2026年中考数学核心考点一轮复习专练 函数（含解析）

这是一份2026年中考数学核心考点一轮复习专练 函数（含解析），共69页。
2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。
3、要注重总结规律，加强解题后的反思。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。
中考数学一轮复习 函数
一．解答题（共20小题）
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+ca，y=b+db，那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=−1+4−1=−3，y=1+(−2)1=−1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融合点．
（1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点；
（2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点．
①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由．
②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T1（x1，y1），T2（x2，y2））落在抛物线y＝x2上，则记|x1﹣x2|为点T1，T2的水平宽度．若1＜|x1﹣x2|＜2，求点Q运动的范围（可用点Q的横坐标的范围表示）．
2．我们称函数y′=y(x≤m)−y(x＞m)为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y＝x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x＞3)．
（1）若点P（4，m）在关于x的反比例函数y=4x的2分函数上，请直接写出m的值 ；
（2）已知当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小．请写出n的取值范围 ；
（3）若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数．当0≤x≤k时，﹣4≤y′＜4，请求出k的取值范围；
（4）若点M（﹣2，1），N（4，1），连结MN．当关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数，与线段MN有三个交点，请求出p的取值范围．
3．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），(2，32)都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；
②y=21x；
③y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y=ax2+bx+32（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=16tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
5．定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在y=4x的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
6．定义：若抛物线L：y＝ax2+bx+c的图象恒过定点M（x0，y0），则称M（x0，y0）为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）与y轴交于点B，顶点为C．
（1）求抛物线L的不动点坐标．
（2）若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A．
①求抛物线L的解析式．
②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值．
7．我们约定：若关于x的二次函数y=a1x2+b1x+c1与y=a2x2+b2x+c2同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|+b1−b2+（c1+c2）2＝0，则称函数y1与y2“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且ca≤x≤a−ca时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数y1=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
9．生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．
某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：
【问题探究】
（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m＝10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由．
（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y=4x(x＞0)，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： ，将满足要求的（x，y）可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的．
（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ．
【拓展应用】
（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y=4x(x＞0)的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 ．
10．【建立模型】
（1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明过程：
【类比迁移】
（2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题；
如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，反比例函数y=kx的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
【拓展延伸】
（3）创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：
如图3，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC＝45°时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标．
11．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y=ax+b(x≥0)−ax+b(x＜0)的函数称为一次函数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）．
（1）已知函数y＝2x+1．
①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝ ．
②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 ．
（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是 ．
12．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中O1，Or的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，l是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心O1，Or分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P1，Pr表示d1，d2分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差﹣﹣点P在左、右相机的视差定义为d＝|d1﹣d2|．
②盲区﹣﹣相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区﹣﹣承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，△O1P1E∽△PO1H，
△OrPrF∽△POrH，
可得，fz=EPlOlH=FPrOrH，
所以，fz=EPl+FPrOlH+OrH（依图）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，d1＝0.05mm，当M刚好经过点Or的正上方时，视差d＝0.02mm，在整个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述d1的13时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m＝1000mm）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x1，y1），Q（x2，y2）．若x1+y1＝x2+y2，则称点Q为点P的“等和点”．
（1）如图1，已知点P（2，1），求点P在直线y＝x+1上“等和点”的坐标；
（2）如图2，⊙A的半径为1，圆心A坐标为（2，0）．若点P（0，m）在⊙A上有且只有一个“等和点”，求m的值；
（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有点P（0，m）的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围．
14．【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．
【概念理解】
如图1，二次函数y=−12x2+32x+2的图象C1交x轴于点A，B，交y轴于点C，点D为线段BC的中点，二次函数y＝ax2+bx+c与y=−12x2+32x+2是“异b族二次函数”，其图象C2经过点D．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线EF∥BC，交抛物线C1于E，F，当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF的解析式；
（3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，连接MC，NC，当△MNC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
15．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
16．定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y=−12x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ ．
