2025-2026学年下学期陕西商洛高三数学3月一模试卷含答案

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 M={−1,0,1,2},N={x∣−20 的两焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上任意一点,则 PF1PF2 的最大值
A. 只与 m 有关 B. 只与 n 有关 C. 与 m 和 n 都有关 D. 与 m,n 都无关
7. 已知 sinα+β=3sinα−β,3sinβ−csβ=0 ,则 tanα+β=
A. 911 B. 97 C. −37 D. −311
8. 已知点 M−5,0,N5,0 ,若直线 y=kx 上存在点 P 满足 PM−PN=2 ,则实数 k 的取值范围是
A. −12,12 B. −2,2
C. −∞,−12∪12,+∞ D. −∞,−2∪2,+∞
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 直线 3x+y+1=0 的倾斜角为 120∘
B. 直线 2x−y+5=0 经过第一、二、三象限
C. 直线 x+2y−4=0 与直线 2x+4y+1=0 之间的距离是 9510
D. 过点 P1,2 且在 x 轴, y 轴上的截距相等的直线方程为 x+y−3=0
10. 下列函数中最小值为 4 的是
A. y=4lnx+1lnx B. y=2x+22−x
C. y=8+x+8−x
D. y=2x2+3x2+2

11. 如图，正四棱锥 P−ABCD 与正四棱锥 Q−ABCD 的底面重合，且 AP=AB=AQ=2 ， M 为棱 BC 上一点,则
A. AP// 平面 BCQ
B. 正四棱锥 P−ABCD 的体积为 43
C. PM+QM 的最小值为 23
D. 点 D 到平面 PAB 的距离为 3
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某平台统计了“十一”期间在一款 App 上的购买电影票情况:
则“十一”期间 App 上的购票数据的 60% 分位数为_____.
13. 在 △ABC 中， AB=3,AC=2 ，其面积为 4csA ，则 BC= _____.
14. 已知函数 fxx∈R 满足 fx=f4−x ，若函数 y=x2−4x 与 y=fx 的图象有 6 个交点,交点横坐标为 xii=1,2,3,4,5,6 ,则 i=16xi= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,2a3+a5=5,S8=20 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若 bn=2an+3an ，求 bn 的前 n 项和 Tn .
16.(本小题满分 15 分)
如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是正方形， AB=2,AA1=4,E,F 分别是 A1C,BC1 的中点.

(1)求证: EF// 平面 ABCD ；
(2)求直线 EF 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
(1)根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 名患者中随机抽取 4 人，设 X 表示 4 名患者中效果不明显的人数，求 X 的分布列和数学期望.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
18. (本小题满分 17 分)
设函数 fx=ax+ex−1,a∈R .
(1)若曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线经过点 2,1 ，求实数 a 的值；
(2)讨论 fx 的单调性；
(3)若存在正实数 t ，使得对 ∀x∈0,t ，都有 fx>3x ，求 a 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，点 M2,y0 在 C 上， MF=3 .
(1)求 C 的方程；
(2)设 P2,0 ，直线 AB 过焦点 F ，与 C 交于 A ， B 两点，直线 AP ， BP 分别交 C 于另两点 D ， E . ①求 △PAB 的面积的最小值；
②试判断直线 DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案、提示及评分细则
1. A 由 M={−1,0,1,2},N={x∣−20 ， fx 在 R 上单调递增； 4 分
当 a0 ,得 x>ln−a ; 由 f′x3x 化为 a−3x+ex−1>0 ; 9 分
当 ln−a>0 ,即 a3x 即 ex+a+3x−10,gx 在 R 单调递增,存在正实数 t ,使得对 ∀x∈0,t,gx>0 , 11 分
当 a0 得 x>ln3−a,g′x