河北省承德市2026届高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省承德市2026届高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了已知等差数列的前项和为，则，若，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知为常数，若的展开式中的系数是，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．10B．12C．14D．24
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知在直角梯形中，，若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ）
A．B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若数据的平均数为3，则数据的平均数为7
B．若数据的方差为3，则数据的方差为6
C．数据1，1，2，3，3，4，5，5的第70百分位数为3
D．若随机变量服从正态分布，且，则
10．如图，在直三棱柱中，，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“J延拓”．如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到数列1，2，2，4，2．将数列经过次“J延拓”后所得数列的项数记为，所有项的乘积记为．给定数列，2，1，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．若，则正整数的最小值为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若抛物线的准线与圆相切，则 ．
13．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为 ．
14．甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，角的对边分别为．已知，且．
(1)求；
(2)求的面积．
16．已知椭圆的离心率为，点分别是的左顶点和上顶点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率存在的直线与相交于两点，若的面积为，求直线的方程．
17．在如图所示的多面体中，正方形与直角梯形所在的平面垂直，，.
(1)证明：四点共面；
(2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知，函数的导函数为．
(1)若，求的极值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若存在实数，使得“”是“”的充要条件，求的取值范围，并求的最小值．
19．“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行．
(1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为．
（i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率；
（ii）求第次答题的是选手甲的概率．
(2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：．
1．C
【详解】，则,.
故选：C
2．D
【详解】因为复数.
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．A
【详解】由展开式的通项得：
当，，又的系数是，
故.
故选：A
4．B
【详解】等差数列中，，因此，得；
对用通项公式展开：；
由，代入、，得；
由，代入、，得；
.
故选：B
5．D
【详解】由，得，
两边平方，得，即.
所以.
故选：D.
6．A
【详解】由是定义在上的偶函数，得，
则，
又为偶函数，且在上单调递增，因此，
即，解得，所以所求解集为.
故选：A
7．B
【详解】过点作，垂足为，延长交延长线于点，
因为，则为等腰直角三角形，
又易得四边形为正方形，则，，
因为，则，则也为等腰直角三角形，且，
连接，过点作，易得，
若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，
则形成的空间几何体为两个同底的大圆锥去掉两个同底的小圆锥，其中大圆锥的底面半径长为，高为，
小圆锥的底面半径为，高为，
其体积为.
故选：B.
8．C
【详解】已知双曲线离心率，所以：，
又，代入得：，
故渐近线方程为，
取右焦点，并作平行于渐近线的直线：，
联立直线与双曲线方程得：，
化简：，，
分子：，
所以，
，
代入直线方程求：，
因此，点位于双曲线右支，
故，
由双曲线定义，得：，
故
故选：C
9．AD
【详解】数据的平均数为3，则数据的平均数为，所以A正确；
数据的方差为3，则数据的方差为，所以选项B错误；
数据1，1，2，3，3，4，5，5共有8个数，可知，所以第70百分位数为第6个数，即4，所以选项C错误；
可知正态分布均值，则，
因为，所以.所以D正确；
故选：AD
10．ABD
【详解】如图所示，连接与交于点，连接，
由三棱柱为直三棱柱，又，故四边形为正方形，
即与交点为两直线中点，又为的中点，
则中，，又平面，平面，
故平面，A选项正确；
由，则，
化简得，所以，B选项正确；
由，又为的中点，故，取中点，连接，
如图所示，以为原点，方向为轴建立空间坐标系.
则，，
由得，即，
故，，，，
则异面直线与所成角的余弦值：
，C选项错误；
由直三棱柱的性质可得：平面，平面，
所以，又，平面，故平面，
即为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，D选项正确.
故选：ABD
11．BCD
【详解】A、∵初始数列为，经过一次“J延拓”后得到的新数列为 ，即，
∴为该数列所有项的乘积，即 ， A选项错误；
B、∵设原数列有 项，进行一次“J延拓”后，会在个位置插入新项，所以新数列的项数为，
∴与 的关系为，
∴，
∵ 初始数列有3项，所以，则 ，
∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，B选项正确；
C、∵由B选项可知，数列 是等比数列，
∴其通项公式为 ，
∴，C选项正确；
D、由题意得满足递推关系
∵，可得的通项公式为，
因此，
要使，由于是主要项，该不等式近似为，即，
∵，，
∴满足不等式的最小正整数为7，故D正确；
故选：BCD．
12．1
【详解】抛物线的准线为，圆的圆心为，半径为，
因为与圆相切，
显然点在直线的下方，所以.
故答案为：
13．
【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率，
又，即，
所以，解得得，
即切点坐标为，
故切线方程为，整理得：.
故答案为：
14．
【详解】由题意可得，在已知甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的情况有
①甲以3：0获胜，概率为；
②甲以3：1获胜，概率为；
③甲以3：2获胜，概率为.
所以甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的概率为.
甲获胜的总概率为.
所以条件概率为.
故答案为：.
15．(1)
(2)．
【详解】（1）由，结合正弦定理，得
又在中，，
代入上式，得，
即，
因为，所以，所以，
即，即，
又，所以，
故．
（2）已知，由，得，由（1）知，
由余弦定理，得，
即，解得．
所以的面积为．
16．(1)
(2)或．
【详解】（1）设的焦距为．
由已知得解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）易知．因为直线经过点，所以可设直线，
由消去，得，
恒成立，
设，则，
所以
，解得．
所以直线的方程为或，
即或．
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
在直角梯形中，可知，所以两两互相垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
所以，故四点共面．
（2）因为．
所以，设平面的法向量为，
则取．
因为是的中点，所以，
所以，设平面的法向量为，
则取．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)极小值为，极大值为．
(2)证明见解析
(3)的取值范围是的最小值为．
【详解】（1）当时，，
当或时，单调递减；当时，单调递增.
故的极小值为，极大值为．
（2）因为，所以的定义域是，定义域关于原点对称．
.
，且，
所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形．
（3）“”是“”的充要条件，即当时，，当时，．
①若，则，所以在上单调递减，
若“”是“”的充要条件，则．
设，
则是增函数．
所以，当时取等号，
即的最小值为．
②若，由，得，
此方程有两个正根，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以．
此时若存在，使得对任意，则必有，
与“当时，”矛盾，故不符合条件．
综上，的取值范围是的最小值为．
19．(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
【详解】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，
由题知，，
由全概率公式知，，
，
已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为．
（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，
记，
由题知，当时，
，
由全概率公式知，
，
，
，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
，
则，即第次答题是选手甲的概率为．
（2）的所有可能取值为，
所以的分布列为
故①，
②，
①-②，得
所以．
1
2
3
．．．
．．．