九年级上学期数学考点突破与提分——一元二次方程应用题练习2（含答案）

这是一份九年级上学期数学考点突破与提分——一元二次方程应用题练习2（含答案），共45页。
目标导航
知识精讲
知识点01 动点问题
在Rt△ABC中，AB=m，BC=n，动点P从A以a单位/秒向B运动，
点Q从B以b单位/秒向C运动，设运动时间为x秒，则
知识点02 销售问题
总利润=
【举例如下】：
当降价x元后：
①单件利润为： 元
②销售数量为： 件；
销售量的表达式求解过程：
能力拓展
考法01 动点问题
【例题1】如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．
发现：
（1）__________；
（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
（1）当时，的面积为_________；
（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
拓展：当时，直接写出此时的值．
【即学即练1】如图所示，中，，，．
点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？
考法02 销售问题
【例题2】某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克．
（1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格：
（2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润元？
【即学即练1】某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
考法03 数字问题
【例题3】如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
【即学即练1】一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是________．
【即学即练2】一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为__________．
分层提分
题组A 基础过关练
1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4-0．5x）=15B．（x+3）（4+0．5x）=15
C．（x+4）（3-0．5x）=15D．（x+1）（4-0．5x）=15
2．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是( )
A．B．
C．D．
3．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
5．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是________．
6．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始向B运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒．它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长：
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
7．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
8．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
题组B 能力提升练
1．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
2．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．
（1）直接写出：
①每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式；
②每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元?
（3）若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．
3．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价上涨x元（x＞0），每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．
4．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程．
题组C 培优拔尖练
1．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．
（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？
（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m的值．
2．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
课程标准
1、了解动点问题的等量关系；.
2、掌握销售问题中各个量之间的关系.
3、会列动点问题和销售问题的一元二次方程.
点P的速度
动点P运动的路程
PB
a单位/秒


点Q的速度
动点Q运动的路程
QC
b单位/秒






未知数x
销售量
总利润
x为降价
销售量与x是 关系
总利润=
x为涨价
x为降价
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
设每件商品降价x元.
每千克土特产售价(单位：元)
可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售

天后出售


一元二次方程应用题（2）
目标导航
知识精讲
知识点01 动点问题
在Rt△ABC中，AB=m，BC=n，动点P从A以a单位/秒向B运动，
点Q从B以b单位/秒向C运动，设运动时间为x秒，则
知识点02 销售问题
总利润=进价×销售量=（售价－进价）×销售量=单件利润×销售量
【举例如下】：
当降价x元后：
①单件利润为：（50－x）元
②销售数量为：（30+2x）件；
销售量的表达式求解过程：
设销售量为y件，则，
由题可知：
当x=0时，y=30（降价0元，即不降价，销售量为30件，即原销售量）
当x=1时，y=32（降价1元，即不降价，销售量增加2件，为32件）
将该数据代入，得：

