沪科技版（2020）选修第三册气体的等温变化优质学案设计

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▉题型1 气体的等温变化与玻意耳定律的应用
【知识点的认识】
玻意耳定律（等温变化）：
①内容：一定质量的气体，在温度保持不变时，它的压强和体积成反比；或者说，压强和体积的乘积保持不变．
②数学表达式：pV＝C（常量）或p1V1＝p2V2．
③适用条件：a．气体质量不变、温度不变；b．气体温度不太低（与室温相比）、压强不太大（与大气压相比）．
④p﹣V图象﹣﹣等温线：一定质量的某种气体在p﹣V图上的等温线是双曲线的一支，如图A所示，从状态M经过等温变化到状态N，矩形的面积相等，在图B中温度T1＜T2．
⑤p−1V图象：由pV＝CT，可得p＝CT1V，斜率k＝CT，即斜率越大，温度越高，且直线的延长线过原点，如图C所示，可知T1＜T2．
1．某同学用同一个注射器做了两次验证玻意耳定律的实验，操作完全正确，根据实验数据却在p、V图上画出了两条不同的双曲线如图所示，造成这种情况的可能原因是（ ）
①两次实验中空气质量不同
②两次实验中温度不同
③两次实验中保持空气质量、温度相同，但所取的气体压强的数据不同
④两次实验中保持空气质量、温度相同，但所取的气体体积的数据不同．
A．①②B．②④C．②③D．①②④
【答案】A
【解答】解：根据理想气体状态方程：pVT=C可知：PV＝CT；
若PV乘积一定，则P﹣V图是双曲线，且乘积不同，双曲线不同；
故题中可能是温度T不同，也可能是常数C不同，而常数C由质量决定，即也可能是气体质量不同；
故①②正确，③④错误，故A正确，BCD错误；
故选：A。
2．容积为20L的钢瓶充满氧气后，压强为150atm，打开钢瓶的阀门让氧气同时分装到容积为5L的小瓶中，若小瓶原来是抽空的，小瓶中充气后压强为10atm，分装过程中无漏气，且温度不变，那么最多能分装（ ）
A．4瓶B．50瓶C．56瓶D．60瓶
【答案】C
【解答】解：
根据玻意耳定律p0V0＝p′（V0+nV1），
所以n=(p0V0−p′V0)/V1P′=(150×20−10×20)5×10=56。
故选：C。
3．历史上因为阴极射线管真空度不高，高速电子运动时受空气阻力的影响，没有观察到电子的有效偏转，人们一度认为电子不带电，后来卢瑟福改进仪器，才发现电子在电场中的偏转，进而说明电子是带负电的另一种新粒子。某同学为了自制真空管，采用抽气装置对某一体积为V的玻璃管进行抽气，初始时，气体的压强等于大气压p0，已知每次能从玻璃管中抽走气体的体积为V0，其中V0=110V，抽气过程温度不变，经过n次抽气后，玻璃管中气体的压强p和剩余气体的质量与原有气体质量的比值分别为（ ）
A．(910)np0，(910)n
B．(910)np0，(1011)n
C．(1011)np0，(1011)n
D．(1011)np0，(910)n
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，经过一次抽气后，把玻璃管内的气体和抽走的气体作为研究对象，由玻意耳定律定律得：
p0V＝p1（V+V0）
解得：p1=1011p0
同理，第二次抽气后玻璃管中气体压强为：
p2=(1011)2p0
由此可知，经过n次抽气后，管中气体压强为：
pn=(1011)np0
对玻璃管内的气体，原有气体压强变为pn，则体积会变为V'，由玻意耳定律可得：
p0V＝pnV'
又有mm0=VV′
联立可得：mm0=(1011)n，故ABD错误，C正确。
故选：C。
4．如图所示，两端开口的U形管粗细均匀，左右两管竖直，底部的直管水平，水银柱的长度如图中标注所示，水平管内两段空气柱a、b的长度分别为10cm、5cm。现保持气体温度不变，在左管内缓慢注入一定量的水银，使得稳定后右管的水银面比原来高h＝10cm，已知大气压强p0＝76cmHg。下列说法正确的是（ ）
