湖南省邵阳市2025-2026学年下学期高三高考二模数学试卷含答案

这是一份湖南省邵阳市2025-2026学年下学期高三高考二模数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了 保持答题卡的整洁， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A=x∣x2−x−6≤0 ，集合 B=x∣y=lg22−x ，则 A∪B=
A. −∞,3 B. −2,2 C. [−2,2) D. (−∞,3]
2. 已知复数 z 满足 1+i⋅z=2i ,则下列说法正确的是
A. z=2
B. 复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限
C. 复数 z 的共轭复数为 −1+i
D. 将复数 z 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 π2 ，所得向量对应的复数为 2i
3. 在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AC 上,且 AE=23AC . 若 ED=λAD+μAB ,其中 λ,μ∈R ,则 λ+μ=
A. −13 B. −23 C. 23 D. 13
4. 清明将至, 为倡导文明祭祀, 筑牢防火安全防线, 4 名青年志愿者到 3 个社区参加 “绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的派法共有
A. 24 种 B. 36 种 C. 64 种 D. 72 种
5. 已知函数 fx=2sin3x−π6 ,则下列结论错误的是
A. fx+2π3=fx B. fx+2π9=f2π9−x
C. 函数 fx 在区间 0,π3 上单调递增
D. 函数 fx 的图象关于点 7π18,0 中心对称
6. 已知 M 是 △ABC 内的一点,且 AB⋅AC=43,∠BAC=30∘ . 若 △MBC,△MCA 和 △MAB 的面积分别为 1,x,y ,则 1x+8y+xy 的最小值是
A. 43+2 B. 9 C. 15 D. 20
7. 已知函数 fx=lne2x+1,x≥0,x,x0,b,c∈R ,若 fx≥0 在 R 上恒成立,则 b2026ca2027 的最大值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知数列 an 是等差数列,且 a1=1,2a3=a4+3 ,数列 bn 满足 b1=3 , bn+1=3bn+an.
(1)求 an 的通项公式，并证明数列 bn+n 是等比数列；
(2)若数列 cn 满足 cn=an+bn ，求 cn 的前 n 项和 Tn .
16. (15 分) 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平, 采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取 120 名学生. 通过测验得到如下数据: 甲校 50 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀; 乙校 70 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀. 根据抽样数据的分析, 得到不完整抽样数据列联表, 如表(一)所示.
单位:人
表(一)
(1)完成表 (一) 列联表，依据小概率值 α=0.1 的 χ2 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
(2)已知甲、乙两所学校利用 AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下: 甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 13 ,乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 12 . 若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出 1 名学生, 用样本估计总体, 用频率估计概率, 求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据:
χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
17. (15 分) 如图(一),在四棱锥 P−ABCD 中， PB=PD,AD//BC,AB⊥BC,AB=22,AD=1 ， BC=6 ,点 E 在线段 BD 上, BE=2DE ,平面 PBD⊥ 平面 ABCD .
(1)求证: CE⊥PB ；
(2)设点 Q 是三棱锥 P−BCD 的外接球的球心，且四棱锥 P−ABCD 的体积是 72 ， 求直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值.

图(一)
18. (17 分) 已知双曲线 E 的渐近线方程为 y=±33x ,右焦点为 F2,0 ,直线 l 与 E 相切于点 P .
(1)若 l 与 E 的渐近线分别交于 A,B 两点，证明:点 P 为线段 AB 的中点；
(2)已知直线 l1:x=2,l2:x=32 ，若 l 与 l1,l2 分别交于点 M,N ，是否存在实数 λ ， 使得 MF=λNF 恒成立? 若存在,求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由.
19. (17 分) 已知函数 fx=x2lnx .
(1)求函数 fx 的极值;
(2)若函数 gx=fxx−aa∈R 有两个零点 x1 和 x2 ，且 x1ae+1 ；
(3)设函数 hx=kx3+2x,k∈R ，若 hx 与 fx 的图象有两个交点 Mm,s ， Nn,t ,试比较 mn 与 4e2 的大小. (参考数据: e≈2.72,ln2≈0.7 )
2026 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准 数 学
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
8. B 如图所示,在正四棱锥 P−ABCD 中， E 是棱 PA 的中点,取 PD 的中点为 F ,连接 EF,BE,CF,CE,CA,FA ,所以 EF//AD ,因为 AD//BC ,所以 EF//BC ,所以 B,C,F,E 四点共面，所以平面 EBC 在四棱锥上的截面是平面 BCFE .

