2025~2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上册1月期末考试数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上册1月期末考试数学试卷（原卷），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A. 6B. 16C. 24D. 216
4. ，，三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ）
A. 30种B. 36种C. 72种D. 81种
5. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A. 0.35B. 0.32C. 0.45D. 0.36
7. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.）
9. 下列说法正确有（ ）
A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B. 随机变量X服从正态分布，，若，则
C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立
D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为
10. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C的长轴长为
B. 点P到直线最大距离是
C. 直线的方程为
D. 若，则最大值是
11. 已知双曲线：一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ）
A. 点到渐近线的距离为3
B. 若，则最小值是
C. 当时，的面积为
D. 若为坐标原点，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为_____.
13. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是_______.
14. 设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤.）
15. （1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程.
16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点.过该抛物线的焦点且斜率为的直线，与抛物线相交于、两点.
（1）求抛物线的标准方程和线段的长；
（2）求的值.
17. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：

（1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数；
（2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”.
（i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差.
18. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是.
（1）求动点P的轨迹曲线C的方程；
（2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值.
19. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点；
（3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值．