A．末状态b空气柱的长度为3cm
B．末状态a空气柱的长度为7cm
C．a空气柱能进入竖直管
D．向左管注入的水银柱长度为21.5cm
【答案】D
【解答】解：C．在左管内缓慢注入一定量的水银，使得稳定后右管的水银面比原来高h＝10cm，由于
h＝10cm＜12cm
可知a、b空气柱都仍在水平管内，故C错误；
ABD．末状态a、b两部分空气柱的压强为
p2＝（76+14+10）cmHg＝100cmHg
初状态a、b两部分空气柱的压强为
p1＝（76+14）cmHg＝90cmHg
对a、b两部分空气柱分别根据玻意耳定律，设初状态和末状态a、b两部分空气柱的长度分别为La1、Lb1和La2、Lb2，得
p1La1S＝p2La2S
p1Lb1S＝p2Lb2S
代入数据得
La2＝9cm
Lb2＝4.5cm
设左管注入的水银柱长度为L，则
L＝2h+（La1+Lb1）﹣（La2+Lb2），解得L＝21.5cm
故AB错误，D正确。
故选：D。
5．某容积为40L的氧气瓶装有30atm的氧气，现把氧气分装到容积为5L的小钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为5atm，若每个小钢瓶中原有氧气压强为1atm，能分装的瓶数是（设分装过程中无漏气，且温度不变）（ ）
A．40瓶B．48瓶C．50瓶D．60瓶
【答案】C
【解答】解：设能够分装n个小钢瓶，则以40L氧气瓶中的氧气和n个小钢瓶中的氧气整体为研究对象，分装过程中温度不变，故遵守玻意耳定律。
气体分装前，大氧气瓶：p1＝30atm，V1＝40L；小氧气瓶：p2＝1atm，V2＝5L，
气体分装后，大氧气瓶：p1′＝5atm，V1＝40L；小氧气瓶：p2′＝5atm，V2＝5L，
由玻意耳定律可知：p1V1+np2V2＝p1'V1+np2'V2，
即为：n=(p1−p1′)V1(p2′−p2)V2
代入数据有：n=(30−5)×40(5−1)×5=50（瓶）
故ABD错误，C正确。
故选：C。
6．如图所示，一端封口的玻璃管开口向下插在水银槽里，管内封有长度分别为L1和L2的两段气体。当将管慢慢地向下按一段距离时，管内气柱的长度将如何变化（ ）
A．L1变小，L2变大B．L1变大，L2变小
C．L1、L2都变小D．L1、L2都变大
【答案】C
【解答】解：当玻璃管向下插入水银槽时，玻璃管下部封闭了一定量的气体，
玻璃管刚接触水银时，管内外的水银面相平，封闭气体压强等于大气压，
随向下按压玻璃管，封闭气体体积减小，下部空气柱的长度L2减小，
气体温度不变，由玻意耳定律可知，气体压强增大，大于大气压，
玻璃管内水银面比管外水银面低，设高度差为h，管内下部气体压强：p下＝p0+ph，
设玻璃管中间水银柱长度为H，上部气体压强p上＝p下﹣pH，由于p下变大，H不变，pH不变，
则上部封闭气体的压强p上变大，气体温度不变，气体压强增大，由玻意耳定律可知，气体体积减小，
空气柱的长度L1减小，由以上分析可知，当将管慢慢地向下按一段距离时，L1、L2都减小，即L都减小，故C正确，ABD错误。
故选：C。
7．容积V＝20L的钢瓶充满氧气后，压强p＝10atm，打开钢瓶阀门，让氧气分装到容积为V′＝5L的小瓶中去，小瓶子已抽成真空。分装完成后，每个小钢瓶的压强p′＝2atm。在分装过程中无漏气现象，且温度保持不变，那么最多可能装的瓶数是（ ）
A．4瓶B．10瓶C．16瓶D．20瓶
【答案】C
【解答】解：初态：p1＝10atm V1＝20L
末态：p2＝2atm V2＝（V1+nV′）L（n为瓶数）
由 p1V1＝p2V2解得：n＝16，故ABD错误，C正确
