贵州省毕节市2026届高三下学期3月第二次适应性考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案书写在答题卡上, 写在试卷上无效.
3. 请保持答题卡平整, 不能折叠, 考试结束后, 将答题卡交回 (试卷不用收回).
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求.
1. 已知集合 A={x∣x+1x−21 ,若 fx=−3 ，则 fx−8= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 春节期间, 某家庭准备了 5 个不同的马年新春红包, 全部装入 3 个不同的红包袋中, 每个红包袋至少装 1 个红包, 则不同的装法种数是( )
A. 90 B. 150 C. 240 D. 300
5. 已知抛物线 y2=2pxp>0 与过点 4,0 的直线交于 A,B 两点，且满足 OA⊥OB ， 则抛物线的方程为( )
A. y2=2x B. y2=4x C. y2=6x D. y2=8x
6. 已知向量 a=1,−4,b=2,3 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为( )
A. 1013,1513 B. −1013,−1513 C. −2013,−3013 D. 2013,3013
7. 已知函数 fx=lg2ax+ba+b>1 的图象过点 1,1 ，且无限接近直线 x=3 ， 但又不与该直线相交，则 a−b 的值为( )
A. -4 B. 4 C. -4或-1 D. -1
8. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点, A 点在第一象限,若 AB=F1F2,AF1BF1≤3 ,则椭圆 C 的离心率的取值范围为( )
A. 0,22 B. 22,3−1 C. 22,3−1 D. 22,1
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 π4 个单位,再将横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变，得到函数 gx 的图象，则( )
A. 函数 gx 的图象的一条对称轴为直线 x=π2
B. 函数 gx 的图象的一个对称中心为 π2,0
C. 函数 gx 的周期为 π2
D. 不等式 gx≥12 的解集为 −π3+2kπ,π3+2kπk∈Z
10. 为了解某校学生的某次数学测试情况, 随机抽取部分学生成绩(最低分为 50 分，满分 100 分)，得到如图所示的频率分布直方图.

则下列结论正确的有( )
A. [90,100] 对应矩形的高度为 0.016
B. 样本众数估计值为 75
C. 样本平均数估计值为77.4
D. 样本成绩的第 70 百分位数落在 [70,80) 内
11. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时, fx=2x+1lnx−2x+2 , 则( )
A. 方程 fx=0 有三个不等实根
B. x=12 是 fx 的一个极值点
C. 不等式 fx>0 的解集为 −1,0∪1,+∞
D. 当 x>0 时, fx>2−1x−2x 恒成立
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 不等式 1−xx≥2 的解集是_____.
13. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a=7,b=4,c=37 , 则 △ABC 的面积为_____.
14. 已知三棱锥 P−ABC 中, PA⊥ 底面 ABC,∠BAC=90∘,AB=1,AC=2 , PA=3 . 半径为 r1 的球 O1 与三棱锥的四个面都相切，则 r1= _____；若半径为 r2 的球 O2 与面 PAB ,面 PAC ,面 ABC 及球 O1 都相切,则 r2= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分) 设数列 an 满足 3a1+5a2+⋯+2n+1an=2n .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an2n−1 的前 n 项和 Sn .
16. (本题满分 15 分) 某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入 x (单位:万元) 与销售额 y (单位:万元)的关系，统计了最近 10 场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据, 计算得:
i=110xi=50,i=110yi=400,i=110xiyi=2200,i=110xi2=300 .
(1)求销售额 y 关于直播带货中平台流量推广投入 x 的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额 10 万元，现有两种方案:
方案一:全部用于平台流量推广；
方案二:部分用于平台流量推广,部分用于主播佣金激励. 其中平台流量推广投入 x 万元 0≤x≤10 ,主播佣金激励投入 10−x 万元.
根据以往经验,主播佣金激励投入 t 万元的销售额为 12t−t2 万元; 平台流量推广的效果仍符合(1)中的回归方程. 比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？ 并求出最大销售额.
参考公式: 线性回归方程 y=bx+a 中, b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx .
17. (本题满分 15 分) 如图,平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, AB=AA1 ，且 ∠A1AB=∠A1AD=π3,E,F,G,H 分别是 AB,BC,C1D1,D1A1 的中点.

(1)求证:平面 EFC1// 平面 GHA ；
(2)求 BD1 与平面 EFC1 所成角的余弦值.
18. (本题满分 17 分) 已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为 0,2 ,且过点 12,32 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知 Ax1,y1,Bx2,y2,Nx3,y3 在 C 上，
①若 A 是 C 与 x 轴的一个交点， B 是 C 与 y 轴的一个交点，求 △ABN 的面积的最大值；
②记线段 AB 中点为 M ， MN=3MO ，记 △OBN 的面积为 S△OBN ，判断 S△OBN 是否为定值,并说明理由.
19. (本题满分 17 分) 已知函数 fx 在 R 上可导,且满足 ① f0=0 ; ② f′x 在区间 [0,+∞) 上单调递增.
(1)证明: fx≥xf′0 在区间 [0,+∞) 上恒成立;
(2)记 a=f′0>0 ，当 x>0 时，恒有 fx60 , ∴ 平台流量推广投入 6 万元,主播佣金激励投入 4 万元时, 销售额最大, 最大销售额为 76 万元 (15 分)
17.(1)证明:连接 AC,A1C1

