贵州省贵阳市2026届高三下学期适应性考试（一）数学试卷（含解析）

这是一份贵州省贵阳市2026届高三下学期适应性考试（一）数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了回答第Ⅱ卷时等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、报名号用铜笔填写在答题卡相应位置上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．请保持答题卡平整，不能折叠，考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. iC. D. 1
【答案】C
【详解】，根据虚部的定义可知复数的虚部为，
2. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得，
，则.
3. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为方程表示双曲线，所以，
解得或.
4. 设a，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则有，
当时，则；当时，则，故，
因此由可推出，
若，不一定推出，如，，
所以是的充分不必要条件.
5. 记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，
则由题可得，即，解得，
所以，
故选：A.
6. 某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（ ）
A. 32B. 33C. 34D. 35
【答案】C
【详解】跨0次2级（全跨1级），共走8步，有种走法；
跨1次2级，剩余6次1级，共走7步，选1步跨2级，有种走法；
跨2次2级，剩余4次1级，共走6步，选2步跨2级，有种走法；
跨3次2级，剩余2次1级，共走5步，选3步跨2级，有种走法；
跨4次2级（无剩余1级），共走4步，有种走法，
所以不同走法种数为.
7. 设方程的两个根为，，则（ ）
A. 0B. 1C. eD.
【答案】A
【详解】因为，所以，
由对数函数的单调性可知：，即，
又方程的两个根为，，
则为的两根，所以，即，所以，
所以.
故选：A
8. 已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因，，且对于任意，都有成立，
则，可得，
由可得，即得，即.
又由及可得，则，
易知为递增数列，则，且，
因函数在上为增函数，则，
由题意可知数列单调递增且有上界2，故极限存在，设，则.
对取极限得，即.
函数在上单调递增，故，解得，
故实数c的取值范围是.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 直线是曲线的对称轴
C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象
D. 在区间上单调递增
【答案】AC
【详解】由题意知，，所以，，即，
又，所以，所以.
选项A：最小正周期，A正确.
选项B：对称轴应满足，，解得，.
故不存在，使得，B错误.
选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确.
选项D：当时，.
又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误.
故选：AC.
10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【详解】对于A，由已知，即向量的夹角为，
又，则，A正确，
对于B，，，B错误，
对于C，因为，，
所以，
所以，又为的角平分线，
由平行四边形法则可得，
所以，C正确，
对于D，因为，，
则，又，
所以在上的投影向量为，D正确.
11. 古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为12，是圆锥的一个轴截面，为中点．过两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆．则（ ）
A. 椭圆的长轴为
B. 椭圆的离心率为
C. 与的交点是椭圆的一个焦点
D. 内接于椭圆菱形周长最大值为20
【答案】ABD
【详解】在中，，，，
对于A，椭圆的长轴为的长，在中，，
由余弦定理得，
因此，A正确；
对于B，设与的交点为，，
在中，，
，
在中，，
依题意，，B正确；
对于C，椭圆长轴长，由，得半焦距，
在中，，，
又，因此不为椭圆焦点，C错误；
对于D，如图，椭圆方程为，令该椭圆内接菱形为四边形，
设，则，即，
则，，化简得，
同理，菱形中，，
则当时，取得最大值为25，即，
因此菱形周长的最大值为，D正确.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数据的平均值为3，则的平均值为______．
【答案】7
【详解】由数据的平均值为3，得，
所以的平均数为
.
13. 已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______．
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，令直线上为圆心的点为，
以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则，即，
依题意，存在以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则点到直线的距离不大于2，
因此，即，解得，
所以k的取值范围是.
14. 已知点M为正三棱柱的外接球上动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______．
【答案】
【详解】设点为正三棱柱的底面的中心，为其外接球的球心，
易得平面，且，因，则，
则该外接球的半径为.
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，
以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.
则，设点，
由可得，
两边取平方，展开整理得：，
配方可得，
则点的轨迹为以点为球心，半径为2的球面.
因球的球心距为，
两球半径都是2，则两球的交线圆的半径满足，
故点M的轨迹为交线圆，其周长为，即点M的轨迹长度为.
四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（1）求A的大小；
（2）若，，试判断的形状，并求的面积．
【答案】（1）
（2）等边三角形，
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
整理得，
因为，故，
又，故．
【小问2详解】
已知，则，故，
，即，
则，，
因为．则．故，
所以，是等边三角形．
因此.
16. 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱，，的中点．平面平面．
（1）证明：；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
小问1详解】
因为F，G分别是棱，的中点，故．
又平面，平面，所以平面．
而平面，平面平面，所以．
【小问2详解】
过D作平面，垂足为O．建立如图所示空间直角坐标系．
则，， ，，
，，
设为平面的法向量，则
，取
平面的一个法向量为，所以，
设为平面与平面所成角，则，
因此，平面与平面所成角的正弦值为．
17. 已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为．
（1）求曲线的方程；
（2）不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线过定点；
（ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）1
【小问1详解】
设点，则以为直径的圆的圆心为，半径，
因为该圆与x轴相切，所以，
所以，整理得，
故曲线的方程为．
【小问2详解】
（i）设直线，，，
则，消去得，所以，，
以为直径的圆过原点，所以，
则，
因，解得，所以直线方程为，恒过定点．
（ii）对于给定的，直线与交于，
则，
将，，代入得，
又点在上且位于下方，即，
点到直线的距离为，
由知，故，
令，则对于给定的，为开口向下的一元二次函数，
所以当时，取得最大值，此时最大，，
所以面积的最大值，
令，，易知单调递增，
所以当，即时，取得最小值．
18. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．
（1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；
（2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；
（3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
设小组中有酶的人数为X，则．
已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为
．
【小问2详解】
设每组检测次数，则的分布列为
期望为
则总检测次数的期望；
【小问3详解】
若分组检测，检测次数的期望为．
总成本期望为，
若逐一检测，则总成本为．由节省50%以上得．
代入，，，得，
整理得，因此，，故的取值范围是．
19. 已知函数，．
（1）令，求在点处的切线方程：
（2）讨论在上的单调性；
（3）证明：（i）当时，
（ii）．
【答案】（1）
（2）在单调递增．
（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【小问1详解】
，则，，，
所以在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
，则
，
记，
故
设，则
当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减，
所以，故在单调递增．
【小问3详解】
证明：（i）令，则，
所以上单调递增，所以，即当时，
所以当时，；
（ii）由（i）可知当时，，故，
由于,则，故，
由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减，
故，所以．1
p