错误；
由抛物线定义,可得，解得，所以B正确；
由，可得，所以，则，所以C不正确；
由，所以D正确．
故选：BD．
10. 从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件“为偶数”的概率为
B. 事件“为偶数”的概率为
C. 设，则的数学期望为
D. 设，则在的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
【答案】ACD
【解析】
【分析】由古典概型的概率模型求解概率即可判断A，B选项；求出的分布情况，利用公式求解数学期望即可判断C选项；求出的所有可能的取值的概率即可判断D选项.
【详解】从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，
则样本空间为：，
对于A：所以为偶数有：四种，所以概率为，故A正确；
对于B：为偶数的有：七种情况，所以概率为，故B错误；
对于C：设，则，
，，，，，
所以，故C正确；
对于D：设，则，
,
，所以在的所有可能的取值中最有可能取到的值是，故D正确；
故选：ACD
11. 在直棱柱中，底面为正方形，为线段上动点，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当，则三线交于一点
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据中点关系，可得三角形全等，即可判断A，根据等体积法即可求解B，利用余弦定理即可求解CD.
【详解】由于分别为和的中点，延长,相交于，则
,故,
取中点,连接交于，则,
故,又,是中点，，故在一条直线上，因此与重合，故三线交于一点,正确，
由于平面,平面，故平面，
又为线段上动点，因此到平面的距离与到平面的距离相等，
故,故B正确，
对于C，由于故即为直线与所成角或其补角，由于,
故由余弦定理可得，故C错误，
对于D，如图，沿着将四边形展开，得到平面图，连接交于，
则
由余弦定理可得，故D正确，
故选：ABD
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中的横线上）
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．
【详解】解：由．
取，得．
展开式中常数项为．
故答案为：15．
13. 若数列满足，其前项和为，若，则__________.
【答案】17
【解析】
【分析】由已知可得数列为等差数列，设数列的公差为，根据已知条件求出的值，可得出的值，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】因为数列满足，则数列为等差数列，
设数列的公差为，则，可得，
所以，所以.
故答案为：.
14. 设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.
【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去得：，设，则，
由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，，
由点在双曲线上得，，又，解得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：

四､解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，正四棱柱中，为的中点，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法证明即可；
（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，
则A1,0,0，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取；
设平面的法向量为，则，取；
因为，即，
所以平面平面；
【小问2详解】
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
16. 已知函数的图象关于点中心对称.
（1）求、的值；
（2）若，当时，的最小值为，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，分、两种情况讨论，结合函数在上的最小值为，可求得实数的值.
【小问1详解】
依题意，，
即，
所以，，所以，.
【小问2详解】
由（1）可知，，则，
所以当时，f′x0，单调递增，
若，则在区间内的最小值为，
即，解得或，均不符题意；
若，则函数在上单调递减，在上单调递增，
则在区间内的最小值为，解得，符合题意.
.
17. 中，设角，，所对的边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若的周长等于3，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得，再结合角的范围，可求出角的值，
（2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积的最大值.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
又，所以，
所以，即.
因为，，
所以，即.
【小问2详解】
解：在中，由余弦定理得，即①，
又，所以，代入①得，
整理得，
又因为，当且仅当时取等号，
因为，所以，
所以，解得或（舍去），
故，故的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
参考公式及数据：，其中.
【答案】（1）依据的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）875
【解析】
【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得；
（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；
（3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大.
【小问1详解】
零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；
则，
故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，
因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
【小问2详解】
依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有.
则.
故分布列为：
则；
【小问3详解】
依题意，因随机抽取调试后产品的合格率为，故，
则
由，
故由可解得，
因，故当时，单调递增；
由可解得，即当时，单调递减.
故当事件“”的概率最大时，.
【点睛】方法点睛：（1）计算卡方值，并与小概率值比较得出结论；（2）求随机变量的分布列关键在于判断满足的概率模型；（3）对于二项分布中概率最大值问题，一般考虑作商后分析判断商与1的大小即得.
19. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
（2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列求和公式可求得的表达式；
（3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，因为，，解得，
所以，.
设的公比为，因为，，
解得，所以，.
【小问2详解】
因为，
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
所以，.
【小问3详解】
因为，．
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列的最大项为，
因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为．
产品
合格
不合格
合计
调试前
45
15
60
调试后
35
5
40
合计
80
20
100
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
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