（2）函数l的解析式为y=−3x，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
17．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
18．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=13，若存在，求出点M的横坐标．
19．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
20．如图1，过抛物线y＝ax2上一点A（1，2）作AB∥x轴交抛物线于点B，延长AB到点D，使BD＝1，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，求tanA的值．
【举一反三】参加学校“举一反三”社团的小明在解答完成上述问题后，运用学到的“控制变量法研究该题，并发现：
①只改变点A在抛物线上的位置，tanA的值不变化；
②只改变a的大小或只改变BD的长，tanA的值改变．于是运用“问题一般化”的方法研究该题，并提出如下问题：
过抛物线y＝ax2（a＞0）上一点A（m，am2）（m＞0）作射线AB∥x轴交抛物线于点B，在射线AB上取一点D，使BD＝b，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，如图1和图2，请选择图1或图2，求tanA的值．（用含a、b的代数式表示）
【拓展延伸】如图3，在抛物线y＝ax2（a＞0）上任取一点A，过点A作射线AB∥x轴交抛物线于点B，在射线AB上点B的左右两侧各有一个动点D、E，分别过D、E作AB垂线交抛物线于C、F，EF交AC于点G，连接BC、BG、BF、DF、AF，则△BCD、△BEG、△BDF、△BEF中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．
中考数学一轮复习 函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+ca，y=b+db，那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=−1+4−1=−3，y=1+(−2)1=−1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融合点．
（1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点；
（2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点．
①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由．
②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T1（x1，y1），T2（x2，y2））落在抛物线y＝x2上，则记|x1﹣x2|为点T1，T2的水平宽度．若1＜|x1﹣x2|＜2，求点Q运动的范围（可用点Q的横坐标的范围表示）．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；新定义；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）点E（﹣1，3）是点D（﹣1，5），F（2，10）的伴D融合点；
（2）①存在最高点T（1，1）；②﹣2＜m＜0．
【分析】（1）根据融合点的定义计算即可；
（2）①设Q（m，﹣m），P（x1，x12），由点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，可用含m和x1的式子表示出x和y，整理后得到y关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
②方程m2(x−1)2+1=x2有两个不相等的实数根x1，x2，根据一元二次方程根与系数关系化简计算（x1﹣x2）2，运用不等式性质求解即可．
【解答】解：（1）∵−1+2−1=−1，5+105=3，
∴点E（﹣1，3）是点D（﹣1，5），F（2，10）的伴D融合点；
（2）①存在，理由是：
由题意设Q（m，2m），P（x1，x12），
∵点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，
∴x=m+x1m，y=2m+x122m，
∴x1＝mx﹣m，
∴y=2m+(mx−m)22m=m2(x−1)2+1，
∵m＜0，
∴存在最高点T（1，1）；
②∵方程m2(x−1)2+1=x2有两个不相等的实数根x1，x2，
化简得：（m﹣2）x2﹣2mx+m+2＝0，
∴Δ＝4m2﹣4（m+2）（m﹣2）＝16＞0，恒成立，
∴m＜0，
∴x1+x2=2mm−2，x1•x2=m+2m−2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2=(2mm−2)2−4×m+2m−2=16(m−2)2，
∵1＜|x1﹣x2|＜2．
∴1＜（x1﹣x2）2＜4，
∴1＜16(m−2)2＜4，
∴4＜（m﹣2）2＜16，
∵m﹣2＜0，
∴﹣4＜m﹣2＜﹣2，
∴﹣2＜m＜0．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解题中的定义并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2．我们称函数y′=y(x≤m)−y(x＞m)为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y＝x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x＞3)．
（1）若点P（4，m）在关于x的反比例函数y=4x的2分函数上，请直接写出m的值 ﹣1 ；
（2）已知当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小．请写出n的取值范围 n≥4 ；
（3）若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数．当0≤x≤k时，﹣4≤y′＜4，请求出k的取值范围；
（4）若点M（﹣2，1），N（4，1），连结MN．当关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数，与线段MN有三个交点，请求出p的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【答案】（1）﹣1；
（2）n≥4；
（3）1+7≤k≤1+22；
（4）1−5≤p＜1−3．
【分析】（1）先求出关于x的反比例函数y=4x的2分函数，再根据自变量的取值范围代入合适的解析式中即可求解；
（2）由题意可得一次函数y＝2x+3的4分函数为y′=2x+3(x≤4)−2x−3(x＞4)，当x＞4时，y'随x的增大而减小，结合当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小，即可确定n的取值范围；
（3）先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数为y'=x2−2x−3(x≤1)−x2+2x+3(x＞1)，故令x2﹣2x﹣3＝﹣4，解得x＝1+22（舍去负值），此为k的上限；再令x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x＝1+7（舍去负值），此为k的下限，故可得k的范围；
（4）先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数为y'=x2−2x−3(x≤p)−x2+2x+3(x＞p)，再令x2﹣2x﹣3＝1，解得x＝1+5或x＝1−5；令﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1+3或x＝1−3，得到y'与线段MN有三个交点的临界值，从而确定p的范围．
【解答】解：（1）关于x的反比例函数y=4x的2分函数为
y′=4x(x≤2)−4x(x＞2)，又∵点P（4，m）在y'上，4＞2，
∴把x＝4代入y'=−4x中，得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）由题意可得一次函数y＝2x+3的4分函数为y′=2x+3(x≤4)−2x−3(x＞4)，
则只有当x＞4时，y'＝﹣2x﹣3，y'随x的增大而减小，
又∵当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小，
故n≥4．
故答案为：n≥4．
（3）∵y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数，
∴y'=x2−2x−3(x≤1)−x2+2x+3(x＞1)，
令﹣x2+2x+3＝﹣4，解得x＝1+22或x=1−22（舍去），
令﹣x2+2x+3＝﹣3，解得x＝1+7或x＝1−7（舍去），
当0≤x≤k时，﹣4≤y′＜4，为了满足此条件，
∴1+7≤k≤1+22．
（4）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数为
y'=x2−2x−3(x≤p)−x2+2x+3(x＞p)，
令x2﹣2x﹣3＝1，解得x＝1+5或x＝1−5；
令﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1+3或x＝1−3．
当x＝1−5时，y'与线段MN有三个交点，
当x＝1−3时，y'与线段MN有两个交点，
当x＜1−5或x＞1−3时，y'与线段MN只有两个交点，
故p的取值范围为1−5≤p＜1−3．
【点评】本题为二次函数、一次函数、反比例函数的新定义问题，考查了三类函数的图象性质，综合性较强，熟练运用各类函数的性质是解题关键．
3．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），(2，32)都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ①③ ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；
②y=21x；
③y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y=ax2+bx+32（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①③；
（2）y＝x2﹣3x+8；
（3）t的值为1或3．
【分析】（1）运用“纵三倍点”的概念作答即可；
（2）由题意得方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，可得n=14m2−12m+174①，再由抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，n＝﹣2m+2②，联立方程组求解即可；
（3）由抛物线y=ax2+bx+32（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，可得方程3x＝ax2+bx+32有且只有一个实数根，得出a=16（b﹣3）2，进而可得w＝b2﹣2b+6a＝2（b﹣2）2+1，再运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）①由y=−2x+1y=3x得x=15y=35，
