四川成都市第七中学2025-2026学年高二下学期第2周周测数学试题解析版

这是一份四川成都市第七中学2025-2026学年高二下学期第2周周测数学试题解析版，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 记 为等差数列 的前 项和,已知 ,则公差
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
【答案】A
2. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则
A．2B．C．1D．
【答案】C
【解析】，即，整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得 ，解之得.
3.已知实数列成等比数列，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为实数列成等比数列，由等比数列的性质有：，解得，但注意到无论等比数列的公比是正是负总有，所以，从而 .
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬40°，则晷针与点处的水平面所成角为
A．40°B．50°C．80°D．90°
【答案】A
【解析】如图，过晷针和球心作地球的截面，表示赤道平面，表示水平面，是晷针，由题意，，，∴．
5.意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据斐波那契数列的定义知，数列：，
被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，
余数依次排成一列构成以8为周期的周期数列，，
所以数列的前2025项中被3除余1的项数为，
所以所求概率为.
6.如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，由底面为菱形，，
所以为等边三角形，故
取中点，连接，
因为是直四棱柱，所以平面，
又平面，所以
不妨设，所以，故，
由三线两两互相垂直，故以P为原点，
所在方向建立x，y，z轴，如下图所示：
则,，
，
由平面ABCD，所以平面ABCD可取，
设平面PMN的法向量为，
所以，
取，则，故
由MN与所成的角为，MN与平面ABCD所成的角为，
二面角的平面角为，
其中
所以，
，
所以，
，
因为在上递减，，
又，
所以
7.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】，，
，
令，则，
，即，
，
，
，
解得.
8.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.
从而有，
整理得，
，
，
，，
由于皆为正整数，所以
（i）当时，，
当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是
A．该校高二学生总数为800
B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70
C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人
D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等
【答案】ACD
【解析】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确；
对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误；
对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确；
对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为；
而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确.
10.在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是
A．若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段
B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧
C．若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线
D．若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线
【答案】ABD
【解析】对于A，，且，所以平面，平面平面，故动点P的轨迹为线段，所以A正确；
对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；
对于C，作，，连接；作.由，在面内，以C为原点、以直线、、为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设，则，化简得，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.
对于D，由题意可知点P到点的距离与点P到直线的距离之比为，结合C中所建立空间直角坐标系，可得，所以，代入可得，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.
11.设抛物线过点，点在抛物线上，且，直线的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，直线的斜率为，则
A．抛物线方程为B．数列是等比数列
C．D．
【答案】ACD
【解析】将点代入抛物线得，，解得，
抛物线方程为，A正确；
点在抛物线上，则，故，
所以，，
由直线的斜率得，
直线的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，故，
所以，即，
等式两边同除以得，，
设，故，所以，
解得，
所以，
则为公比为的等比数列，首项为，
故，
所以，
，则，
由于不是常数，数列不是等比数列，B错误；
对于CD，，所以，C正确；
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
显然，
当为偶数时，显然有，当为奇数时，有，
无论为奇数或偶数，均有．D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是________.
【答案】-1
【解析】由焦点坐标，知焦点在轴上，所以，可得双曲线的标准方程为，
由可得，可得 .
13.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清.每年1次，问每年应还______万元.
【答案】
【解析】设每年应还x万元，则有，
得，解得 .
14.在三棱柱中，平面是矩形内一动点，满足，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】∵，即的轨迹为以中点为圆心，为半径的圆，设中点为，则当三棱锥的体积最大时，，设三棱锥的外接球半径为 R ，则，解得，三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.若数列的前项和为，己知．
（1）求；
（2）设，求证：．
【解析】（1），可得，
由，可得，即，
可得数列是首项为 1 ，公比为的等比数列，则；
（2）证明：，则．
16.椭圆的左､右焦点分别为，焦距为6，点为椭圆上一点，，且的面积为9.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，的中点为，求直线的方程 .
【解析】（1）由，可得，故.
因为，且，
所以，则.
又因为，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
当直线的斜率不存在时，则，不合题意，舍去；
当直线的斜率存在时，
∵，则相减整理得，即直线的，
所以直线的方程为，即；
综上所述：直线的方程为 .
17.如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且
(1)若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离;
(2)若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）如图，取的中点O，连接
为等腰三角形，，，
又在底面内的射影为点B，
面，又面，，
又，且面，
面，
即为点A到平面的距离.
又为等腰直角三角形，且
点A到平面的距离为.
（2）如图，
取的中点O，连接，，
在底面内的射影为的中点，
面
为等腰三角形，，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为 .
18.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标;
(3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由.
【解析】
（1）由题设；
（2）设直线l方程为，且，，
联立直线l与抛物线，消去x，得，故，
因为，且，，
所以，则直线l方程为，过定点；
（3）由题设，Q在直线AM上，
设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为，
设，所以，即，
设，同理得，即，
，因为，所以，
因为，，所以，而，，，
所以，
因此为定值，定值为4 .
19.如图，为矩形对角线的交点，，，，，点，分别是线段，线段的等分点，直线和直线的交点为．

(1)当时，求直线与直线的交点的坐标；
(2)证明：点在同一椭圆上，并求出该椭圆的方程；
(3)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，当时，求的取值范围.
【解析】（1）已知，，为原点，在轴且，故，且轴，
所以，当时，，分别为，的中点，所以，，
直线过与，斜率，所以：，
直线过与，斜率，
所以：，联立，解得，，
所以.
（2）由题意可知，点是线段的第个等分点：，点是线段的第个等分点：，：，
：，设，联立，解得，，消去参数，，所以，
所以点在同一椭圆上，该椭圆的方程为.
（3）直线：代入椭圆方程可得，，由，设点，，
直线：，令得，同理，，，
因为 ，，故，同号，，
化简可得，由，结合解得 .