沪科版（2024）九年级上册相似三角形的性质教学课件ppt

这是一份沪科版（2024）九年级上册相似三角形的性质教学课件ppt，共85页。PPT课件主要包含了新知探究，情景导入，学习目标，课堂反馈，分层练习，课堂小结，角平分线，概念归纳，结论验证，练一练等内容，欢迎下载使用。
目录/CONTENTS
1.掌握相似三角形的性质定理1、2、3；（重点）2.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）3.掌握相似三角形的周长比等于相似比及其在实际中的应用.4.运用相似三角形的面积比解决实际问题.(难点)5.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
相似三角形的判定方法有哪些？
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.
以上两个角是否相似呢？为什么？
相似，因为它们的对应角相等、对应边成比例.
三角形中，除了角度和边长外，我们还探究过哪些几何量？
本节课我们就来探究一下这个问题
如右图，若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
1.相似三角形的性质定理（1）
∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，
解：如图，首先分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
由此你发现了什么结论？
若我们 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比又等于多少？
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， 求证：证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, ． 又AD,AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′.
我们不妨假设一下对应比是相等的，验证一下结论是否正确！
所以相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
所以角平分线是否同样如此呢？请试着依据以上方法,求证:三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证：证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又AD,AD′分别为对应角的平方线 ∴ △ABD∽△A′B′D′.
2. 若△ ABC ∽△ DEF ，相似比为9∶4，则△ ABC 与△ DEF 对应中线的比为(　A　)
3. 已知△ ABC ∽△A'B'C'， BD 和B'D'分别是两个三角形对应的角平分线，且 AC ∶A'C'＝2∶3.若 BD ＝4 cm，则B'D'的长是(　C　)
4. 如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 三边的中点，则△ DEF 与△ ABC 对应高的比是(　A　)
2.相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比和面积的比分别与相似比有什么关系？
图中①②③分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？
(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的周长比=______.
结论：相似三角形的周长比等于_______．
你发现其中的规律了吗？
我们该如何证明这个结论呢？
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
三角形的性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比.
6. [2024·阜阳临泉月考]若两个相似三角形的相似比为3∶4，且较大的三角形的周长是16，则较小的三角形的周长为(　D　)
3.相似三角形性质定理3
①与②的相似比＝______，①与②的面积比＝______；①与③的相似比＝______，①与③的面积比＝______.
图中①②③分别是边长为1、2、3的等边三角形，回答以下问题：
结论：相似三角形的面积比等于___________．
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.
三角形的性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
9. [2024年1月安庆期末]如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD ∶ DB ＝1∶2，则 S△ ADE ∶ S△ ABC ＝(　D　)
10. 某公园占地面积为57 622.48 m2，其中景观绿化面积约为37 000 m2，在按比例尺1∶300缩小绘制的公园示意图中，其景观绿化面积大约相当于(　C　)
例1. 两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为x cm，
解得x＝18.较长的角平分线长为24 cm.故这两条角平分线的长分别为18 cm，24 cm.
∴ △ADE∽△ABC.
解 ∵ DE//BC，
分析：由DE//BC可判定ADE∽△ABC，再根据性质定理3可解
∴△DEF∽△ABC，相似比为1 : 2，∴△DEF的周长＝ △ABC的周长，△DEF的周长为12.
例3.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长．
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
分析：先根据AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，得到△ABC和△DEF相似，并求出相似比等于2，再根据相似三角周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答.
课本例1：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC＝80厘米，高AD＝60厘米，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上，求这个矩形零件的边长．
4.相似三角形性质的应用举例
解：如图，矩形PQRS为加工后矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E，设PS为xcm，则PQ＝2xcm.
答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.
∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴△APQ∽△ABC，
解方程，得：x＝24，2x＝48.
如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120毫米，高AD＝80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的．△ABC的高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边长为x毫米．
答：这个正方形零件的边长是48毫米．
∴△APN∽△ABC，
分析：设正方形的边长为x，表示出AE的长度，然后根据相似三角形性质定理1求解即可
11.如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
分析:利用中位线定理与对边成比例及三角形相似的性质定理3求解.
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
11.如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
1.已知：△ABC∽△A'B'C'，BC =3.6cm，B'C'=6cm，AE是△A'B'C'的一条中线，A'E '=2.4 cm，求△A'B'C'中对应中线 A'E'的长.
2.已知：在△ABC中，BC = 120 mm，边BC上的高为80mm.在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上.问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？
3.已知在 △ABC 中，DE//BC，DE 交 AB，AC 于 D，E，DE = 2，BC = 5，△ABC 的面积等于20，求△ADE 的面积.
4.若两个相似三角形的面积比是3：4，则它们的周长比是多少？
解：由相似三角形的性质知，另一个三角形三边之比也为2∶5∶4，设其三边长分别为2x cm，5x cm，4x cm，所以2x+5x+4x=55，解得x=5，故另一个三角形三边长分别为10cm，25cm，20cm.
解：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
(2) 已知它们的面积相差550 cm2，求这两个三角形的面积.
∴S△KBE=36，∴S四边形BDPQ=S△KBE－S△KQP－S△PDE=36－4－16=16，同理可求得S四边形CEPR=24，S四边形AKPG=12，∴S△ABC=16+12+24+16+9+4=81．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB且DC=AB，
又∵AE∶EB=1∶2，∴AE∶AB=1∶3，即AE∶CD=1∶3，且由题意知△AEF∽△CDF，所以△AEF的周长∶△CDF的周长=AE∶CD=1∶3.
(2) 如果S△AEF=6，求S△CDF的值.
(2) 求△ABD与△ACB的周长比和面积比.
(2) 解：∵△ABD∽△ACB，∴△ABD与△ACB的周长比=BD∶CB=4∶7，△ABD与△ACB的面积比为16∶49.
(1) 请写出图中各对相似三角形(不包括相似 比为1的三角形)；
解：(1)△ABP∽△CQP∽△DQR，△BPC∽△BRE.
(2) 求BP∶PQ∶QR的值.
(2)由题意知AC∥DE，∴△QPC∽△QRD，∴PQ∶QR=CP∶RD.∵R是DE的中点，∴DR=ER，则PQ∶QR=CP∶ER，
又∵四边形ABCD与四边形 ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE.又AC∥DE，∴CP是△BRE的中位线，
∴PQ∶QR=CP∶ER=1∶2，即PQ∶PR=1∶3，QR∶PR=2∶3 .而BP=PR，∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2.
解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE.
∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABD∴∠DBE=∠EDB.∴BE=DE.由DE∥AB得△CDE∽△CAB，∴CE∶CB=DE∶AB，CE∶DE=CB∶AB=6∶9=2∶3，
即 CE∶BE=2∶3，∴CE∶BC=2∶5.再由△CDE∽△CAB得S△DCE∶S△ACB=4∶25，∴S△DCE∶S四边形ABED=4∶21.