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（15，35）；
②由y=21xy=3x得：x1=−7y1=−37，x2=7y2=37，
∴反比例函数y=21x的图象上有两个“纵三倍点”：（−7，﹣37），（7，37）；
③由y=x2+x+1y=3x得：x1=x2=1y1=y2=3，
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①③；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴n=14m2−12m+174①，
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
联立①②，得：n=−2m+2n=14m2−12m+174，
解得：m1=m2=−3n1=n2=8，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
（3）∵抛物线y=ax2+bx+32（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∴方程3x＝ax2+bx+32有且只有一个实数根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4×32a＝0，
∴a=16（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2=32（舍去），
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1=32（舍去），t2＝3，
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“纵三倍点”的理解和运用，能够理根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解答本题的关键．
4．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=16tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在，满足条件的点P的坐标为P1（12，114），P2（−12，−54）；
（3）点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4−6）或（3，4+6）．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，由题意得tan∠BCP=16tan∠ACB=16×AQCQ=16×4−14−3=12，由BMBC=tan∠BCP=12，可得BM=12BC=12×4＝2，即|yM﹣1|＝2，得出M1（0，3），M2（0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM1的解析式为y=−12x+3，直线CM2的解析式为y=12x﹣1，分别与抛物线联立求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），
∴−9+3b+c=4c=1，
解得：b=4c=1，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B（0，1），
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝﹣x2+4x+1，
解得：x1＝0（舍去），x2＝4，
∴C（4，1），
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A（3，4），
∴Q（3，1），
∵tan∠BCP=16tan∠ACB，
∴tan∠BCP=16×AQCQ=16×4−14−3=12，
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
∴BMBC=tan∠BCP=12，
∴BM=12BC=12×4＝2，
∴|yM﹣1|＝2，
∴yM＝3或﹣1，
∴M1（0，3），M2（0，﹣1），
∴直线CM1的解析式为y=−12x+3，直线CM2的解析式为y=12x﹣1，
由y=−12x+3y=−x2+4x+1，解得x1=12y1=114，x2=4y2=1（舍去），
由y=12x−1y=−x2+4x+1，解得x3=−12y3=−54，x4=4y4=1（舍去），
∴P1（12，114），P2（−12，−54），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（12，114），P2（−12，−54）；
（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，
∴y′＝﹣x2+5，
联立得y=−x2+4x+1y=−x2+5，
解得：x=1y=4，
∴D（1，4），
又B（0，1），
设E（2，t），F（m，n），
当BD、EF为对角线时，
则1+0=2+m4+1=t+n(2−0)2+(t−1)2=(2−1)2+(t−4)2，
解得：m=−1n=3t=2，
∴F（﹣1，3）；
当BE、DF为对角线时，
则m+1=2+0n+4=t+1(2−1)2+(t−4)2=(0−1)2+(1−4)2，
解得：m=1n=4t=7或m=1n=−2t=1，
∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；
当BF、DE为对角线时，
则m+0=1+2n+1=t+4(2−0)2+(t−1)2=(1−0)2+(4−1)2，
解得：m=3n=4−6t=1−6或m=3n=4+6t=1+6，
∴F（3，4−6）或F（3，4+6）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4−6）或（3，4+6）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解．
5．定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在y=4x的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）m的值为−5+12或5−12；
（2）证明见解答；
（3）−34≤a≤34．
【分析】（1）由题意得：n1=4m，n2=4m+1，由n2﹣n1＝﹣4，得4m+1−4m=−4，即可求得答案；
（2）设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0，可得t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，再利用不等式的性质即可得出﹣4m﹣2＜﹣2，即t＜﹣2；
（3）当W1两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，则﹣4m﹣2≤1，可得m≥−34，对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2：y＝2x2﹣4a2（x≤a），利用对称性可得a≤34，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵点M（m，n1），M'（m+1，n2）在y=4x的图象上，
∴n1=4m，n2=4m+1，
∵“域差值”t＝﹣4，
∴n2﹣n1＝﹣4，
即4m+1−4m=−4，
整理，得：m2+m﹣1＝0，
解得：m1=−5+12，m2=5−12，
经检验，m1=−5+12，m2=5−12均是方程4m+1−4m=−4的解，
∴m的值为−5+12或5−12；
（2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0，
当x＝m时，n1＝﹣2m2，
当x＝m+1时，n2＝﹣2（m+1）2，
∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，
∵m＞0，
∴﹣4m＜0，
∴﹣4m﹣2＜﹣2，
即t＜﹣2，
故该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，
∴b＝﹣2a2，
由（2）得：t＝﹣4m﹣2，
当W1两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，
则﹣4m﹣2≤1，
解得：m≥−34，即a≥−34，
∴当a≥−34时，函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1，如图，
∵对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2：y＝2x2+2b（x≤a），
当部分图象上的所有的点都满足“域差值”t≤1时，
则t＝2（m+1）2+2b﹣2m2﹣2b＝4m+2≤1，
解得：m≤−14，
∴m+1≤34，即a≤34，
∴−34≤a≤34．
【点评】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想等，解题关键是正确理解并运用新定义解决问题．
6．定义：若抛物线L：y＝ax2+bx+c的图象恒过定点M（x0，y0），则称M（x0，y0）为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）与y轴交于点B，顶点为C．
（1）求抛物线L的不动点坐标．
（2）若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A．
①求抛物线L的解析式．
②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）的不动点坐标为（2，3）；
（2）①y=−12x2+2x+1．
②S△ABP的最大值为258．
【分析】（1）根据抛物线L的“不动点”定义即可解决问题．
（2）①根据抛物线L的对称轴是直线x＝2，建立方程求解即可求得a的值；
②抛物线的对称轴直线x＝2交x轴于点A，过点P作PE∥y轴，交直线AB于E，运用待定系数法可得直线AB的解析式为y=−12x+1，设P（t，−12t2+2t+1），则E（t，−12t+1），再运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+x+1＝ax（x﹣2）+x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
当x＝2时，y＝2a×（2﹣2）+2+1＝3，
∴抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）恒过定点（0，1）和（2，3），
故抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）的不动点坐标为（0，1）和（2，3）；
（2）①∵抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1，
∴抛物线L的对称轴是直线x=−−2a+12a=2，
解得：a=−12，
∴y=−12x2+2x+1．
②如图，抛物线的对称轴直线x＝2交x轴于点A，过点P作PE∥y轴，交直线AB于E，
则A（2，0），
当x＝0时，y＝1，
∴B（0，1），
设直线AB的解析式为y＝kx+n，则2k+n=0n=1，
解得：k=−12n=1，
∴直线AB的解析式为y=−12x+1，
设P（t，−12t2+2t+1），则E（t，−12t+1），