故选：C。
8．一定质量的气体由状态A变到状态B的过程如图所示，A、B位于同一双曲线上，则此变化过程中，温度（ ）
A．一直下降B．先上升后下降
C．先下降后上升D．一直上升
【答案】B
【解答】解：A、B位于同一双曲线上，由图示p﹣V图象可知，
A、B两点在同一条等温线上，在直线AB上取一点C（可以取中点），
过C点的等温曲线如图所示，由理想气体状态方程：pVT=C可知，
两等温线的温度关系为：T1＜T2，则：TA＝TB＜TC，
由此可知，一定质量的气体由状态A变到状态B的过程中温度：先升高后降低；
故选：B。
9．如图所示，a、b、c三根完全相同的玻璃管，一端封闭，管内各用相同长度的一段水银柱封闭了质量相等的空气，a管竖直向下做自由落体运动，b管竖直向上做加速度为g的匀加速运动，c管沿倾角为45°的光滑斜面下滑，若空气温度始终不变，当水银柱相对管壁静止时，a、b、c三管内的空气柱长度La、Lb、Lc间的关系为（ ）
A．Lb＝Lc＝LaB．Lb＜Lc＜LaC．Lb＞Lc＞LaD．Lb＜Lc＝La
【答案】D
【解答】解：设大气压为p0。
对a管：a管竖直向下做自由落体运动，处于完全失重状态，封闭气体的压强等于大气压，即pa＝p0；
对b管：以水银为研究对象，根据牛顿第二定律得：pbS﹣p0S﹣mg＝ma，则得：pb＞p0；
对c管：以水银为研究对象，根据牛顿第二定律得：pcS﹣p0S+mgsin45°＝ma，又对管子和水银整体，有：Mgsin45°＝Ma，得 a＝gsin45°，可解得：pc＝p0；
所以可得：pb＞pa＝pc；
根据玻意耳定律pV＝c得：lb＜lc＝la。
故选：D。
10．紧闭瓶盖的塑料瓶下方开一个小孔，让瓶中的水流出，此过程中瓶内气体可看成 等温 过程；当水流停止后，瓶内液面与小孔间的高度差为h，则此时瓶内气体的压强为 P0﹣ρgh 。（已知液体密度ρ，重力加速度g，外界大气压P）
【答案】等温；P0﹣ρgh
【解答】解：塑料瓶和外界有良好的热交换，所以此过程中瓶内气体可看成等温过程；对剩余液体为受力分析，受到竖直向下的重力和瓶内气体压力、竖直向上的大气压力，
根据力的平衡条件有：PS+ρghS＝P0S，解得P＝P0﹣ρgh。
故答案为：等温；P0﹣ρgh。
11．如图所示，开口向上的长为L＝185cm的玻璃管内用水银封闭了一段空气，水银柱和封闭空气柱的长度均为h＝25cm，大气压为p0＝75cmHg。现在缓慢的向管内注入水银，且整个过程温度保持不变，求玻璃管内水银柱的最大长度。
【答案】玻璃管内水银柱的最大长度为175cm。
【解答】解：设玻璃管横截面为S，注入水银长度为d，封闭气体的初始参量：
p1＝p0+ph＝（75+25）cmHg＝100cmHg，
V1＝hS，
注入水银后，封闭气体的末状态参量：
p2＝p1+pd＝（100+d）cmHg，
V2＝h'S，
封闭气体发生等温变化，根据玻意耳定律：
p1V1＝p2V2
又L＝h'+h+d＝185cm
联立解得：d＝150cm，
玻璃管内水银柱的最大长度
H＝d+h＝150cm+25cm＝175cm。
答：玻璃管内水银柱的最大长度为175cm。
12．如图所示，内壁光滑、截面积不相等的圆柱形气缸竖直放置，气缸上、下两部分的横截面积分别为2S和S．在气缸内有A、B两活塞封闭着一定质量的理想气体，两活塞用一根长为l的细轻杆连接，两活塞导热性能良好，并能在气缸内无摩擦地移动。已知活塞A的质量是2m，活塞B的质量是m。当外界大气压强为p0、温度为T0时，两活塞静止于如图所示位置。若用一竖直向下的拉力作用在B上，使A、B一起由图示位置开始缓慢向下移动l2的距离，又处于静止状态，求这时气缸内气体的压强及拉力F的大小。设整个过程中气体温度不变。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以两活塞整体为研究对象，原来气缸内气体压强为p1，根据平衡条件有：
