2024-2025学年上海市青浦实验中学七年级（下）期中数学试卷 （含答案）

这是一份2024-2025学年上海市青浦实验中学七年级（下）期中数学试卷 （含答案），共21页。
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.
1．下列长度的三根小木棒，不能摆成三角形的是（ ）
A．6cm，6cm，13cmB．5cm，7cm，11cm
C．9cm，6cm，8cmD．3cm，4cm，5cm
2．如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠3B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠2＝∠5
3．对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝90°B．∠1＝60°，∠2＝120°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1+∠2＝90°
4．在△ABC中，∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
5．如图，用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'，等于已知角∠AOB，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题（每题3分，共36分）
7．已知直线a、b、c在同一平面内，如果a∥c，b⊥c，那么直线a、b的位置关系是 ．
8．一个三角形的两个内角分别为23°和67°，那么这个三角形的第三个内角度数为 ．
9．已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于 ．
10．如图，直线AB和CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠DOE＝120°，那么直线AB和CD的夹角为 ．
11．如图，BE平分∠ABD，且BE∥CD．如果∠C＝30°，那么∠D＝ ．
12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠DCB＝144°时，台灯光线最佳．则此时∠CDE的度数为 ．
13．如图，∠1＝∠2，请你添加一个适当的条件，使得△ADC≌△ADB： （只需填写一个）．
14．现有一张长方形纸片ABCD，将它按如图所示的方式进行折叠，如果∠HED＝50°，那么∠BHG的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝82°，那么∠BEC＝ °
16．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝1，AD是△ABC的中线，设AD长为x，那么x的取值范围是 ．
18．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝ ．
三、解答题（第19题6分，第20，21，22题每题5分，第23题6分，第24题9分，第25题10分）
19．（6分）如图，已知∠α、∠β和线段a．
（1）求作△ABC，使∠A＝∠a，AB＝a，∠B＝∠β（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在第（1）题所作的△ABC中，画出△ABC的边BC上的高AD．
20．（5分）如图已知：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝72°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2＝ （ ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ ．
∴AB∥ （ ）．
∴∠BAC+ ＝180°（ ）．
∵∠BAC＝72°，
∴∠AGD＝ ．
21．（5分）已知：如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，∠ACE＝∠DFB，BF＝EC．求证：AB＝DE．
22．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DF＝ED，∠FDE＝∠B．求证：BD＝CE．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝60°，点E、F分别在边AC、BC上，且AE＝CF，连接AF和BE相交于点G．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）求∠BGF的度数．
24．（9分）已知：如图∠ABC＝∠DCB，BD、AC分别平分∠ABC、∠DCB．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）求证：AD∥BC．
25．（10分）【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列长度的三根小木棒，不能摆成三角形的是（ ）
A．6cm，6cm，13cmB．5cm，7cm，11cm
C．9cm，6cm，8cmD．3cm，4cm，5cm
解：A．∵6+6＝12＜13，∴不能构成三角形，故选项符合题意；
B．∵5+7＝12＞11，∴能构成三角形，故选项不符合题意；
C．∵6+8＝14＞9，∴能构成三角形，故选项不符合题意；
D．∵3+4＝7＞5，∴能构成三角形，故选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠3B．∠1＝∠3C．∠2＝∠4D．∠2＝∠5
解：A．∠2＝∠3，不能判断a∥b，符合题意；
B．∠1＝∠3，能判断a∥b，不符合题意；
C．∠2＝∠4，可判断a∥b，不符合题意；
D．∠2＝∠5，能判断a∥b，不符合题意．
故选：A．
3．对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝90°B．∠1＝60°，∠2＝120°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1+∠2＝90°
解：∠1＝∠2＝90°，和为180°且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，不符合题意；
∠1＝60°，∠2＝120°，和为180°，但两角不相等，结论不成立，符合题意；
∠1＝50°，∠2＝50°，和为100°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意；
∠1+∠2＝90°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意；
故选：B．