令y=−12x2+2x+1＝0，
解得：x＝2±6，
∴D（2+6，0），
∴P是第一象限抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜2+6，
∵PE=−12t2+2t+1﹣（−12t+1）=−12t2+52t，
∴S△ABP＝S△BPE﹣S△APE
=12t•（−12t2+52t）−12（t﹣2）•（−12t2+52t）
=−12t2+52t
=−12（t−52）2+258，
∴当t=52时，S△ABP最大，最大值为258．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键．
7．我们约定：若关于x的二次函数y=a1x2+b1x+c1与y=a2x2+b2x+c2同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|+b1−b2+（c1+c2）2＝0，则称函数y1与y2“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且ca≤x≤a−ca时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数y1=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；（3）存在，当b＝﹣6时，四边形AMDN为矩形．
【分析】（1）根据非负数的性质得：a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，运用“回旋”函数的定义即可求得答案；
（2）根据“回旋”函数的定义可得新函数的表达式为y2＝﹣ax2+2ax﹣c，将（﹣1，c﹣a）代入，可得c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，解得：a＝﹣c，进而可得y2＝﹣a（x﹣1）2+2a，结合已知条件可得：当﹣1≤x≤2时，﹣4≤y2≤4，再分两种情况：a＞0，a＜0，分别求得a，c的值；
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为：x1，x2，x3，x4，可得AC＝x1﹣x3=−ba，BC＝x2﹣x3=−b+b2−4aca，再由AC＝3BC，推出b2−4ac=−2b3，再利用解直角三角形或相似三角形性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵|a1+a2|+b1−b2+（c1+c2）2＝0，
∴a1+a2＝0，b1﹣b2＝0，c1+c2＝0，
∴a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，
根据“回旋”函数的定义得：二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）根据“回旋”函数的定义：二次函数y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y2＝﹣ax2+2ax﹣c，
∵y1＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
∴顶点坐标为（﹣1，c﹣a），
∵关于x的二次函数y1＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数y2图象上，
∴c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
∴二次函数y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y2＝﹣ax2+2ax+a＝﹣a（x﹣1）2+2a，
由题意得，当ca≤x≤a−ca时，﹣4≤y2≤4，
即当﹣1≤x≤2时，﹣4≤y2≤4，
若a＞0，
则当x＝1时，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝4，
解得：a＝2，
∴c＝﹣2；
若a＜0，
则当x＝1时，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴c＝2；
综上所述，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如图，
设点A、B、C、D的横坐标分别为：x1，x2，x3，x4，
∵y1＝ax2+bx+c＝a（x+b2a）2+4ac−b24a，
∴点M的坐标为（−b2a，4ac−b24a），且x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
根据“回旋”函数的定义：y2＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣a（x−b2a）2+b2−4ac4a，
∴点N的坐标为（b2a，b2−4ac4a），且x3=b+b2−4ac2a，x4=b−b2−4ac2a，
∴AC＝x1﹣x3=−ba，BC＝x2﹣x3=−b+b2−4aca，
∵AC＝3BC，
∴−ba=−b+b2−4aca×3，
∴b2−4ac=−2b3，
当四边形AMDN是矩形时，则∠ADN＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADN中，tan∠NDH=NHDH=tan∠ANH=AHNH，
∴NH2＝AH•DH，
而NH=b2−4ac4a，
AH=−b+b2−4ac2a−b2a=−2b+b2−4ac2a，
同理可得：DH=b2−4ac2a，
（b2−4ac4a）2=−2b+b2−4ac2a×b2−4ac2a，
将b2−4ac=−2b3代入，得：b＝0（舍去）或b＝6（舍去）或b＝﹣6，
即当b＝﹣6时，四边形AMDN为矩形．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，新定义问题，矩形的性质，解直角三角形等知识，理解并应用新定义是解题关键．
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是 M1，M2 ；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）M1，M2；
（2）△ABC的面积为12；
（3）P点坐标为（2−13，13−2）或（2+13，−13−2）．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义可得：A（3，3），B（﹣3，﹣3），利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为C（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，由S△ABC＝S△AMC+S△MBC，即可求得答案；
（3）设P（t，−12t2+t+92），由以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得AP＝BP，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“梦之点”，
故答案为：M1，M2；
（2）∵点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，
∴点A，B是直线y＝x上的点，
∴y=xy=−12x2+x+92，
解得：x1=3y1=3，x2=−3y2=−3，
∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），
∵y=−12x2+x+92=−12（x﹣1）2+5，
∴抛物线的顶点为C（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，
设抛物线的对称轴交AB于M，则M（1，1），
∴CM＝5﹣1＝4，
∴S△ABC＝S△AMC+S△MBC
=12•CM•（xA﹣xC）+12•CM•（xC﹣xB）
=12•CM•（xA﹣xB）
=12×4×[3﹣（﹣3）]
＝12；
（3）存在，理由如下：
设P（t，−12t2+t+92），
∵以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴AP＝BP，
∴（t﹣3）2+（−12t2+t+92−3）2＝（t+3）2+（−12t2+t+92+3）2，
解得：t＝2±13，
当t＝2−13时，−12t2+t+92=−12×（2−13）2+2−13+92=13−2，
当t＝2+13时，−12t2+t+92=−12×（2+13）2+2+13+92=−13−2，
∴P点坐标为（2−13，13−2）或（2+13，−13−2）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
9．生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．
某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：
【问题探究】
（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m＝10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由．
（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y=4x(x＞0)，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： y＝5﹣x ，将满足要求的（x，y）可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 （1，4）或（4，1） ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的．
（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 m≥8 ．
【拓展应用】
（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y=4x(x＞0)的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 −54≤b＜﹣1或74＜b≤114 ．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数综合题；压轴题；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；
（2）y＝5﹣x，（1，4）或（4，1）；
（3）m≥8；
（4）−54≤b＜﹣1或74＜b≤114．
【分析】（1）根据矩形的周长和面积可得x+y=5xy=4，解方程组即可求得答案；
（2）根据矩形的周长公式可得y＝5﹣x，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出答案；
（3）由题意得：函数y=4x（x＞0）和y=12m﹣x（0＜x＜m）有交点，即方程2x2﹣mx+8＝0有实数根，利用根的判别式即可求得答案；
（4）画出图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下：
当矩形周长m＝10时，x+y＝5，
∵矩形面积S＝4，
∴xy＝4，
联立得x+y=5xy=4，
解得：x1=1y1=4（舍去），x2=4y2=1，
∴矩形的长为4，宽为1；
（2）由矩形的周长为10，得：2（x+y）＝10，
∴y＝5﹣x，