p0S+3mg＝p1S
解得：p1=p0+3mgS
对气缸内气体，初状态参量：p1=p0+3mgS，V1＝2lS，
末状态参量：p2，V2=3lS2
根据玻意耳定律有：p1V1＝p2V2
解得：p2=43(p0+3mgS)
以两活塞整体为研究对象，根据平衡条件有：p2S＝F+p0S+3mg，
解得：F=13p0S+mg；
答：这时气缸内气体的压强及拉力F的大小为13p0S+mg。
13．如图，一上端开口、下端封闭的细长玻璃管竖直放置。玻璃管的下部封有长l1＝25.0cm的空气柱，中间有一段长为l2＝25.0cm的水银柱，上部空气柱的长度l3＝40.0cm。已知大气压强为P0＝75.0cmHg．现将一活塞（图中未画出）从玻璃管开口处缓缓往下推，使管下部空气柱长度变为l'1＝20.0cm。假设活塞下推过程中没有漏气，求活塞下推的距离。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以cmHg为压强单位。在活塞下推前，玻璃管下部空气柱的压强为：
p1＝p0+l2 ①
设活塞下推后，下部空气柱的压强为p1′，由玻意耳定律得：
p1l1＝p′1l′1 ②
活塞下推距离为x时玻璃管上部空气柱的长度为：
l′3＝l3+l1﹣l′1﹣Δl ③
设此时玻璃管上部空气柱的压强为p2′，则：
p2'＝p1'﹣l2 ④
由玻意耳定律得：
p0l3＝p′2l′3 ⑤
由①至⑤式及题给数据
解得：Δl＝15.0cm
答：活塞下推的距离为15cm
14．横截面积处处相同的U形玻璃管竖直放置左端封闭，右端开口。初始时，右端管内用h1＝4cm的水银柱封闭一段长为L1＝9cm的空气柱A左端管内用水银封闭有长为L2＝14cm的空气柱B，这段水银柱液面高度差为h2＝8cm，如图甲所示。已知大气压强P0＝76.0cmHg，环境温度不变。
（i）求初始时空气柱B的压强（以cmHg为单位）；
（ii）若将玻璃管缓慢旋转180°，使U形管竖直倒置（水银未混合未溢出），如图乙所示当管中水银静止时，求水银柱液面高度差h3。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（i）初始时，空气柱A的压强为pA＝p0+ρgh1①
而pB+ρgh2＝pA②
联立①②解得气体B的压强为pB＝72cmHg
（ii）U形管倒置后，空气柱A的压强为pA′＝p0﹣ρgh1③
空气柱B的压强为pB'＝pA′+ρgh3 ④
空气柱B的长度L2'＝L2+ℎ2−ℎ32⑤
由玻意耳定律可得pBL2＝pB'L2'⑥
联立③④⑤⑥解得h3＝12cm
答：（i）初始时空气柱B的压强为72cmHg；
（ii）水银柱液面高度差h3为12cm。
15．如图所示，粗细均匀的U形管，左端封闭、右端开口竖直向上放置。U形管左端用水银封闭着长L＝19cm的理想气体，当温度为t＝27℃时，两管水银面的高度差Δh＝4cm。设外界大气压为p0＝76cmHg。
（1）将整个装置放到水平桌面上，水银密封良好，求达到稳定状态时两管内水银面之间的距离；
（2）在不损坏U形管的前提下，请你设计一个让左右两管内水银面相平的方案。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）初态封闭气体的压强p1＝p0﹣pΔh
将整个装置放到水平桌面上后，封闭气体的压强p2＝p0
该过程中气体的温度不变，由玻意耳定律有，p1LS＝p2L'S
达到稳定状态时两管内水银面之间的距离Δh’＝Δh+2（L﹣L′）
解得Δh’＝6cm
（2）方案一：装置关口竖直向上静止放置，升高温度
左右两管内水银面相平，则p3＝p0
空气柱长度L1=L+Δℎ2