∵E,F,G,H 分别是 AB,BC,C1D1,D1A1 的中点
∴EF//AC,HG//A1C1
由平行六面体性质知 AC//A1C1
∴EF//HG
∵HG⊂ 平面 GHA,EF⊄ 平面 GHA
∴EF// 平面 GHA (3 分)
由平行六面体性质知 AB//D1C1,AB=D1C1
∴AE//GC1,AE=GC1
∴ 四边形 AEC1G 是平行四边形
∴EC1//AG
∵AG⊂ 平面 GHA,EC1⊄ 平面 GHA
∴EC1// 平面 GHA
∵EF∩EC1=E,EF,EC1⊂ 平面 EFC1
∴ 平面 EFC1// 平面 GHA (6 分)
(2)连接 BD,A1B,A1D ,记 BD∩AC=O ,连接 A1O ,令 AB=AA1=2
∵ 四边形 ABCD 是正方形

∴BD⊥AC,AO=BO=DO=2
又 ∵AB=AA1=AD=2,∠A1AB=A1AD=π3
∴△ABA1 与 △ADA1 是等边三角形
∴A1B=A1D=2
∴A1O⊥BD,A1O=2
∵A1O2+AO2=AA12
∴A1O⊥AO∴A1O⊥ 面 ABCD
建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz (8 分)
A2,0,0,B0,2,0,E22,22,0,F−22,22,0,A10,0,2,D0,−2,0
∴BD1=BA+AD+DD1=BA+AD+AA1=−2,−22,2
EF=−2,0,0,FC1=12AD+AA1=−322,−22,2
∴ 设平面 EFC1 的一个法向量 n=x,y,z
∴n⋅EF=0n⋅FC1=0∴ 令 y=2 ,得 x=0,z=1
∴n=0,2,1 (12 分)
设 BD1 与平面 EFC1 所成的角为 θ0≤θ≤π2
∴sinθ=cs=n⋅BD1n⋅BD1=3010
∴csθ=7010
∴BD1 与平面 EFC1 所成角的余弦值 7010 (15 分)
18. 解: (1) 由题意,设椭圆 C 的标准方程为: y2a2+x2b2=1a>b>0 (1 分)
则 c=2a2−b2=c294a2+14b2=1 ,解得 a2=3b2=1 (4 分)
∴ 椭圆 C 的标准方程为: y23+x2=1 (5 分)
(2)①不妨取 A1,0 ， B0,−3 ， △ABN 面积的最大值为 S (6 分) 则 AB=2 ,直线 AB 的方程为 y=3x−3 ,即 3x−y−3=0 (7 分) 另设 Ncsα,3sinα ，点 N 到直线 AB 的距离
d=3csα−3sinα−32=6csα+π4−32 (8 分)
当 csα+π4=−1 时, dmax=6+32 (9 分)
∴S=12AB⋅dmax=6+32 (10 分)
②由题意知，点 O 是 △ABN 的重心， ∴S△OBN=13S△ABN=S△OAB (11 分) 当直线 AB 的斜率不存在时,由对称性,不妨取 N−1,0
此时直线 AB 的方程为 x=12
易知 AB=3,S△OBN=S△OAB=12×3×12=34 (12 分)
当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+m
由 y=kx+my23+x2=1 得 3+k2x2+2kmx+m2−3=0 Δ=2km2−43+k2m2−3=12k2+3−m2>0x1+x2=−2km3+k2,x1x2=m2−33+k2,y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+k2 . (13 分) AB=1+k2x1+x22−4x1x2=1+k2⋅23k2+3−m23+k2 (14 分)
由重心坐标公式得 x3=−x1+x2=2km3+k2y3=−y1+y2=−6m3+k2 (15 分)
由 y3​23+x3​2=1 可得 12m23+k22+4k2m23+k22=1 ,即 k2+3=4m2 (16 分)
点 O 到直线 AB 的距离 d1=m1+k2
S△OBN=S△OAB=12AB⋅d1=3k2+3−m23+k2⋅m=3m24m2=34
综上: S△OBN 为定值 34 (17 分)
19.(1)证明:令 hx=fx−xf′0 ， ∴h′x=f′x−f′0 (1 分)
∵f′x 在区间 [0,+∞) 上单调递增, ∴f′x≥f′0 (2 分)
∴h′x=f′x−f′0≥0
∴hx=fx−xf′0 在区间 [0,+∞) 上单调递增 (3 分)
∵h0=f0=0 (4 分)
∴hx≥h0=0 ,即 fx≥xf′0 (5 分)
(2)证明: ∵fx0 在 0,+∞ 上恒成立
∴φx=ex−x−1 在 0,+∞ 上单调递增
∴φx>φ0=0 即 ex−x−1>0 (9 分)
∴ 当 x>0 时, ex−1x>1
∴x>0 时, a≤1 ,又 ∵a>0
∴a 的取值范围为 (0,1] (10 分)
(3)证明:令 mx=fx−gx
m′x=f′x−g′x=f′x−11+x+1
∵x∈0,1 ,而 f′x 在区间 [0,+∞) 上单调递增
∴f′x 在区间 0,1 上单调递增,又 ∵y=11+x+1 在 0,1 上单调递减
∴m′x=f′x−g′x=f′x−11+x+1 在 0,1 上单调递增 (12 分)
又 ∵f′0=1,f′1=2
∴m′0=f′0−2=−10 ∴ 存在 t∈0,1 ,使 m′t=0 (14 分)
∴ 当 0