陕西省西安市高新一中创新班2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

这是一份陕西省西安市高新一中创新班2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）2025的相反数是（ ）
A．﹣2025B．C．2025D．
2．（4分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a8÷a4＝a4
C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2D．（a+b）2＝a2+b2
4．（4分）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
5．（4分）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ）
A．﹣＜b＜0B．﹣＜b＜﹣
C．﹣≤b≤0D．b≤﹣或b＞0
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为 ．
8．（4分）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝ ．
9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若，则∠D的度数为 ．
10．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2025的值为 ．
11．（4分）如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB的长为 ．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 ．
三、解答题（共52分）
13．（5分）计算：．
14．（5分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
15．（5分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
16．（7分）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．
参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1．
17．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
18．（10分）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．抛物线经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
19．（12分）[问题探究]
如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，则AC+CE的最小值是 ；
[尝试应用]
如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，求△PCD周长的最小值．
[实践创新]
如图3，sinO＝，长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC＝5，△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，过F作FG⊥DE，垂足为G，求FG的最大值．
陕西省西安市高新一中创新班2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（4分）2025的相反数是（ ）
A．﹣2025B．C．2025D．
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【解答】解：2025的相反数是﹣2025，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
2．（4分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可．
【解答】解：如图，
正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°，
∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵α＝∠1，β＝∠2，
∴α+β＝150°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a8÷a4＝a4
C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；
B、a8÷a4＝a4，故此选项正确；
C、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（4分）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD，从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可．
【解答】解：由题意可知：AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP＝180°，
∵∠ABE＝130°，
∴∠BGP＝180°﹣130°＝50°，
∵PQ∥CD，
∴∠PGD+∠CDF＝180°，
∵∠CDF＝150°，
∴∠PGD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝50°+30°＝80°，
∴∠EGF＝∠BGD＝80°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是理解物理学知识，得到AB∥PQ∥CD．
5．（4分）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6．（4分）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ）
A．﹣＜b＜0B．﹣＜b＜﹣
C．﹣≤b≤0D．b≤﹣或b＞0
【分析】先根据函数图象关于y轴对称，求出x＜0时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线y＝x+b的平移，分析直线与函数图象有四个交点时b的取值范围．
【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x，
∴当﹣2≤x＜0时，y＝x2+2x；当x＜﹣2时，y＝﹣2x﹣4．
画出函数图象：
当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，这是一个开口向上，顶点为（1，﹣1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线一部分．
当x＞2时，y＝2x﹣4，是一条k为2，过（2，0）的射线．
根据对称性画出x＜0时的函数图象．
联立（﹣2≤x＜0时），得x2+x﹣b＝0，
当Δ＝1+4b＝0，即时，直线与y＝x2+2x（﹣2≤x＜0）相切．
当直线过（0，0）时，b＝0．
结合图象可知，当时，直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为 7.4×10﹣5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000074＝7.4×10﹣5．
故答案为：7.4×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（4分）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝ 7 ．
【分析】根据题意，将点P坐标代入计算即可．
【解答】解：由题知，
因为一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），
所以﹣4+b＝3，
解得b＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
9．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若，则∠D的度数为 45° ．
【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据圆周角定理得出答案．
【解答】解：连接CO，
∵AB为⊙O的直径，，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°（圆周角定理），
∴．
则∠D的度数为45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理，关键是相关定理的熟练掌握．
10．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2025的值为 ．
【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S1＝DC2＝4，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴2DE2＝DC2＝S1，
∴S2＝ED2＝，
同理：S3＝S2＝，
按照此规律继续下去，则S2025＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律．
