2026年中考第一次模拟考试：数学提分卷01（福建专用）

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（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互为倒数两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性质是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 球体B. 圆锥C. 棱柱D. 圆柱
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.
考点：几何体的三视图.
4．下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂，熟练掌握相关运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂进行计算即可．
【详解】解：A中，，故选项错误，故不符合题意；
B中，，故选项错误，故不符合题意；
C中，，故选项错误，故符合题意；
D中，，故选项正确，故符合题意；
故选：D．
5．一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（ ）
A. 35°B. 25°C. 30°D. 15°
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE∥CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°-30°=15°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
6．某校有七、八、九三个年级，为了解全校学生的课外阅读情况，老师进行了抽样调查，下列选取调查对象的方式中，较为合理的是（ ）
A. 从七年级随机选取90名学生
B. 从三个年级随机选取两个班的学生
C. 从三个年级各随机选取30名男生
D. 从三个年级各随机选取30名学生
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，因为某校有七、八、九三个年级，为了解全校学生的课外阅读情况，故从三个年级各随机选取30名学生，即可作答．
【详解】解：A、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从七年级随机选取90名学生是不合理的，故该选项不符合题意；
B、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从三个年级随机选取两个班的学生是不合理的，故该选项不符合题意；
C、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从三个年级各随机选取30名男生是不合理的，故该选项不符合题意；
D、因为了解全校学生的课外阅读情况，所以从三个年级各随机选取30名学生是较为合理的，故该选项符合题意；
故选：D
7．根据广东省统计局数据，广东省年的地区生产总值为亿元，位列全国第一，年的地区生产总值为亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程，
，
故选：B．
8． 如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A. 8米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】先作出图形，得出∠ABC≤60°，最大角为60°．再解这个直角三角形即可．
【详解】解：此题考查的是解直角三角形
如图：AC=4，AC⊥BC，
∵梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能＞60°．
∴∠ABC≤60°，最大角为60°．
∴
即梯子的长至少为米，
故选：C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找出∠ABC=60°是解题的关键．
10．已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称，
①当时，则点关于对称轴对称，
∴，
∴；
②当时，则：，
∴，
∴，
∴；
③当时，则：，
∴，
∴，
∴；
综上：；
故选A．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．在知识抢答中，如果用表示得分，那么扣分表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量．如果得分记为正数，那么扣分就相应的记为负数．
【详解】解：得分和扣分是具有相反意义，表示得分，那么扣就应表示为：．
故答案为：．
12．如图，在中，，是边上的中线，若，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线且，
∴．
故答案为：
13．不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据球的总数和白球对应频率即可求得白球的个数．
【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，
∴袋中白球的个数约为（个），
故答案为：2．
14.某水果超市销售山竹，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
若山竹销售价定为元千克，则山竹的销售量为 千克．
【答案】
【分析】根据表格数据符合一次函数规律，待定系数法得出一次函数解析式进而得出答案．
【详解】解：由表中数据可得：销量与销售价是一次函数关系，则设，
把，代入得：
，
解得：，
故函数解析式为：，
若山竹销售价定为元千克，则山竹的销售量为：（千克）．
故答案为：．
15.魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中取正整数且最小，则用该方法计算约为______结果保留一位小数
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，近似数与有效数字，将写成，再根据进行计算即可．掌握二次根式的性质与化简方法，理解近似数与有效数字的定义以及是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
，
∴约为．
故答案为：．
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是圆C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是_______．
【答案】3.