解得：
，
所以
则总利润=单件利润×（一次函数的表达式）
能力拓展
考法01 动点问题
【例题1】如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．
发现：
（1）__________；
（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
（1）当时，的面积为_________；
（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
拓展：当时，直接写出此时的值．
【答案】
（1）5；
（2）相遇点在边上，AP＝1；
探究：
（1）1；
（2）不能，理由见解析；拓展：
【解析】
发现：（1）在中，
∴AB=5；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
探究：（1）当时，PC=1，BQ=2，即CQ=2
∴
故答案为1；
（2）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半．
拓展：由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
【即学即练1】如图所示，中，，，．
点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？
【答案】(1) 线段不能将分成面积相等的两部分；(2) 经过秒、秒或秒后，的面积为．
【解析】
【分析】
（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【详解】
（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，∴（6﹣x）•2x=××6×8，∴x2﹣6x+12=0．
∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1．分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4．
由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+（不合题意，应舍去），t2=5﹣
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5．
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+，t2=5﹣（不合题意，应舍去）．
综上所述：经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．
考法02 销售问题
【例题2】某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克．
（1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格：
（2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润元？
【答案】
（1）10，，；
（2）这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元．
【解析】
解：
（2）设商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，有题意得
．
解得，(不合题意，舍去)
答：这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元．
【即学即练1】某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
【即学即练2】宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：设房价定为x元，
根据题意，得
故选A．
【即学即练3】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
【答案】
（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．
【解析】
（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．
化简，得：x2﹣10x+2400=0．
解得：x1=30，x2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），．
答：该店应按原售价的8折出售．
考法03 数字问题
【例题3】如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
【答案】11或﹣8
【解析】
解：设较小的数为x，则较大的数为x+3，
根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，
分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，
解得：x＝8或x＝﹣11，
∴x+3＝11或﹣8，
则较大的数为11或﹣8，
故答案为：11或﹣8．
【即学即练1】一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是________．
【答案】
【解析】
解：设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴这个两位数为32，
故答案为：32．
【即学即练2】一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为__________．
【答案】10（x+2）+x=3x2．
【解析】
解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，
由题意得，10（x+2）+x=3x2．
故答案为10（x+2）+x=3x2．
分层提分
题组A 基础过关练
1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4-0．5x）=15B．（x+3）（4+0．5x）=15
C．（x+4）（3-0．5x）=15D．（x+1）（4-0．5x）=15
【答案】A
【解析】
设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故选：A．
2．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
设房价定为x元，根据题意，得
故选：D．
3．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：设每盆应该多植株，由题意得
，
故选：．
4．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
【答案】
【解析】
由较小的数为x可知较大的数为x+3，
故它们的平方和为x2+(x+3)2
再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，
故答案为x2+(x+3)2=65.
5．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是________．
【答案】
【解析】
解：设十位上的数字为，的个位上的数字为，可列方程为
，
解得，（舍去），
，
，
故答案为24．
6．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始向B运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒．它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长：
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）cm；（2）秒；（3）6.6秒或6秒或5.5秒
【解析】
解：（1）当t=2时，则AP=2，BQ=2t=4，
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=cm，
即PQ的长为cm；
（2）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8-t=2t，
解得t=，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，
∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，
则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，
解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；
②当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6；
③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；
综上可知：当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．
7．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
【解析】
（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=，x2=；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-（舍去）；
③＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
8．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
【答案】
（1）当t＝2时，△PAQ为等腰三角形；（2）当t＝时，△APD的面积为6cm2；（3）五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；（4）t＝
【解析】
解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵为等腰三角形，，
∴，即，
解得：，
∴当时，△PAQ为等腰三角形；
（2）∵（cm2），
∴，
解得：，
∴当时，的面积为6cm2；
（3）∵（cm2），
∴
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；
（4）在Rt△APQ中，，
根据题意得：，
∴化简后得：，
解得：，，
∵，，
∴，
∴（舍去），
∴．
题组B 能力提升练
1．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
【解析】
解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
2．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．
（1）直接写出：
①每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式；
②每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元?
（3）若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．
【答案】
（1）①；②；
（2）元；
（3）在每袋口罩销售利润不低于元的情况下，不能获得元的总利润；理由见解析．
【解析】
（1）①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，得：；
②根据题意得：；
（2）∵
∴
∵
解得: ， (舍去)
∴要想获利元，销售单价应定为元；
（3）∵每袋口罩的利润不低于元
∴
∴
由（2）知
∴
当时，
解得：或
或，与矛盾
∴在每袋口罩销售利润不低于元的情况下，不能获得元的总利润．
3．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价上涨x元（x＞0），每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．
【答案】（1）(600﹣20x)；（2）37元；（3）38元或50元．
【解析】
（1）依题意得：600﹣20x．
故答案是：600﹣20x．
（2）方法一：
设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8400，
解得x1=36（舍），x2=37．
当x=36时，（40﹣36）×200+600=1400＞1210；
当x=37时，（40﹣37）×200+600=1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价x元．
根据题意，得（40﹣x﹣30）（200x+600）=8400，
解得x1=3，x2=4（舍）．
当x=3时，40﹣3=37，（40﹣37）×200+600=1200＜1210；
当x=4时，40﹣3=36，（40﹣36）×200+600=1400＞1210；
答：每个台灯的售价为37元；
（3）设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8000，
解得x1=38，x2=50．
答：每个台灯的售价为38元或50元．
4．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程．
【答案】
（1）
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售400桶水．
【解析】
（1）设日均销量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，
根据题意：
解得k=-50，b=850，
所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系:
（2）问题“若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售多少桶水？”或“若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？”
根据题意得一元二次方程
解得 ， （不合题意，舍去）
当x=9时，p=-50x+850=400（桶）
答：若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售400桶水．
题组C 培优拔尖练
1．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．
（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？
（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m的值．
【答案】（1）30 （2）2
【解析】
（1）解：设推出大平层x套，小三居y套，由题意得
②①
故11月要推出30套大平层房型；
（2）解：由题意得，12月大平层推出套，单价为，12月小三居推出套，单价为
∴
解得或
∵
∴．
2．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
【答案】
（1）每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为50元；
（2）10．
【解析】
（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，
根据题意可列方程：，
解得：，经检验是原方程的解．
故每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为40+10=50元．
（2）设上半月腊肉销售量为m袋，则上半月香肠销售量为袋．
根据题意可列方程：，
解出：，
则上半月腊肉销售量为80袋，香肠销售量为60袋．
下半月调整售价后，腊肉的售价为元，销量为袋；香肠的售价为元，销量为袋．下半月的利润为元．
即可列出方程．
∴．
解得：，（舍）．
故a的值为10．
课程标准
1、了解动点问题的等量关系；.
2、掌握销售问题中各个量之间的关系.
3、会列动点问题和销售问题的一元二次方程.
点P的速度
动点P运动的路程
PB
a单位/秒
点Q的速度
动点Q运动的路程
QC
b单位/秒


未知数x
销售量
总利润
x为降价
销售量与x是一次函数关系
总利润=单件利润×（一次函数的表达式）
x为涨价
x为降价
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
设每件商品降价x元.
每千克土特产售价(单位：元)
可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售

天后出售


每千克土特产售价(单位：元)
可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售
天后出售