在同一坐标系中画出函数y=4x（x＞0）和y＝5﹣x（0＜x＜5）的图象，如图1，
观察图象可知：函数y=4x（x＞0）和y＝5﹣x（0＜x＜5）的图象有2个交点（1，4）或（4，1），故这样的矩形存在．
故答案为：y＝5﹣x，（1，4）或（4，1）；
（3）当矩形的面积为4，周长为m时，函数y=4x（x＞0）和y=12m﹣x（0＜x＜m）有交点，
∴4x=12m﹣x即2x2﹣mx+8＝0有实数根，
∴Δ＝m2﹣64≥0，
∴m≥8或m≤﹣8（舍去），
故答案为：m≥8；
（4）如图2，
当直线y=14x+b经过（0，﹣1）时，区域内部有3个整数点（1，0）、（2，0）、（3，0），
此时，b＝﹣1，
当直线y=14x+b经过（1，﹣1）时，区域内部有4个整数点（1，0）、（2，0）、（3，0），（4，0），
此时，﹣1=14+b，
∴b=−54，
∴当区域W内恰好有4个整点时，−54≤b＜﹣1；
当直线y=14x+b经过（1，2）时，区域内部有3个整数点（1，1）、（2，1）、（3，1），
此时，2=14+b，
∴b=74，
当直线y=14x+b经过（1，3）时，区域内部有4个整数点（1，1）、（2，1）、（3，1），（1，2），此时，3=14+b，
∴b=114，
∴当区域W内恰好有4个整点时，74＜b≤114；
故答案为：−54≤b＜﹣1或74＜b≤114．
【点评】本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键．
10．【建立模型】
（1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明过程：
【类比迁移】
（2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题；
如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，反比例函数y=kx的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
【拓展延伸】
（3）创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：
如图3，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC＝45°时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE即可；
（2）过点B作BG⊥x轴于点G，则∠CGB＝∠AOC＝90°，由旋转得：AC＝CB，∠ACB＝90°，利用AAS可证得△ACO≌△CBG，得出OA＝CG，OC＝BG，OG＝OC+CG＝1+3＝4，进而求得B（4，1），代入y=kx，即可求得答案；
（3）过点C作CE⊥AC，且CE＝AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F，则∠CFE＝∠ACE＝∠AOC＝90°，证得△ACO≌△CEF（AAS），得出E（4，1），运用待定系数法可得直线AE的解析式为y=−12x+3，联立方程组即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）如图2，过点B作BG⊥x轴于点G，
则∠CGB＝∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝90°，
∵将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，
∴AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCG＝90°，
∴∠CAO＝∠BCG，
∴△ACO≌△CBG（AAS），
∴OA＝CG，OC＝BG，
∵直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点C，
∴A（0，3），C（1，0），
∴OA＝3，OC＝1，
∴CG＝3，BG＝1，
∴OG＝OC+CG＝1+3＝4，
∴B（4，1），
将B（4，1）代入y=kx，得1=k4，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（3）如图3，过点C作CE⊥AC，且CE＝AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F，
则∠CFE＝∠ACE＝∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝∠ACO+∠ECF＝90°，
∴∠CAO＝∠ECF，
∴△ACO≌△CEF（AAS），
∴OA＝CF＝3，OC＝EF＝1，
∴OF＝OC+CF＝1+3＝4，
∴E（4，1），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，将E（4，1），A（0，3）代入得：4k+b=1b=3，
解得：k=−12b=3，
∴直线AE的解析式为y=−12x+3，
联立方程组得y=−12x+3y=−x2+2x+3，
解得：x1=0y1=3（舍去），x2=52y2=74，
∴点P的坐标为（52，74）．
【点评】本题是反比例函数和二次函数综合题，考查了待定系数法，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，本题涉及知识点较多，综合性较强，是常考的中考数学压轴题．
11．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y=ax+b(x≥0)−ax+b(x＜0)的函数称为一次函数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）．
（1）已知函数y＝2x+1．
①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝ 3 ．
②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 （12，2）或（−12，2） ．
（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是 1＜k＜3 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；数形结合；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即可求解；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，即可求解；
（2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解．
【解答】解：（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，
故答案为3；
②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC上，
当y＝2时，2x+1＝2，解得：x=12，
当y＝2时，﹣2x+1＝2，解得：x=−12，
故答案为（12，2）或（−12，2）；
（2）函数可以表示为：y＝|k|x﹣3，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，
当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝3|k|﹣3＝0，k＝±1，
k＞0，取k＝1
当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，
同理k＝3，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，
即：1＜k＜3．
【点评】本题为一次函数综合题，涉及到新定义、直线与图象的交点等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
12．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中O1，Or的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，l是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心O1，Or分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P1，Pr表示d1，d2分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差﹣﹣点P在左、右相机的视差定义为d＝|d1﹣d2|．
②盲区﹣﹣相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区﹣﹣承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，△O1P1E∽△PO1H，
△OrPrF∽△POrH，
可得，fz=EPlOlH=FPrOrH，
所以，fz=EPl+FPrOlH+OrH（依图）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 比例的性质 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 z=800d ．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，d1＝0.05mm，当M刚好经过点Or的正上方时，视差d＝0.02mm，在整个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述d1的13时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 y=−150x2+45x+40 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m＝1000mm）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）作图见解答；
（2）比例的性质；z=800d．
（3）①y=−150x2+45x+40．
②距离基线的高度为165．
【分析】（1）连接O1B和OrC，交于一点后延长，交点上方的部分为感应区；
（2）观察材料3的推导公式可以得到依据为比例的性质，根据材料三可得：fz=dO1Or，将f＝4，O1Or＝200代入，可得z=800d；
（3）①由题意得抛物线与y轴交点的坐标为（0，40），抛物线的顶点坐标为（20，48），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将 （﹣20，16），（0，40）代入即可求得答案；
②联立方程组得：y=45xy=−150x2+45x+40，解方程组即可求得距离基线的高度为165．
【解答】解：（1）感应区边界和感应区如图所示，
（2）在材料三中，由fz=EPlOlH=FPrOrH，
得：fz=EPl+FPrOlH+OrH（依据：比例的性质）；
根据材料三可得：fz=dO1Or，
∴4z=d200，
∴z=800d，
故答案为：比例的性质；z=800d．
（3）①如图，M刚好进入感应区时，d1＝0.05，d2＝0，此时d＝d1﹣d2＝0.05，
此时，z=8000.05=16000（mm）＝16（m），
∵投影面CD长为10mm，f＝4mm，
∴OP所在直线解析式为y=−45x，令y＝16，得x＝﹣20，即，P（﹣20，16）．