【解析】
【分析】先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．
【详解】解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，
∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，
∴BE最大时，最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，
∵BD是⊙C的切线，
∴∠GME＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝=5，
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，
∴△BHC∽△BCD，
∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，
∴△BHG∽△BAD，
在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝，
而BE＝GE﹣BG＝GE，
∴GE最大时，BE最大，
∴GM最大时，BE最大，
∵GM＝HG+HM＝+HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，
∴GP'＝HP'+HG＝，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，
∴BE最大时，点E落在点F处，
即：BE最大＝BF，
在Rt△GP'F中，FG＝，
∴BF＝FG﹣BG＝8，
∴最大值为1+＝3，
故答案为3．
三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，已知点，分别在，上，，求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，，根据“”证明，则．
【详解】证明：在和中，
，
，
．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x=，y=．
【答案】x+y，．
【解析】
【详解】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．
试题解析：原式= ==x+y，
当x=，y==2时，原式=﹣2+2=．
20．（8分）“弘扬中华传统文化，打响龙岩非遗品牌”，年月日，龙岩市非遗街举行了备受瞩目的“游龙则灵．遇见非遗”开街活动，展示了“闽西汉剧”、“龙岩采茶灯”、“连城姑田游大龙”、“闽西客家木偶戏”和“客家土楼营造技艺”等龙岩市非遗技艺和文化．我市某校七年级开展了“龙岩非遗，我的最爱”为主题的演讲比赛活动，初赛结束后，根据参赛选手的成绩（满分分）绘制了如下统计图表：
初赛选手成绩频数分布表
根据上面的信息，回答下列问题：
（1）频数分布表中___________，扇形统计图中部分的圆心角度数为___________度；
（2）成绩在的甲、乙、丙名选手参加最后的决赛，随机抽签决定他们的出场顺序，用列表法或树状图求甲比乙先出场的概率．
【答案】（1），；
（2）甲比乙先出场的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图，用树状图法求概率，明确题意，利用数形结合的思想解答，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
（）先利用组人数除以所占比得出参赛选手总人数，再求出组人数，然后减去组人数求出，再通过即可求出扇形统计图中部分的圆心角度数；
（）由题意画树状图，得到共有种等可能的结果，其中甲比乙先出场的结果有种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：参赛选手共有（人），
∴组参赛选手有：（人），
∴（人），
扇形统计图中部分的圆心角度数为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：画树状图如图，
共有种等可能的结果，其中甲比乙先出场的结果有种，
∴甲比乙先出场的概率为．
21．（8分）
如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积．
（1）直接写出的取值范围；
（2）求关于的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过作于，由等边三角形的性质推出，即可得到；
（2）过作于，由等边三角形的性质得到，，由含度角的直角三角形的性质得到，求出，由勾股定理求出，由三角形的面积公式即可得到关于的函数关系式．
【小问1详解】
解：过作于，
是边长为的等边三角形，
，
不与、重合，
，
；
【小问2详解】
过作于，
是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含度角的直角三角形，函数关系式，关键是由等边三角形的性质得到，由含度角的直角三角形的性质推出．
22．（10分）
阅读下列材料，解答问题．
【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）．
【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离；
要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度．
【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小．
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得．
解答问题：
（1）求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示）
（2）若测得，，，求出小土坡的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解；
（2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点作交延长线于点，则，
设，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
，
，即，
，
的长度为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
，，，
，，
，
，
答：小土坡的高度为．
23．（10分）
已知二次函数．当时，求解下列问题：
（1）若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
（2）若方程有两个相等的实数根，求证：；
【答案】（1）（2） 见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解；
（2）根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解；
【详解】
解：（1）∵，对称轴为直线，
∴，
∴，
把点代入得，，
∴该函数的表达式为；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
24．（13分）
根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……
将纸按如图1所示的方式折叠．
（1）观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________；
（2）某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为．
请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积．
【答案】（1）
（2）作图见解析，不唯一
【解析】
【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键．
（1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解；
（2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解．
【小问1详解】
解：设纸的长为，宽为，
第一次翻折：由图可知，，
∴四边形是正方形，
∴，
第一次翻折：，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵纸的宽与长的比值为，
∴如图，设，，
由题可知，
∴底面积为，
得，
作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体，
此时，，
∴，
∴底面积为，
此时如图：
如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体，
此时，，
∴，
∴底面积为，
此时如图：
25．（13分）
如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若平分．
①已知，，求的长；
②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）①；②，见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形内角和定理得到，进而即可得解；
（2）①过点B作于点M，则，先证，可得，所以，利用勾股定理求出，再利用等面积求出，，，，最后再证，利用相似比求解即可；
②先证都是等腰直角三角形，过点F作于点M，可证，，所以，设，则，，进而即可得解．
【小问1详解】
证明：如图1．
∵是的直径，，
∴，
∵对的圆周角是和，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①如图2，过点B作于点M，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，，由勾股定理，得：．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
②与的数量关系是，理由如下：
如图．
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
过点F作于点M，
∵平分，
∴，
在中，，
由①，得：，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设，则，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
每千克售价元
每天销量千克
组别
成绩（分）
人数