湖北省荆州市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷-

这是一份湖北省荆州市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷-，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x- 3y+3=0的倾斜角是( )
A. π6B. 5π6C. π3D. 2π3
2.已知向量a=(1,2,2),b=(2,-1,x)，若a⊥b，则x=( )
A. -2B. -1C. 0D. 1
3.设等差数列{an}的公差为d，若a3+a5=6，2a6-a7=5，则d=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知椭圆C：x2a2+1+y2a2=1(a>0)的右焦点为F，上顶点为A.设O为坐标原点，若∠OAF=π6，则a=( )
A. 22B. 1C. 2D. 3
5.设O为坐标原点，点P(2,y0)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，若点P到C的准线的距离为52，则|OP|=( )
A. 2 3B. 3C. 2 2D. 2
6.从2至8的7个整数中随机取2个数，则这2个数之和是偶数的概率为( )
A. 27B. 37C. 47D. 57
7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1>0，对∀n∈N*，设甲：an+1>an；乙：Sn+1>Sn，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
8.在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形OABC为正方形，OA，OB，OC所在直线的斜率存在且分别为k1，k2，k3.若k1+k2+k3=0，k1k2k3an，则( )
A. 00,b>0)的右焦点为F，点A，B在C的右支上，点D满足OB+OD=0.若AF+3BF=0,AB⋅DF=0，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
音乐是心灵的甘露，能涤荡尘埃、抚慰灵魂.为传递这份美好，某学校“清音杯”歌唱比赛如期举行，记录15位参赛者的初赛成绩(满分：100分)由低到高排列如下：
62 65 68 70 72 75 76 78 80 82 85 88 90 95 98
设这组样本数据的第10百分位数、中位数、第80百分位数分别为a，b，c．
(1)求a，b，c；
(2)已知成绩在区间[b,c)内的选手称为“潜力选手”，现从这些潜力选手中随机抽取2人，求同时抽中潜力选手A和潜力选手B的概率．
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A1AD=60°，AA1=AB=2，设E为B1C1的中点．
(1)求AE的长；
(2)求BA⋅BE．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项积Tn=n+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=anan+1-1，若对任意正整数n，λ≥b1+b2+⋯+bn恒成立，求λ的最小值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PAB是正三角形，AC⊥平面PAB，AB=1．
(1)设BD=4，求点C到平面PBD的距离；
(2)若二面角C-PB-D的正弦值为 1010，求AD的长．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上异于长轴顶点的动点，且△PF1F2面积的最大值为 3.直线PF1，PF2分别交C于点Q(x1,y1)，R(x2,y2)，△PQF2的周长为8．
(1)求C的标准方程；
(2)求证：以Q，R为焦点且经过点F1的双曲线也经过点F2；
(3)若点F1(-1,0)，求|y1-y2|的最大值．
答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.C
6.B
7.A
8.D
9.ABC
10.AD
11.ABD
12.712
13. 217
14. 102
15.解：(1)设这组样本数据的第10百分位数、中位数、第80百分位数分别为a，b，c，
15×10%=1.5，故a=65，
15×50%=7.5，故b=78，
15×80%=12，故c=88+902=89；
(2)已知成绩在区间[b,c)内的选手称为“潜力选手”，
由题意得一共有5个潜力选手，
这5人记为A，B，C，D，E，从中抽取2个，
样本空间Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)}，
记事件A=“同时抽中潜力选手A和潜力选手B”，A={(A,B)}，
则P(A)=110，
故同时抽中潜力选手A和潜力选手B的概率为110．
16.解：(1)∵AC1=AA1+AB+AD,AB1=AA1+AB，
∴AE=12(AC1+AB1)=AA1+AB+12AD，
∴|AE|= (AA1+AB+12AD)2= 4+4+1+2×2×2×12+2×2×12= 15．
(2)由题意得BA⋅BE=BA⋅(AE-AB)，
则BA⋅BE=BA⋅(12AD+AA1)=-12AB⋅AD-AB⋅AA1
又AB⋅AD=0,AB⋅AA1=2×2×cs60°=2，
∴BA⋅BE=0-2=-2．
17.解：(1)因为数列{an}的前n项积Tn=n+1，
所以当n=1时，a1=T1=2．
当n≥2时，an=TnTn-1=n+1n，且n=1时也满足此式．
所以{an}的通项公式为an=n+1n；
(2)因为an=n+1n，bn=anan+1-1，
所以bn=(n+1)2n(n+2)-1=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，
则b1+b2+⋯+bn=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+(14-16)+⋯+(1n-1n+2)]，
即b1+b2+⋯+bn=34-12(1n+1+1n+2)0)，则D(-1,a,0),BP=(-12,0, 32),BC=(-1,a,0),BD=(-2,a,0)．
设平面PBC的一个法向量为n1=(p,q,r)，平面PBD的一个法向量为n2=(x',y',z')，
n1⋅BP=-12p+ 32r=0n1⋅BC=-p+aq=0，
即n2⋅BP=-12x'+ 32z'=0n2⋅BD=-2x'+ay'=0，
可取n1=( 3a, 3,a),n2=( 3a,2 3,a)．
可得n1⋅n2= 3a× 3a+ 3×2 3+a×a=4a2+6，|n1|= 3a2+3+a2= 4a2+3，|n2|= 3a2+12+a2= 4a2+12，
所以cs=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=4a2+6 4a2+3⋅ 4a2+12，
故二面角C-PB-D的正弦值为sinθ= 1-cs2= 1-(4a2+6 4a2+3⋅ 4a2+12)2= 1010，
化简得(a2-3)(4a2-3)=0，即a2=3或34．
且AD= a2+AG2，
可得AD= 72或2．
19.解：(1)设P(x0,y0)，那么三角形PF1F2的面积S=12×2c×|y0|.当y0=±b时，S取最大值bc，因此bc= 3．
△PQF2的周长l=|PF2|+|PF1|+|F1Q|+|QF2|=4a=8，故a=2．
因此b=1,c= 3或b= 3,c=1，相应地，
椭圆C的方程为x24+y2=1或x24+y23=1．
(2)证明：根据椭圆的定义知|QF1|+|QF2|=|RF1|+|RF2|=2a=4．
所以||QF1|-|RF1||=||QF2|-|RF2||