根据气体状态方程有
p1LST1=p3L1ST2
得T2＝350K t2＝77℃
方案二：装置关口竖直向上静止放置，向右管中滴加水银
左右两管内水银面相平，则p3＝p0
由玻意耳定律有
p1LS＝p3L1S
所以向右管中滴加水银的长度为ΔL＝Δh+2（L﹣L1）
ΔL＝6cm
答：（1）将整个装置放到水平桌面上，水银密封良好，达到稳定状态时两管内水银面之间的距离为6cm；
（2）在不损坏U形管的前提下，可以升高温度，升高到77℃，或者向右管中加入6cm的水银。
16．中学物理课上一种演示气体定律的有趣仪器﹣﹣哈勃瓶，它是一个底部开有圆孔，瓶颈很短的、导热性良好的平底大烧瓶。在一次实验中，体积为V＝1L的瓶内塞有一气球，气球的吹气口反扣在瓶口上，瓶底的圆孔上配有一个截面积为S＝2cm2的轻质橡皮塞，橡皮塞与玻璃瓶间的最大静摩擦fm＝60N．瓶内由气球和轻质橡皮塞封闭一定质量的气体，不计实验开始前气球中的少量气体和气球膜厚度，向气球中缓慢打气，假设气球缓慢膨胀过程中球内外气压近似相等。已知：实验室环境温度T＝290K恒定，环境空气密度ρ＝1.20kg/m3，压强为标准大气压P0＝105pa，求：
①橡皮塞被弹出时瓶内气体的压强
②为了使橡皮塞被弹出，需要向气球内打入空气的质量
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①橡皮塞即将弹出时对瓶塞受力分析得：pS＝p0S+fm
解得：P=P0+fmS=4×105Pa
②瓶内气体等温变化：p0V＝pV1
则 V1＝0.25L
对气球内气体：体积V2＝V﹣V1＝0.75L
气球内气体压强也为p
等温变化：p0V0＝pV2
可得 V0＝3L
打入空气质量 m＝ρV0＝3.6×10﹣3kg
答：①橡皮塞被弹出时瓶内气体的压强为4×105Pa；
②为了使橡皮塞被弹出，需要向气球内打入空气的质量为3.6×10﹣3kg。
17．如图，一上端开口，下端封闭的细长玻璃管，下部有长l1＝60cm的水银柱，中间封有长l2＝6cm的空气柱，上部有长l3＝44cm的水银柱，此时水银面恰好与管口平齐。已知大气压强为P0＝76cmHg．如果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动一周，求在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度。封入的气体可视为理想气体，在转动过程中没有发生漏气。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设玻璃管开口向上时，空气柱压强为：p1＝（p0+ρgl3） cmHg＝120cmHg
玻璃管开口向下时，原来上部的水银有一部分会流出，封闭端会有部分真空。
设此时开口端剩下的水银柱长度为x，则有：p2＝ρgl1＝60cmHg（p2管内空气柱的压强。）
且p2＝p0﹣ρgx，解得：x＝76﹣60＝12cm
在开口向下时，有：p1Sl2＝p2Sh
解得：h＝12cm；
从开始转动一周后，设空气柱的压强为p3，则有：p3＝p0+ρgx＝88cmHg
由玻意耳定律得：p1Sl2＝p3Sh′（式中，h′是此时空气柱的长度。）
联立解得：h′＝8.2cm。
答：在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度分别为12cm和8.2cm。
18．利用如图所示的实验装置来测定容器内液体的温度，容器右侧部分水银压强计的左管中有一段长度为h＝10cm的水银柱，水银柱下密封一段长为l＝4cm的空气柱B．实验开始时水银压强计的两侧水银柱上端在同一水平面，这时容器内液体的温度为27℃，后来对液体加热，通过向水银压强计右管中注入水银，使左管水银面仍在原来的位置，此时测得水银压强计左管中密封空气柱B的长度为l'＝3cm。已知外界大气压强为76cmHg．求：
