河南省新未来2026届高三上学期2月期末测评数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省新未来2026届高三上学期2月期末测评数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．4B．6C．8D．16
3．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ）
A．B．C．D．
4．已知的定义域为，且对任意都成立，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ）
A．4B．C．16D．8
6．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法：
第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验；
第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表：
第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异，
第4步，计算．计算得到，
第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．
附：，．
若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异
B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异
C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关
D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001
7．已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．内含D．外切
8．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设，，，则下列说法正确的有（ ）
A．若且，则B．
C．D．
10．如图所示，在五面体中，与均为正三角形，四边形、四边形、四边形均为等腰梯形，平面∥平面，，，为中点，则下列选项正确的是（ ）
A．五面体不一定是棱台
B．若，则
C．若，则五面体的体积为
D．若，则五面体外接球的表面积为
11．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（ ）
A．
B．当时，面积的最大值为16
C．当时，双曲线的离心率为
D．当时，双曲线的渐近线方程为
三、填空题
12．在二项式的展开式中，各项系数的和是___________.
13．过点作曲线的切线，则切线方程为______．
14．已知函数，则不等式的解集为______．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间和值域；
(2)当时，函数的图像与直线有两个交点，求实数的取值范围．
16．如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，平面，平面平面．

(1)证明：；
(2)若，点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（1）证明：当时，；
（2）已知数列的通项公式为，证明：．
18．已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上一点到焦点的最小值为1．直线：与抛物线交于，两点，设（是常数），且，都有（其中为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求值；
(3)若，求．
19．某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐．
(1)求；
(2)求（）；
(3)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望．
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
33
10
43
乙校
38
7
45
合计
71
17
88
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案
1．A
【详解】由，得；
解方程，得或，所以；
已知，则，所以.
故选：A
2．B
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由题知，解得，
从而.
故选：B
3．D
【详解】已知，
又因为，所以，
又由余弦定理，
又因为，
所以，
故选：D.
4．C
【详解】因为对任意都成立，所以，
则函数的图象关于直线对称，
且当时，，又因为，
所以.
故选：C．
5．D
【详解】因为，是圆上的两个动点，
所以，所以.
因为，所以.
故选：D.
6．C
【详解】由题，列出新的列联表如下：
代入卡方公式：
，其中，
所以，
，
所以认为 “学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握，
故AB错误.
且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误.
故选：C.
7．B
【详解】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、，
所以，又，
因此，
又以为直径的圆的半径，圆心为，
以为直径的圆的半径，圆心为，
即，所以以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为内切.
故选：B
8．B
【详解】因为，所以，
将其解集（部分）在数轴上表示如下：
若，存在，使得成立，
则区间的长度大于等于相邻两个解集之间的长度，
即，即，
又，所以，所以的最大值为.
故选：B.
9．ABD
【详解】对A，因为，所以，即，
又因为，所以，所以，所以选项A正确；
对B，设，
则
，
，
即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确；
对C，若，则，所以，所以选项C错误；
对D，设，
则，
，所以.所以选项D正确．
故选：ABD．
10．BC
【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，又因为四边形为等腰梯形，所以，
同理，即.
对于选项A，因为四边形为等腰梯形，且，所以延长一定相交，设交点为，则，
又因为平面，所以平面，同理平面，
又因为平面平面，所以点，
即，交于点，所以五面体一定是棱台，所以选项A错误；
对于选项B，因为为中点，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以.
因为交于点，所以将三棱台还原成三棱锥，
如图1所示，
由题意可得，，又因为为正三角形，所以点在底面的射影为的中心，所以三棱锥是正三棱锥.
因为，即，所以，因为是正三棱锥，
所以，
即，所以，所以选项B正确；
对于选项C，因为，所以点分别是的中点，
又因为，所以，
如图2，
过点作平面，垂足为，设平面，连接，
因为为的中心，则，
所以，则，
则
)，所以选项C正确；
对于选项D，因为五面体是正三棱台，
所以外接球的球心一定在线段上或者在的延长线上，
如图3所示，连接，
设，则，又因为，
由得：，
解得，则，
所以五面体外接球的表面积为，所以选项D错误.
故选：BC.
11．ACD
【详解】因为双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，
所以，渐近线为.
假设过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，
则为点到渐近线即的距离，即，A正确；
当时，，所以.
所以的面积为.
在直角三角形中，，所以.
所以，所以，所以.
由于，当且仅当时等号成立，此时的面积取最大值为8，B错误；
因为，所以点是的中点，因为，所以.
又点在双曲线上，所以，化简得.
所以解得双曲线的离心率为，C正确；
设，由点在到渐近线的垂线段上，
直线的斜率为，所以直线的方程为，
，设，所以
设，所以，解得，而.
所以，则.
在中，由余弦定理得，
利用关系式，
即，化简得，
将的表达式代入，得到关于的方程，化简后可解得，
故渐近线方程为，D正确.

故选：ACD.
12．
【详解】在中，令可得，
所以各项系数之和为，
故答案为：.
13．
【详解】设切点，，
则切线斜率为，则切线方程为，
将代入得，
解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
14．
【详解】当时，，所以，
所以在上单调递增，所以；
当时，，
因为在上单调递减，在定义域内单调递增，
所以在上单调递减，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以；
所以在R上单调递增.
令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，
所以在R上单调递增，且，
故不等式可化为，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：
15．(1)单调递增区间为；值域为
(2)
【详解】（1）由函数
，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
因为，可得，可得，
所以函数的值域为.
（2）由，可得，
令，则函数，
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，
且当时，，当时，，当时，，
要使得函数的图像与直线有两个交点，则满足，
所以实数的取值范围为．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过点作交于，因为平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以.
因为平面，平面，所以.
又平面，所以平面.
又平面，所以.
（2）由（1）可知平面，因为点到平面的距离为，
所以.
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则.
所以.
设平面与平面的法向量分别为.
所以，
即，，
令，则.
所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为
.

17．（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【详解】（1）令，则，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，即；
将中的都换成得，，即，即.
综上，当时，.
（2）令，
则，
将中的都换成得：，
所以，所以在上单调递增，
因为，所以，则，
即，
即，所以，即；
将中的换成得：，当且仅当时取等号；
因为，所以，即，即，所以．
综上有．
18．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为抛物线，所以焦点，
当点在抛物线的顶点时，与焦点距离最近，所以，即，
所以抛物线的方程为：.
（2）联立，得，，
设，则，
因为，所以，
又因为，所以，即，
又因为，
所以，即，
所以，化简得：，
因为对都成立，所以，解得.
（3）（3）由（2）知，易知当时，不满足，
故，因为，所以，
其中，即，解得，
又因为，解得，
因为，设直线与轴交于点，所以，
因为，所以．
19．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题知，，，
（2）由题知，，
可得，
又，则是首项为，公比为的等比数列，
则，
则
（3）王同学前5天在哪个餐厅用餐可能情况如下：
所以可取值为2，3，4，
，
，
，
即的分布列为：
.学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
330
100
430
乙校
380
70
450
合计
710
170
880
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
X
A
A
B
A
A
4
B
3
B
A
3
A
A
A
B
3
B
A
3
B
2
B
A
A
3
B
2
2
3
4