4．在△ABC中，∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
解：∵∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A＝90°+∠B，
∵三角形的内角和为180°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
5．如图，用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'，等于已知角∠AOB，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
解：连接DC，D'C'，
由作图可知，OD＝OD'＝OC＝OC'，DC＝D'C'，
在△ODC和△O′D′C′中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
∴能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是SSS．
故选：D．
6．如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（ ）
A．①B．②C．③D．④
解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形；
②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形；
③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形；
④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形；
根据全等三角形的判定定理，ASA进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共36分）
7．已知直线a、b、c在同一平面内，如果a∥c，b⊥c，那么直线a、b的位置关系是a⊥b ．
解：∵a∥c，b⊥c，
∴根据平行线的性质可得，b⊥a，即直线a、b的位置关系是垂直．
故答案为：a⊥b．
8．一个三角形的两个内角分别为23°和67°，那么这个三角形的第三个内角度数为 90° ．
解：180°﹣23°﹣67°＝90°，
则第三个内角为90°，
故答案为：90°．
9．已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于 5或7 ．
解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得，
当腰为7时，另一腰也为7，则底为19﹣7﹣7＝5，
∵7+5＞7，符合题意，
当底为7时，腰为19−72=6，符合题意，
综上所述，该三角形的底边长为5或7．
故答案为：5或7．
10．如图，直线AB和CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠DOE＝120°，那么直线AB和CD的夹角为 30° ．
解：∵∠BOE＝90°，∠DOE＝120°，
∴∠DOB＝∠DOE﹣∠BOE＝120°﹣90°＝30°，
∴直线AB和CD的夹角为30°．
故答案为：30°．
11．如图，BE平分∠ABD，且BE∥CD．如果∠C＝30°，那么∠D＝ 30° ．
解：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE（角平分线的性质），
又∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等），∠EBD＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠D＝∠C＝30°，
故答案为：30°．
12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠DCB＝144°时，台灯光线最佳．则此时∠CDE的度数为 126° ．
解：如图所示，过点C作CF∥AB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°（垂直的定义），
∵DE∥AB，
∴DE∥AB∥CF，
∴∠DCF＝180°﹣∠CDE，∠BCF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠BCD＝∠DCF+∠BCF＝144°，
∴∠CDE＝（180°﹣∠CDE）+90°＝270°﹣144°＝126°，
则∠CDE的度数为126°．
故答案为：126°．
13．如图，∠1＝∠2，请你添加一个适当的条件，使得△ADC≌△ADB：DC＝DB（答案不唯一） （只需填写一个）．
解：∵∠1＝∠2，而∠2+∠ADB＝180°，∠1+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠ADB．
同时，AD是△ADC和△ADB的公共边，即AD＝AD，
①添加DC＝DB（SAS判定）：
在△ADC和△ADB中，
AD=AD∠ADC=∠ADBDC=DB，
∴△ADC≌△ADB；
②添加∠CAD＝∠BAD（ASA判定）：
在△ADC和△ADB中，
∠ADC=∠ADBAD=AD∠CAD=∠BAD，
∴△ADC≌△ADB．
③添加∠C＝∠B（AAS判定）：
在△ADC和△ADB中，
∠ADC=∠ADB∠C=∠BAD=AD，
∴△ADC≌△ADB；
∴添加一个适当的条件，使得△ADC≌△ADB：可添加的条件为DC＝DB（答案不唯一）．
故答案为：DC＝DB（答案不唯一）．
14．现有一张长方形纸片ABCD，将它按如图所示的方式进行折叠，如果∠HED＝50°，那么∠BHG的度数为 80° ．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BHE＝∠HED，∠EHC+∠HED＝180°，
∵∠HED＝50°，
∴∠BHE＝∠HED＝50°，∠EHC＝180°﹣∠HED＝130°，
由折叠性质得：∠EHG＝∠EHC＝130°，
∴∠BHG＝∠EHG﹣∠BHE＝130°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
15．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝82°，那么∠BEC＝ 131 °
解：∵∠A＝82°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣82°＝98°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB（角平分线的性质），
∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠ACB)=12×98°=49°
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣49°＝131°，