11．（4分）如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB的长为 2 ．
【分析】依据点C在双曲线y＝（x＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a﹣），则B（3a，），A（a，），依据AC＝BC，即可得到﹣＝3a﹣a，进而得出a＝1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC＝BC＝2，进而得到Rt△ABC中，AB＝2．
【解答】解：点C在双曲线y＝（x＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC＝BC，
∴﹣＝3a﹣a，
解得a＝1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC＝BC＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 ．
【分析】解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则，∠FCE＝30°，求出，CF＝，从而可得DF＝，由勾股定理可得DE＝，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴，
∵△BCD为等边三角形，
∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则，∠FCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴，，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可得：OD＜DE+OE，
∴，
∵OD的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
三、解答题（共52分）
13．（5分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算，再合并即可．
【解答】解：
＝4﹣3+2×
＝4﹣3+
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（5分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】作线段AD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
15．（5分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”卡片盲盒分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有：（C，D），（D，C），共2种，
∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16．（7分）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．
参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1．
【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，
则四边形CDHG是矩形，
∴GH＝CD＝10m，CG＝DH，
∵∠1＝45°，
∴CG＝BG，
设AH＝xm，
∴AG＝（x+10），
在Rt△ACG中，
∵∠2＝52°，
∴CG＝＝m，
∴BG＝CG＝m，
∴BH＝BG+GH＝（+10）m，
在Rt△BDH中，∠3＝65°，
∴tan65°＝＝≈2.1，
∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1，
∴AB＝BH+AH≈21（m）．
答：大楼的高度AB约为21m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地添加辅助线是解题的关键．
17．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠PAB＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠PAB．
∵AB＝BC，
∴，
∴OB⊥AC，
∴∠BAC+∠ABO＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠BAO+∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB．
由（1）知：∠BAC＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠D，
∴∠BAC＝∠D．
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB2＝12，
∴AB＝2，
∴OA＝2．
在Rt△OAP中，
∵tanP＝，
∴AP＝＝6．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
18．（10分）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．抛物线经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0＝﹣2+c，
解得c＝2，
∴B（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），
∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m．
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠NBP＝90°，
∴∠NBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况．
19．（12分）[问题探究]
如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，则AC+CE的最小值是 ；
[尝试应用]
如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，求△PCD周长的最小值．
[实践创新]
如图3，sinO＝，长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC＝5，△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，过F作FG⊥DE，垂足为G，求FG的最大值．
【分析】[问题探究]如图1中，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，连接AE．解直角三角形求出AE，即可解决问题．
[尝试应用]如图2中，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
[实践创新]如图3中，连接CF，过点F作FM⊥CD于M，FN⊥EC于N，过点C作CH⊥OE于H．由题意S△DEC＝•DE•CH＝•EC•FN+•CD•FM+•DE•FG，推出FG•（2+EC+CD）＝6，推出当EC+CD的值最小时，FG的值最大，如图4中，过点C作CK∥DE，使得CK＝DE＝2，作点K关于直线OB的对称点J，连接CJ交OB于E，连接EJ交OB于T，截取ED＝CD，此时CE+CD的值最小，最小值＝CJ的长．
【解答】解：[问题探究]如图1中，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，连接AE．
∵AB⊥BD，ED⊥BD，AH⊥EH，
∴∠ABD＝∠BDH＝∠H＝90°，
∴四边形ABDH是矩形，
∴AH＝BD＝8，AB＝DH＝2，
∵DE＝1，
∴EH＝DH+DE＝3，
∴AE＝＝＝，
∵AC+EC≥AE，
∴AC+CE≥，
∴AC+CE的最小值为．
故答案为．
[尝试应用]如图2中，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∵S△PAB＝S△PCD，
∴×2×x＝××2×（3﹣x），
∴x＝1，
∴AM＝1，DM＝EM＝2，
在Rt△ECD中，EC＝＝2，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥2，
∴PD+PC的最小值为2，
∴△PCD的周长的最小值为2+2．
[实践创新]如图3中，连接CF，过点F作FM⊥CD于M，FN⊥EC于N，过点C作CH⊥OE于H．
∵△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，FG⊥DE，FM⊥CD，FN⊥EC，
∴FG＝FM＝FN，
在Rt△OCH中，∵∠CHO＝90°，OC＝5，
∴sinO＝＝，
∴CH＝3，
∴S△DEC＝•DE•CH＝•EC•FN+•CD•FM+•DE•FG，
∴FG•（2+EC+CD）＝6，
∴当EC+CD的值最小时，FG的值最大，
如图4中，过点C作CK∥DE，使得CK＝DE＝2，作点K关于直线OB的对称点J，连接CJ交OB于E，连接EJ交OB于T，截取ED＝CD，此时CE+CD的值最小，最小值＝CJ的长．
由图3可知KT＝TJ＝3，
在Rt△JKC中，∵∠JKC＝90°，CK＝2，JK＝6，
∴CJ＝＝＝2，
∴CE+CD的最小值＝2，
∴FG的最大值＝＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
B
C
C
A
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）