平面 BCFE 把四棱锥分为两个部分,设四棱锥 P−ABCD 的体积为 V ,高为 h .
则 VF−ACD=13S△ACDh2=13×12S四边形ABCDh2=14×13S四边形ABCDh=14V ,
同理 VE−ABC=14V .
设点 C 到平面 AEF 的距离是 t ,
则 VC−AEF=13S△AEFt=13×12×S△ADFt=12VC−ADF=12VF−ACD=18V , 即 VF−ACD+VE−ABC+VC−AEF=14V+14V+18V=58V,VP−BCFE=38V , 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 35 .
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
11. ACD 因为 csCcsB+sinCsinB=2ab ,所以 csCsinB+sinCcsBcsBsinB=2sinAsinB , 即 sinB+CcsBsinB=sinAcsBsinB=2sinAsinB ,因为 sinA>0,sinB>0 ,得 csB=12 .
又 B∈0,π ,故 B=π3 ,所以选项 A 正确;
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC ,得 sinA=asinBb,sinC=csinBb ,所以 sinAsinC=acsin2Bb2=92b2 . 又 sinB=32 ,所以 ac=6 .
2026 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准 (数学) 第 1 页(共 7 页)
因为 D 是边 AC 的中点,所以 BD=12BA+BC ,
又因为 BA⋅BC=accsB=12ac ,所以 BD2=BA+BC24=a2+c2+ac4≥3ac4=92 ,
当且仅当 a=c=6 时取等号,所以 BD≥322 ,所以选项 B 错误;
csA+csB+csC=csA+12+cs2π3−A=csA−12csA+32sinA+12=32sinA+12csA+12
=sinA+π6+12.
当 sinA+π6=1 时, csA+csB+csC 的最大值为 32 ,此时 A=π3,C=π3 ,所以选项 C 正确;
因为 ac=6,c=2 ,所以 a=3,BA=2,BC=3 .
因为 BO=λBA+μBC ,所以 BO⋅BA=λBA2+μBC⋅BA,BO⋅BC=λBA⋅BC+μBC2. 又 BA⋅BC=3 ,
即 2=4λ+3μ,92=3λ+9μ, 得 λ=16 ，所以选项 D 正确.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 21 13. 35 14. e20262027
14. e20262027 由已知可得 ex≥−bax+ca 恒成立,令 −ba=m,ca=n .
故 ex≥mx+n 恒成立,故 m≥0 . 与此同时, b2026ca2027=b2026a2026⋅ca=−ba2026⋅ca=m2026n .
(1)若 m=0 ，则 m2026n=0 .
(2)若 m>0 ，令 gx=ex−mx−nm>0 ，
gx 的定义域为 R,g′x=ex−m ,
当 x0 .
所以 gx 在 −∞,lnm 单调递减,在 lnm,+∞ 单调递增.
所以当 x=lnm 时， gx 的最小值为 glnm=m−mlnm−n ，
因为 gx≥0 恒成立,则 gxmin≥0 恒成立,得 m−mlnm−n≥0 ,即 n≤m−mlnm .
( i ) 当 n≤0 时,则有 m2026n≤0 ;
(ii) 当 n>0 时,则有 0G2e ,
所以 mn>2e ,即 mn>4e2 . 17 分
注:解答题有其他解法酌情给分.
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
10
50
乙校
10
70
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
C
C
A
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
ACD