2026成都石室中学高三下学期二诊模拟考试数学试题含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题p：“，”，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
5. 若点是函数图象的一个对称中心，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（ ）
A 1B. C. D.
8. 美味火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm.
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A. 平均数是3MB. 中位数是
C. 方差是9PD. 极差是
10. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
11. 在中，角，，所对的边长分别为a，b，c，且满足．点在线段的延长线上，则下列选项中正确的是（ ）
A B. 若，则
C. D. 若，当点运动时，为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则_______.
13. 已知，则最大值为______．
14. 若函数的图象存在对称轴，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若直线与曲线相切，求的值．
17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，．
（1）若，求点的坐标；
（2）证明：是定值，并求出的值；
（3）求四边形面积最大值．
19. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，，，，且，，如，所以在三进制下可写为.
（1）将五进制数转化成三进制数.
（2）对于任意两个不同的位二进制数，，，记.
①若，求随机变量的分布列与数学期望；
②证明：.