当M经过点Or 的正上方时，视差d＝0.02，
此时z=8000.02=40000(mm)=40(m)，
即抛物线与y轴交点的坐标为（0，40），
当d减小到上述d1的13时，z＝3×16＝48（m），之后d开始变大，z开始变小，
即抛物线顶点的纵坐标为48．
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将（﹣20，16），（0，40）代入得，
400a−20b+c=16c=404ac−b24a=48，
解得：b1=45，b2=−125，
∵a＜0，对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴b=45，
∴a=−150，
∴抛物线解析式为y=−150x2+45x+40，
故答案为：y=−150x2+45x+40．
②由于直线OD的解析式为y=45x，联立方程组得：y=45xy=−150x2+45x+40，
解得：x1＝205，x2＝﹣205（舍去），
∴y=45×205=165，
故距离基线的高度为165．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数的综合运用，运用待定系数法求出二次函数表达式是解决本题的关键．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x1，y1），Q（x2，y2）．若x1+y1＝x2+y2，则称点Q为点P的“等和点”．
（1）如图1，已知点P（2，1），求点P在直线y＝x+1上“等和点”的坐标；
（2）如图2，⊙A的半径为1，圆心A坐标为（2，0）．若点P（0，m）在⊙A上有且只有一个“等和点”，求m的值；
（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有点P（0，m）的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）点P（2，1）在直线y＝x+1上“等和点”的坐标为（1，2）；
（2）m的值为2+2或2−2；
（3）−2＜m＜2或m＞94．
【分析】（1）运用新定义“等和点”即可求得答案；
（2）根据“等和点”定义得：x+y＝0+m，即y＝﹣x+m，由点P（0，m）在⊙A上有且只有一个“等和点”，可得直线y＝﹣x+m与⊙A相切，再证得△OFG是等腰直角三角形，得出∠AGB＝45°，进而推出△ABG是等腰直角三角形，△ACD是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的翻折后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，设点P（0，m）在W1，W2两部分组成的图象上“等和点”的坐标为（x，y），由题意得x2﹣（4m+1）x+4m2+m﹣2＝0，利用一元二次方程根的判别式可得m=94，结合题意可得当−2＜m＜2或m＞94时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．
【解答】解：（1）设点P（2，1）在直线y＝x+1上“等和点”的坐标为（a，a+1），
根据“等和点”定义得：a+a+1＝2+1，
解得：a＝1，
∴点P（2，1）在直线y＝x+1上“等和点”的坐标为（1，2）；
（2）设点P（0，m）在⊙A上“等和点”的坐标为（x，y），
根据“等和点”定义得：x+y＝0+m，即y＝﹣x+m，
∴点P（0，m）的“等和点”在直线y＝﹣x+m上，
∵点P（0，m）在⊙A上有且只有一个“等和点”，
∴直线y＝﹣x+m与⊙A相切，
如图，A（2，0），且⊙A的半径为1，
则AB＝AC＝1，∠ABG＝∠ACD＝90°，
当直线y＝﹣x+m与BF重合时，G（m，0），F（0，m），
∴OF＝OG＝m，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∴∠AGB＝45°，
∵BF与⊙A相切，
∴半径AB⊥BF，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AG=2，
∴m＝2+2；
当直线y＝﹣x+m与CE重合时，D（m，0），E（0，m），
同理可得：△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=2，
∴m＝2−2；
综上所述，m的值为2+2或2−2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的翻折后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
设点P（0，m）在W1，W2两部分组成的图象上“等和点”的坐标为（x，y），
由题知：x+y＝m，
∴点P的“等和点”在直线y＝﹣x+m上，
联立方程组得y=−x+my=−(x−2m)2+2，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2+m﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2+m﹣2）＝0，
解得：m=−94，
联立方程组y=−x2+2y=−x+m，
整理得：x2﹣x+m﹣2＝0，
Δ＝1﹣4（m﹣2）＝0，
解得：m=94，
当m＞94时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x+m有两个交点，此时y＝﹣x+m与y＝﹣x2+2有两个交点，
∴当m＞94时，W1，W2两部分组成的图象上恰有两个“等和点”，
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2（x≤m）与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x+m上时，
则﹣m2+2＝﹣m+m，
解得：m=−2或m=2，
当m=−2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等和点”，如图，
当m=2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等和点”，如图，
∴当m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等和点”，
∴当−2＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等和点”，
综上所述，当−2＜m＜2或m＞94时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，圆的切线的判定和性质，一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是理解并应用新定义“等和点”．
14．【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．
【概念理解】
如图1，二次函数y=−12x2+32x+2的图象C1交x轴于点A，B，交y轴于点C，点D为线段BC的中点，二次函数y＝ax2+bx+c与y=−12x2+32x+2是“异b族二次函数”，其图象C2经过点D．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线EF∥BC，交抛物线C1于E，F，当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF的解析式；
（3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，连接MC，NC，当△MNC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y=−12x2+12x+2；
（2）y=−12x+72；
（3）点P的坐标为（1，0）或（2，0）或（3，0）．
【分析】（1）先求得B（4，0），C（0，2），再求得BC的中点D（2，1），将D（2，1）代入y=−12x2+bx+2，即可求得答案；
（2）方法一：根据题意可得抛物线C1可以由抛物线C2向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到，再根据平行四边形性质可得F（1，3），E（3，2），运用待定系数法即可求得直线EF的解析式；方法二：设点F（m，−12m2+32m+2），根据平行四边形性质可得点E（m+2，−12m2+32m+1），代入y=−12x2+32x+2，即可求得E、F的坐标，运用待定系数法即可求得直线EF的解析式；
（3）设P（x，0），则M（x，−12x2+32x+2），N（x，−12x2+12x+2），利用两点间距离公式得出MN2＝[（−12x2+32x+2）﹣（−12x2+12x+2）]2＝x2，CM2＝（x﹣0）2+（−12x2+32x+2﹣2）2=14x4−32x3+134x2，CN2＝（x﹣0）2+（−12x2+12x+2﹣2）2=14x4−12x3+54x2，分三种情况：当CM＝CN时，当CM＝MN时，当MN＝CN时，分别建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）在y=−12x2+32x+2中，令x＝0，得：y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，得−12x2+32x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴BC的中点D的坐标是（2，1），
∵二次函数 y＝ax2+bx+c与y=−12x2+32x+2是“异b族二次函数”，
∴a=−12，c＝2，
将D（2，1）代入y=−12x2+bx+2，得：1＝﹣2+2b+2，
解得：b=12，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为y=−12x2+12x+2；
（2）方法一：
∵抛物线C1：y=−12x2+32x+2=−12（x−32）2+258，
抛物线C2：y=−12x2+12x+2=−12（x−12）2+178，
∴抛物线C1的顶点为（32，258），抛物线C2的顶点为（12，178），
∵抛物线C1：y=−12x2+32x+2与抛物线C2：y=−12x2+12x+2的a值相同，
∴抛物线C1可以由抛物线C2向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到，
∵四边形CDEF为平行四边形，C（0，2），D（2，1），
∴F（1，3），E（3，2），
设直线EF的解析式为y＝kx+n，
将F（1，3），E（3，2）代入y＝kx+n得：k+n=33k+n=2，
解得：k=−12n=72，
∴直线EF的解析式为：y=−12x+72；
方法二：
设点F（m，−12m2+32m+2），
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∵C（0，2），D（2，1），
∴点E的坐标为E（m+2，−12m2+32m+1），
将点E（m+2，−12m2+32m+1）代入y=−12x2+32x+2，
得：−12(m+2)2+32(m+2)+2=−12m2+32m+1，
解得：m＝1，
∴F（1，3），E（3，2），
同理可得：直线EF的解析式为：y=−12x+72；
（3）设P（x，0），则M（x，−12x2+32x+2），N（x，−12x2+12x+2），
∵C（0，2），
∴MN2＝[（−12x2+32x+2）﹣（−12x2+12x+2）]2＝x2，
CM2＝（x﹣0）2+（−12x2+32x+2﹣2）2=14x4−32x3+134x2，
