北京市昌平区新学道临川学校2025_2026学年高二上册期末考试数学试题（含答案）

这是一份北京市昌平区新学道临川学校2025_2026学年高二上册期末考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过A(−1,0)，B(0,−1)两点，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. 2π3D. 3π4
2.设a∈R，若直线l1:ax+2y−8=0与直线l2:x+(a+1)y+5=0平行，则a的值为( )
A. 1B. −2C. 1或−2D. −23
3.某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为( )
A. 0.85×0.22B. C75×0.85×0.22C. 0.85D. C75×0.85
4.设P是双曲线y24−x23=1上的动点，则P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为
A. 4B. 2 3C. 2 5D. 2 7
5.如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=12MA，N为BC的中点，则MN等于( )．
A. 53a+32b+12cB. 13a+12b+12cC. −23a+12b+12cD. −13a+12b+12c
6.随机变量X服从正态分布X∼N(2,σ2)，若P2≤X|BF|，则|AF|=3|BF|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.根据下表数据得到y关于x的线性回归方程y =2.2x−a ，则a = ．
13.若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有 种.(用数字作答)
14.已知双曲线C:y29−x2=1，则双曲线C的渐近线方程为 ；F1,F2是双曲线C的焦点，点P在双曲线C上，且PF1⋅PF2=0，则PF1+PF2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：x−y+1=0和圆C：x−12+y+22=9．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
(2)求过点4,7且与圆C相切的直线方程．
16.(本小题15分)
甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
(1)计算x，y的值；
(2)若规定考试成绩在[130,150]内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率；
(3)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，根据以上统计数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
临界值表：
17.(本小题15分)
在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为D1，D2，试比较D1，D2的大小.(只需写出结论)
18.(本小题17分)
如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，且DE=3AF=3．
(1)证明：BF//平面DEC；
(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．
(3)线段AC上是否存在一点P，使得点P到平面BEF的距离为5 2121？若存在，求线段AP的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且经过点A0, 3．
(1)求C的方程；
(2)若直线l:y=kx+m与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当∠PMA=2∠PQA时，①求证：∠PAQ为直角．②求m的值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.D
6.A
7.D
8.C
9.CD
10.ABC
11.ACD
12.1
13.24
14.y=±3x ； 2 10
15.解：(1)由题意得圆C的圆心C(1,−2)，半径r=3，
则圆心到直线l的距离d=1−(−2)+1 12+(−1)2=2 23，
所以点(4,7)在圆外，此时有两条切线，
①当直线斜率存在时，由题意设直线y−7=k(x−4)，即kx−y+7−4k=0，
由直线kx−y+7−4k=0与圆相切得圆心C(1,−2)到直线的距离等于半径，
即d=k⋅1−(−2)+7−4k k2+1=3，解得k=43，
此时切线方程为4x−3y+5=0；
②当直线斜率不存在时，直线为x=4，易得圆心C(1,−2)到x=4的距离为3，
故x=4也满足条件，此时切线方程为x=4，
综上，过点4,7且与圆C相切的直线方程为4x−3y+5=0或x=4．

16.解：(1)根据题意知，甲校应抽取72×10001800=40(人)，
乙校应抽取72×8001800=32(人)，
所以x=2，y=15；
(2)由表中数据知，甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人，
恰有1人来自乙校的概率为P=C31⋅C53C84=37；
(3)根据题意填写2×2列联表，如下：
由表中数据，计算χ2=72×(15×27−5×25)240×32×20×52≈4.2400 解得 m2