故答案为：131．
16．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 90° ．
解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△ECD，
则∠1＝∠DEC，
∵∠2+∠DEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90°．
17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝1，AD是△ABC的中线，设AD长为x，那么x的取值范围是 2＜AD＜3 ．
解：延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴DC＝DB，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBDC=DB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∵AC＝1，
∴AC＝BE＝1（全等三角形对应边相等），
在△ABE中，BE＝1，AB＝5，
∴5﹣1＜AE＜5+1，即4＜2AD＜6，
则2＜AD＜3．
即x的取值范围为2＜AD＜3．
故答案为：2＜AD＜3．
18．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝ 50°/50度 ．
解：∵AA′∥BC，∠ABC＝65°，
∴∠A′AB＝∠ABC＝65°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝65°，
∴∠A′AB＝∠AA′B＝65°，
∴∠A′BA＝180°﹣∠A′AB﹣∠AA′B＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠CBC′＝∠A′BC﹣∠A′BC′＝50°+65°﹣65°＝50°，
故答案为：50°．
三、解答题（第19题6分，第20，21，22题每题5分，第23题6分，第24题9分，第25题10分）
19．（6分）如图，已知∠α、∠β和线段a．
（1）求作△ABC，使∠A＝∠a，AB＝a，∠B＝∠β（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在第（1）题所作的△ABC中，画出△ABC的边BC上的高AD．
解：（1）如图，△ABC即为所求作的三角形；
（2）如图，AD即为所求作．
20．（5分）如图已知：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝72°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ ∠3 ．
∴AB∥DG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠BAC+ ∠DGA ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠BAC＝72°，
∴∠AGD＝ 108° ．
解：由条件可知∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°，（两直线平行，同旁内角互补），
由条件可知∠AGD＝108°；
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；∠3；DA，内错角相等，两直线平行；∠DGA，两直线平行，同旁内角互补；108°．
21．（5分）已知：如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，∠ACE＝∠DFB，BF＝EC．求证：AB＝DE．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，
∵∠ACE＝∠DFB，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
22．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DF＝ED，∠FDE＝∠B．求证：BD＝CE．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
在△BFD和△CDE中，
∠B=∠C∠BFD=∠EDCDF=ED，
∴△BFD≌△CDE（AAS），
∴BD＝CE．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝60°，点E、F分别在边AC、BC上，且AE＝CF，连接AF和BE相交于点G．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）求∠BGF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，AB＝AC，
则在△ABE，△CAF中，
AB=AC∠BAC=∠C=60°AE=CF，
∴△ABE≌△CAF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴∠BGF＝∠ABE+∠BAF＝∠BAF+∠CAF＝∠BAC＝60°．
24．（9分）已知：如图∠ABC＝∠DCB，BD、AC分别平分∠ABC、∠DCB．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）求证：AD∥BC．
【解答】证明：（1）∵BD、AC分别平分∠ABC，∠DCB，
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC，∠ACB=∠DCA=12∠BCD（角平分线的性质），
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝∠ABD＝∠DCA（等量代换），
∴OB＝OC（等角对等边），
在△ABO，△DCO中，
∠ABO=∠DCOOB=OC∠AOB=∠DOC，
∴△ABO≌△DCO（ASA）；
（2）∵△ABO≌△DCO，
∴OA＝OD（全等三角形对应边相等），
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°＝∠OBC+∠OCB+∠BOC，且∠AOD＝∠BOC，∠ACB＝∠DBC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∴AD∥BC．
25．（10分）【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝DF+DG＝FG，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）结论：∠EAF＝180°−12∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°−12∠DAB．