CN2＝（x﹣0）2+（−12x2+12x+2﹣2）2=14x4−12x3+54x2，
当CM＝CN时，14x4−32x3+134x2=14x4−12x3+54x2，
解得：x＝0（舍去）或x＝2，
∴P（2，0）；
当CM＝MN时，14x4−32x3+134x2＝x2，
解得：x＝0（舍去）或x＝3，
∴P（3，0）；
当MN＝CN时，x2=14x4−12x3+54x2，
解得：x＝0（舍去）或x＝1，
∴P（1，0）；
综上所述，当△MNC为等腰三角形时，点P的坐标为（1，0）或（2，0）或（3，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形性质，两点间距离公式等，理解并应用新定义“异b族二次函数”是解题关键．
15．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）b的值为﹣23或43；（3）m＜−98或﹣1＜m＜2．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数y=3x（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（3，3），同理求出B（12b，12b），根据△ABC的面积为3可得12×12|b|×|3−12b|＝3，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y=3x（x＞0）中，令x=3x，
解得：x=3，
∴A（3，3），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x=12b，
∴B（12b，12b），
∵BC⊥x轴，
∴C（12b，0），
∴BC=12|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴12×12|b|×|3−12b|＝3，
当b＜0时，b2﹣23b−24＝0，
解得b＝﹣23，
当0≤b＜23时，b2﹣23b+24＝0，
∵Δ＝（﹣23）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣23b+24＝0没有实数根，
当b≥23时，b2﹣23b−24＝0，
解得：b＝43，
综上所述，b的值为﹣23或43；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜−98，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜−98或﹣1＜m＜2．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
16．定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y=−12x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ y=12x﹣4（x＜﹣1） ．
（2）函数l的解析式为y=−3x，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识；创新意识．
【答案】（1）y=12x﹣4（x＜﹣1）．
（2）该点的横坐标为32或−32；
（3）①2−3＜m≤1，52＜m≤2+3或5＜m≤172；
②5−11≤m≤4．
【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当F2经过点（m，2）时，当F1经过点（m，2）时，当F1经过点A（0，2）时，当F1经过点B（6，2）时，综合得出结论即可；
②由n的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线x＝2，可得出m≤2，再由m﹣2≤x≤5，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，将函数l的解析式为y=−12x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得函数l′的解析式为y＝kx+b，
在y=−12x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得：−2k+b=−5−4k+b=−6，
解得：k=12b=−4，
∴函数l′的解析式为y=12x﹣4（x＜﹣1）．
（2）根据题意，可得图象F的解析式为：y=3x(x＜0)−3x(x＞0)，
当y＝﹣2时，−3x=−2，3x=−2，
解得：x=32，x=−32，
∴该点的横坐标为32或−32；
（3）①根据题意，得图象F的解析式为：y=x2−4x+3(x≥m)−(x−2)2+2m+1(x＜m)，
当F2经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
解得：m＝x＝2±3；
当F1经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝1或5；
当F1经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m=52；
当F1经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m=172；
随着m的增大，图象F2的左端点先落在AB上（两个交点），F1的端点落在AB上（一个交点），图象F1经过点A（两个交点），图象F2的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F1的端点落在AB上（无交点），图象F1经过点B（一个交点），
∴m的取值范围为：2−3＜m≤1，52＜m≤2+3或5＜m≤172．
②∵n的最小值始终保持不变，
∴m﹣2≤2，
∴m≤4，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m1＝5−11，m2＝5+11，
∴5−11≤m≤4．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， ① 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①；
（2）b＝5或﹣3；
（3）n的值为1或−2−1或14．
【分析】（1）根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
（2）由题意得A（﹣c，0），ac2﹣bc+c＝0，即b＝ac+1，得出y＝ax2+（ac+1）x+c，设B（x′，0），则x′（﹣c）=ca，得出B（−1a，0），再由OB=14OA，可得|1a|=14c，即ac＝±4，即可求得b的值；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），D（t，2t），E（﹣2t，2t），分三种情况：当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），可得n2−4mt=0−n2m=−2t，整理得n2﹣n＝0，可得n＝1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），可得4mt2−2nt+t=04mt−n24m=2t，消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，可得n=−2−1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），可得4mt2−2nt+t=0−n2m=t，进而求得n=14．
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），
∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，
故答案为：①；
（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），
∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
设B（x′，0），
则x′（﹣c）=ca，
∴x′=−1a，
∴B（−1a，0），
∴OB＝|1a|，OA＝c，
∵OB=14OA，
∴|1a|=14c，
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，
∴n2−4mt=0−n2m=−2t，
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，
∴4mt2−2nt+t=04mt−n24m=2t，
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n1=2−1，n2=−2−1，
∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n＜0，
∴n=−2−1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，
∴4mt2−2nt+t=0−n2m=t，
∴n=14，
综上所述，n的值为1或−2−1或14．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，新定义等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
18．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=13，若存在，求出点M的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①C（﹣4，1）；②y=12x+3；
（3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13，点M的横坐标为−1413或−411．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，利用同角的余角相等可得∠A＝∠EBD，再利用AAS即可证明△ACB≌△BDE；
（2）①先求得A（0，3），B（﹣1，0），过点C作CG⊥x轴于点G，则∠BGC＝90°＝∠AOB，进而证得△BCG≌△ABO（AAS），得出BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，OG＝OB+BG＝4，即可求得点C的坐标；
②运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）先求得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
∠ACB=∠BDE∠A=∠EBDAB=BE，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
过点C作CG⊥x轴于点G，如图，
则∠BGC＝90°＝∠AOB，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBG＝90°，
∴∠BCG＝∠ABO，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，
∴OG＝OB+BG＝1+3＝4，
∴C（﹣4，1）；
②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=1b=3，
解得：k=12b=3，
∴直线AC的解析式为y=12x+3；
（3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13．
∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
当点M在x轴上方时，如图，过点Q作QL∥BM，过点B作BF⊥BQ，交BL与于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，
则∠BOQ＝∠QBF＝∠BGF＝90°，∠BQF＝∠MBQ，
∴∠OBQ+∠OQB＝90°，∠OBQ+∠FBG＝90°，
∴∠OQB＝∠FBG，
∴△OBQ∽△GFB，
∴FGOB=BGOQ=BFBQ，
∵tan∠BQF＝tan∠MBQ=BFBQ=13，
∴FG4=BG1=13，
∴FG=43，BG=13，
∴F（133，−43），
设直线FQ的解析式为y＝mx+n，则133m+n=−43n=−1，
解得：m=−113n=−1，
∴直线FQ的解析式为y=−113x﹣1，
∵BM∥QF，
∴设直线BM的解析式为y=−113x+d，把B（4，0）代入，得−413+d＝0，
解得：d=413，
∴直线BM的解析式为y=−113x+413，
联立得y=−113x+413y=x2−3x−4，
解得：x1=−1413y1=66169，x2=4y2=0（舍去），
∴M（−1413，66169）；
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°，
∵tan∠MBQ=13，
∴EQBQ=tan∠MBQ=13，
∴EQ=13BQ=173，
∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，
∴∠OBQ＝∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
∴EFOQ=QFOB=EQBQ，即EF1=QF4=13，
∴EF=13，QF=43，
∴OF＝OQ+QF＝1+43=73，
∴E（13，−73）；
设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则4m′+n′=013m′+n′=−73，
解得：m′=711n′=−2811，
∴直线BM的解析式为y=711x−2811，
联立，得y=711x−2811y=x2−3x−4，
解得：x1=4y1=0（舍去），x2=−411y2=−336121，
∴M（−411，−336121）；
综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13，点M的横坐标为−1413或−411．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，直角三角形的三角函数值，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
19．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ 2 .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）2；图象见解答，该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
（2）所有满足条件的点F的坐标为（−32，32）或（−12，32）或（32，32）或（12，32）或（﹣1−72，−32）或（1+72，−32）；
（3）PM+PN=17为定值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入y＝﹣2|x|2+4|x|即可求得m＝2，运用描点法画出y＝﹣2|x|2+4|x|（x＜0）部分的图象，观察图象描述性质即可；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，根据S△FAB＝3，可求得点F的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得：直线OP的表达式为y＝4x①，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线l的表达式为y＝tx+18（t﹣4）2③，联立方程组可求得：xM=−18（t﹣4），xN=−18（t﹣12），再运用解直角三角形即可求得答案．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，
∴m＝2，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
故答案为：2；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，
∴12×4|yF|＝3，
∴yF＝±32，
当yF=32时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=32，
解得：x=−32或−12，
若x≥0，则﹣2x2+4x=32，
解得：x=32或12，
∴F（−32，32）或（−12，32）或（32，32）或（12，32）；
当yF=−32时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=−32，
解得：x＝﹣1−72或x＝﹣1+72（舍去），
若x≥0，则﹣2x2+4x=−32，
解得：x＝1−72（舍去）或x＝1+72，
∴F（﹣1+72，−32）或（﹣1−72，−32）或（1−72，−32）或（1+72，−32）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（−32，32）或（−12，32）或（32，32）或（12，32）或（﹣1−72，−32）或（1+72，−32）；
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n=18（t﹣4）2，
故直线l的表达式为y＝tx+18（t﹣4）2③，
联立①③并解得xM=−18（t﹣4），
同理可得，xN=−18（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ=OQOP=112+42=117=sinα，
∴PM+PN=1−xMsinα+xN−1sinα=17（xN﹣xM）=17为定值．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
20．如图1，过抛物线y＝ax2上一点A（1，2）作AB∥x轴交抛物线于点B，延长AB到点D，使BD＝1，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，求tanA的值．
【举一反三】参加学校“举一反三”社团的小明在解答完成上述问题后，运用学到的“控制变量法研究该题，并发现：
①只改变点A在抛物线上的位置，tanA的值不变化；
②只改变a的大小或只改变BD的长，tanA的值改变．于是运用“问题一般化”的方法研究该题，并提出如下问题：
过抛物线y＝ax2（a＞0）上一点A（m，am2）（m＞0）作射线AB∥x轴交抛物线于点B，在射线AB上取一点D，使BD＝b，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，如图1和图2，请选择图1或图2，求tanA的值．（用含a、b的代数式表示）
【拓展延伸】如图3，在抛物线y＝ax2（a＞0）上任取一点A，过点A作射线AB∥x轴交抛物线于点B，在射线AB上点B的左右两侧各有一个动点D、E，分别过D、E作AB垂线交抛物线于C、F，EF交AC于点G，连接BC、BG、BF、DF、AF，则△BCD、△BEG、△BDF、△BEF中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】tanA的值为2．
【举一反三】tanA的值为ab．
【拓展延伸】S△BDF＝S△BEG，证明见解答．
【分析】利用待定系数法可得y＝2x2，得出AD＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝8﹣2＝6，再运用三角函数定义即可求得答案；
【举一反三】分两种情况：当点D在线段AB的延长线上时，当点D在线段AB上时，运用三角函数定义即可求得答案；
【拓展延伸】设A（m，am2）（m＞0），BD＝b，则B（﹣m，am2），D（﹣m﹣b，am2），E（n，am2），可得C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2），F（n，an2），再利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣abx+am2+abm，进而可得G（n，﹣abn+am2+abm），再运用三角形面积公式即可．
【解答】解：∵点A（1，2）过抛物线y＝ax2，
∴a＝2，
∴y＝2x2，
∵AB∥x轴，
∴B（﹣1，2），
∵BD＝1，CD⊥AD，
∴D（﹣2，2），C（﹣2，8），
∴AD＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝8﹣2＝6，
∴tanA=CDAD=63=2．
【举一反三】∵A（m，am2）（m＞0），射线AB∥x轴，
∴B（﹣m，am2），
当点D在线段AB的延长线上时，如图1，
则D（﹣m﹣b，am2），
∵CD⊥AD，
∴C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2），
∴AD＝m﹣（﹣m﹣b）＝2m+b，CD＝am2+2abm+ab2﹣am2＝2abm+ab2，
∴tanA=CDAD=2abm+ab22m+b=ab；
当点D在线段AB上时，如图2，
则D（﹣m+b，am2），
∵CD⊥AD，
∴C（﹣m+b，am2﹣2abm+ab2），
∴AD＝m﹣（﹣m+b）＝2m﹣b，CD＝am2﹣（am2﹣2abm+ab2）＝2abm﹣ab2，
∴tanA=CDAD=2abm−ab22m−b=ab；
综上所述，tanA的值为ab．
【拓展延伸】S△BDF＝S△BEG．理由如下：
设A（m，am2）（m＞0），BD＝b，则B（﹣m，am2），D（﹣m﹣b，am2），E（n，am2），
∴C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2），F（n，an2），
设直线AC的解析式为y＝kx+t，把A（m，am2），C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2）代入，得：
mk+t=am2(−m−b)k+t=am2+2abm+ab2，
解得：k=−abt=am2+abm，
∴直线AC的解析式为y＝﹣abx+am2+abm，
∴G（n，﹣abn+am2+abm），
∴EG＝abm﹣abn，EF＝am2﹣an2，CD＝2abm+ab2，BD＝b，BE＝n+m，
∴S△BDF=12BD•EF=12b（am2﹣an2）=12ab（m2﹣n2），S△BEG=12BE•EG=12（m+n）（abm﹣abn）=12ab（m2﹣n2），
故S△BDF＝S△BEG．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，三角函数定义，三角形面积，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
x
…
−52
﹣2
−32
﹣1
−12
0
12
1
32
2
52
…
y
…
−52
0
32
m
32
0
32
2
32
0
−52
…
x
…
−52
﹣2
−32
﹣1
−12
0
12
1
32
2
52
…
y
…
−52
0
32
m
32
0
32
2
32
0
−52
…