（ I）加热后液体的温度t；
（Ⅱ）向水银压强计右管中注入水银的长度。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（I）由题意知，B部分气体发生等温变化，则初始时：
pB＝p0+（ρgh+ρgl）＝（76+10+4）cmHg＝90cmHg
其中ρ为水银密度，g为重力加速度，根据玻意耳定律得：pBlS＝pB′l′S
得：pB′=pB ll′=90×43cmHg=120cmHg
这时A气体压强为：pA′＝pB′﹣ρgh＝110cmHg
A气体做等容变化，初始时有：
pA＝p0+ρgh＝80cmHg
根据查理定律得： pATA=pA′TA′
得：TA′=pA′TApA=110×(237+27)80K=412.5K
得：t＝139.5℃
（Ⅱ）由题意知120cmHg＝13cmHg+76cmHg+ρgΔh
得Δh＝31cm
所以水银柱压强计右管注入水银的长度为：
Δh+（4﹣3）cm＝32cm
答：（I）加热后液体的温度为139.5℃；
（Ⅱ）向水银压强计右管中注入水银的长度为32cm。
19．如图所示，竖直玻璃管里有一段4cm长的水银柱，水银柱的下面封闭着长60cm的空气柱，玻璃管的横截面积是0.1cm2．在温度不变时，如果再向管里装入27.2g的水银，持平衡时，封闭在水银柱下面的空气柱有多高？已知大气压p0＝1.0×105Pa，水银的密度ρ＝13.6×103kg/m3。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：管里再装入27.2g水银时，水银柱增加的高度：h=VS=mρS
代入数据解得h＝0.2 m
空气柱初状态时的压强
p1＝p0+ph1＝p0+ρHggh1
＝1.0×105Pa+13.6×103×9.8×0.04Pa
＝10.5×104Pa
V1＝60 Scm，其中S为玻璃管的横截面积；
空气柱末状态时的压强
p2＝p1+ph2＝p0+ρHggh2
＝1.0×105Pa+13.6×103×9.8×（0.04+0.20）Pa
＝1.32×105Pa
由玻意耳定律p1V1＝p2V2可得
V2=p1p2V1，V＝Sh，
所以：h2=VS=p1p2SV1
代入数据解得：h2＝47.5cm。
答：闭在水银柱下面的空气柱有47.5m。
20．一端开口且导热性能良好的汽缸固定在水平面上，如图所示，用质量为m、横截面积为S、厚度可忽略不计的活塞封闭一定质量的理想气体。系统平衡时，活塞与汽缸底部的距离为h1＝10cm；外界环境的温度保持不变，将质量为2m的砝码放在活塞上，系统再次平衡时活塞与汽缸底部的距离为h2；现将汽缸内气体的温度缓缓升高Δt＝60℃，系统再次平衡时活塞与汽缸底部的距离为h3＝6cm。已知外界大气压强P0＝mg/s，忽略活塞与汽缸之间的摩擦。求：
（1）h2为多少？
（2）最初汽缸内封闭的理想气体的温度t1为多少摄氏度？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）气体初始温度为T1，体积V1＝h1S①
压强p1=p0+mgS=2p0 ②
放砝码后气体温度为T1，体积V2＝h2S③
压强p2=p1+2mgS=4p0④
由于温度不变，由玻意耳定律有p1V1＝p2V2⑤
联立解得解得：h2＝5cm
（2）汽缸内气体温度缓缓地升高Δt＝60℃时，温度为T3＝T1+60K，体积V3＝h3S⑥
由于压强不变，由盖﹣吕萨克定律V2T1=V3T3 ⑦
联立解得：T1＝300K
即t1＝27℃
答：（1）h2为5cm；
（2）最初汽缸内封闭的理想气体的温度t1为27摄氏度。题型1 气体的等温变化与玻意耳定律的应用