四川省内江市2026届高三下学期第二次模拟考试数学试卷含答案（word版）

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1. C 2. D 3. A 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. BC 10. ACD 11. ABD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.1 13. 4,42 14. (−∞,e]
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 设 an 的公比为 q
由 a2=2,a7=64 ,知 a1q=2a1q6=64 ,得 a1=1,q=2 分
所以 S7=a11−q71−q=1−271−2=127 分
(2)由 S3,S9,S6 成等差数列知 2S9=S3+S6 分
当 q=1 时， 18a1=3a1+6a1 得 a1=0 矛盾 9 分
当 q≠1 时, 2a11−q91−q=a11−q31−q+a11−q61−q ,即 2q6=1+q3 分
所以 2a1q7=a1q+a1q4 ,即 2a8=a2+a5
所以 a2,a8,a5 成等差数列 分
16. 解: (1) 由双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 经过点 −2,6 ,
其渐近线方程为 y=±2x ,
所以 −22a2−62b2=1,ba=2,a>0,b>0 , 分
解得 a=1,b=2 ,
所以双曲线 C 的方程为: x2−y22=1 分
(2)当直线 l 垂直 x 轴时,
直线 l 的方程为 x=1 ,此时直线 l 与双曲线只有一个交点,不满足; 8 分
当直线 l 不垂直 x 轴时,斜率存在,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,所以 x12−y122=1x22−y222=1 ,
两式作差得 x12−x22−y122−y222=0⇒x12−x22=y122−y222 ,
即 x1−x2x1+x2=12y1−y2y1+y2 ,
若 P1,−1 是线段 AB 的中点,则 x1+x2=2,y1+y2=−2 ,
则 x1−x2=−12y1−y2 ,
所以直线 l 的斜率 k=y1−y2x1−x2=−2 , 分
则直线 l 的方程为 y=−2x−1−1⇒y=−2x+1 , 分
将直线 l 与双曲线 C 联立 y=−2x+1x2−y22=1 ,得 2x2−4x+3=0,△=−42−4×2×3=−83.841 ,所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜爱打篮球与
性别有关. 分
(3)喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0,1,2 . 分
其概率分别为
PX=0=C102C100C202=938,
PX=1=C101C101C202=1019,
PX=2=C100C102C202=938 , 12 分
故 X 的分布列为
X 的均值为 EX=0×938+1×1019+2×938=1 . 分
18. 解: (1) 因为 D 为 BC 中点
所以 AD=12AB+12AC ,故 PD=PA+AD=12AB+12AC−AP 分
于是 AE=AP+PE=AP+13PD =AP+1312AB+12AC−AP =16AB+16AC+23AP 分
(2)过点 A 作 AQ⊥PB ，垂足为 Q 分
由 PA⊥ 平面 ABC 知 PA⊥AC
如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC 、 AP 所在的直线为 y 轴、 z 轴，以过点 A 且垂直于平面
APC 的直线为 x 轴,建立如图的空间直角坐标系 分
因为平面 PAB⊥ 平面 PBC ,平面 PAB∩ 平面 PBC=PB
所以 AQ⊥ 平面 PBC ,故 AQ⊥BC
因为 PA⊥ 平面 ABC ,所以 PA⊥BC
又 PA∩AQ=A ,所以 BC⊥ 平面 PAB ,
故 BC⊥AB 分
因为 AB=AP=1,AC=2 ，所以 A0,0,0 ，B22,22,0,C0,2,0,P0,0,1
故 PC=0,2,−1,PB=22,22,−1 ,由 (1) 知 AE=16AB+16AC+23AP=212,24,23
设平面 PBC 的一个法向量为 m=x1,y1,z1
则 PC⋅m=0PB⋅m=0 ,令 x1=1 得 m=1,1,2 分
设 AE 与平面 PBC 所成角为 α ,则 sinα=cs⟨AE,m⟩=AE⋅mAEm=427
所以直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 427 分
(3)设 AG=λAC,AH=μAPλ>0,μ>0 .
由(1)及 F 为 AB 中点知 AE=16AB+16AC+23AP=13AF+16λAG+23μAH
因为 E,F,G,H 共面,所以 13+16λ+23μ=1 ,即 12λ+2μ=2 分
因为 VA−FGH=VH−AFG=13S△AFG⋅AH=13×12×12×2λ⋅sin∠BAC⋅μ=λμ12
2=12λ+2μ≥212λ⋅2μ=2λμ ,即 λμ≥1 (当且仅当 λ=12,μ=2 时取等) 分
所以当三棱锥 A−FGH 的体积最小时, F24,24,0,G0,22,0,H0,0,2
所以 GF=24,−24,0,GH=0,−22,2
设平面 FGH 的一个法向量为 n=x2,y2,z2
则 GF⋅n=0GH⋅n=0 ,令 x2=4 得 n=4,4,2 分
所以由 (2) 知 csm⋅nm⋅n=102×34=53434
所以平面 FGH 与平面 PBC 所成角的余弦值为 17 分
19. 解: (1) 由 N=2 ,知 fx=1+x2 ,则 f′x=21+x
故 f′12=3 , 分
由 an=C2n12n ,知 a1+2a2=32 分
(2)由 an=CNn12n ，知椭圆方程为 CNnx2+CNmy2=1
因为组合数具有对称性: CNi=CNN−i ,所以 CNii≥1 的取值情况分为以下两种情况:
① 当 N 为奇数时， CNi 共有 N+12 种不同取值，从这些不同值中任取两个不同数进行排列可得到椭圆的个数,即 AN+122=6 ,则 N=5 分
② 当 N 为偶数时， CNi 共有 N2+1 种不同取值，从这些不同值中任取两个不同数进行排列可得到椭圆的个数,即 AN2+12=6 ,则 N=4 .
综上, N 的取值为 4 或 5 分
(3) 由 fx=1+xN=CN0x0+CN1x1+⋯+CNnxn+⋯+CNNxN
得 f′x=N1+xN−1=CN1x0+2CN2x1+⋯+nCNnxn−1+⋯+NCNNxN−1
则 xf′x=Nx1+xN−1=CN1x1+2CN2x2+⋯+nCNnxn+⋯+NCNNxN
令 x=12 得 12f′12=N232N−1=a1+2a2+3a3+⋯+NaN
所以 AN=N332N 分
令函数 gx=xf′x=Nx1+xN−1=CN1x1+2CN2x2+⋯+nCNnxn+⋯+NCNNxN ,
则 g′x=N1+xN−1+NN−1x1+xN−2=CN1+22CN2x1+⋯+n2CNnxn−1+⋯+N2CNNxN−1
则 xg′x=Nx1+xN−1+NN−1x21+xN−2=CN1x+22CN2x2+⋯+n2CNnxn+⋯+N2CNNxN
令 x=12 得 12g′12=N232N−1+NN−1432N−2=a1+22a2+32a3+⋯+N2aN
所以 BN=32NN3+NN−19 分
则 BNN−AN+32N=32N×11−2N9 ,令 TN=32N×11−2N9
则 TN+1−TN=32N×5−2N18 ,所以
当 1≤N≤2 时， TN+1−TN>0 ，即 T3>T2>T1 .
当 N≥3 时， TN+1−TNT4>T5>⋯ .
所以 TN 的最大值为 T3=158 ,即 TN≤158 .
故 BNN−AN+32N≤158 ,得证 分性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
X
0
1
2
P
938
1019
938