湖南省常德市2026年中考二模数学试题附答案

这是一份湖南省常德市2026年中考二模数学试题附答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的倒数是（ ）
A．B．5C．D．
2．福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
4． 下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．计算的结果是（ ）
A．4B．2C．3D．
7．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
8．为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，13B．4.7，4.8C．13，4.8D．4.8，4.8
9．如图，点A，B，C，D在上，且四边形是菱形，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”．下列说法不正确的是（ ）
A．34是和谐数
B．（是整数）不一定是和谐数
C．如果数都是“和谐数”（），则也是“和谐数”
D．当时，（是整数）是“和谐数”
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入300元，记作元，则元表示 ．
12．《共和国的数学家》丛书含陈景润等五位数学家的分册．书包中有如图所示的五本书，随机抽取一本是《共和国的数学家—陈景润》的概率是 ．
13．已知，且，则 ．
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
15．如图，矩形中，边长为x，边长为y，矩形的面积为8，则y关于x的函数关系式为 ．
16．如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ．
17．如图，已知四边形是平行四边形，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，过E，F两点作直线恰好经过点D，交对角线于点O，若，则的长为 ．
18．美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某学校准备开设“A．编织；B．厨艺；C．电工；D．园艺”四种类别的劳动课，为了了解学生对劳动课类别的选择意向（每个同学只能选择其中一项），随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出如图所示的不完整的统计图．
请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了__________名学生，扇形统计图中m的值为__________；
（2）将条形统计图补充完整；C组所对应的扇形圆心角为__________；
（3）若该校共有学生1200人，则估计该校喜欢厨艺的学生人数为多少？
22．某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和2个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元．
（1）求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元；
（2）如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多可以购买A型固定垃圾箱多少个？
23．【问题背景】2025年某市将迎来“第四届天门山跑酷大赛”，筹备委员会要在“云纵天梯”上设置108组障碍道具，但需要知道天梯最后一段AB的长度，某数学兴趣小组在老师的指导下进行了测量活动．
【实施过程】
【问题解决】
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）求天梯的坡角的度数；
（2）求天梯的长度是多少米．（结果精确到整数）
24．如图所示，菱形的顶点A，B，D都在上，延长交于点E，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）已知菱形的边长为3，，求四边形的面积．
25．已知：如图1，二次函数与x轴相交于A，两点，与y轴交于点C，连接，P是第一象限的抛物线上一点．
（1）求二次函数和直线的表达式；
（2）连接与交于点G，若，求点P的坐标；
（3）如图2，已知M，N是x轴上点B左侧（N不与B重合）两个动点，M在N的左边，，连接交于点E，连接交于点F，求的最小值．
26．如图1，在矩形中，，P是线段上一个动点（P不与A重合），以为边在的上方作正方形，连接，，，与交于点G．
（1）若正方形和矩形的周长相等，则的值为__________；
（2）若，当长为多少时，是直角三角形？请说明理由；
（3）把图1沿折叠，点F恰好落在线段的延长线上的点处，如图2所示，求的值．
答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：D．
【分析】根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”并结合题意即可求解．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：它的左视图为：
．
故答案为：A．
【分析】根据左视图的定义：左视图是从物体的左边看得到的视图，找到从左边看所得到的图形即可判断
4．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A为合并同类项，正确结果为3a2；
对于B为同底数的除法，正确结论应为a4；
对于C，完全平方式展开有3项，故C错误；
而D为积的乘方，括号内的分别乘方即可.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、乘方规则、完全平方式的展开即可判断.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的情况：分母不能为0，要使分式有意义，只需要令分母不等于0即可求解
6．【答案】B
【解析】【解答】 解：
，
故答案为：B
【分析】根据二次根式的乘法运算法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根，据此即可求解
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意；
D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。然后再据此即可判断
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵共有50个数据，第25个数据和第26个数据都为4.8
∴中位数为：；
∵4.8出现的次数最多
∴众数为4.8．
故答案为：D．
【分析】因为全班有50名学生，所以有50个视力数据，先对50个数从小到大排列，因为50是偶数，所以中位数是第25和26个数据，对照统计图中数据，用第25和第26个数相加除以2，即可求出中位数；根据众数的定义：一列数据中出现次数最多的数，据此即可求解
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，
设，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，设，根据菱形的性质可得，，进而得出 ，从而求出，然后根据圆周角定理，可得，最后再根据圆内接四边形的性质，即可得，代入，求出x的值即可
10．【答案】B
【解析】【解答】解：A：，
34是和谐数，
故该说法正确，不符合题意；
B：，
（是整数）一定是和谐数；
故该说法错误，符合题意；
C：
，
都是“和谐数”，设，
原式
，
也是“和谐数”，
故该说法正确，不符合题意；
D： ，
，
当时，（是整数）是“和谐数”，
故该说法正确，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据“和谐数”的定义，运用完全平方公式，然后对各个选项进行分析求解，即可
11．【答案】支出200元
【解析】【解答】解：若收入300元，记作元，则元表示支出200元．
故答案为：支出200元．
【分析】根据“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数”，可知，正数表示收入，负数表示支出，据此即可求解
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵书包中有五本不同的书，即随机抽取时所有可能的结果数为5；
而《共和国的数学家—陈景润》只有本，也就是抽到《共和国的数学家—陈景润》这一事件发生的结果数为1 ．
∴随机抽取一本是《共和国的数学家—陈景润》的概率．
故答案为：．
【分析】因为书包中有5本书，可知，总结果数是5；随机抽出1本，则可能结果数为1，根据概率等于可能结果数除以总结果数，代入数据，即可求解
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据 有两个不相等的实数根，可知，只需要令判别式 ，代入数据，即可求解
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形中，边长为x，边长为y，矩形的面积为8，
∴，
变形得，
故答案为：．
【分析】根据长方形的面积公式：S=AB×AD，代入数据求出函数的关系式
16．【答案】
【解析】【解答】解：为等边三角形，点D是边的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】因为D是BC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，可知，，根据，易得，根据三角形内角和公式：，代入数据，即可求出的度数，然后再根据三角形外角的性质，即可求解。
17．【答案】3
【解析】【解答】解：如图所示，设与交于点G
由作图得，是的垂直平分线
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴．
故答案为：3．
【分析】根据“ 以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F ”，可知，EF是AB的垂直平分线，设与交于点G，即，因为DC//AB，所以，得到，最后再结合即可求出AO的长。
18．【答案】
【解析】【解答】解：如图①所示：根据题意得，图形中的三角形为等腰直角三角形，
∴，，，
如图②则有：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】如图，对题干中的图形标上字母
根据题意得，图形中的所有三角形均为等腰直角三角形，可得，，， 如图②则有：，，，，再进一步求解即可．
19．【答案】解：原式
．
【解析】【分析】根据绝对值、负整数指数幂、零次幂的运算法则，对、和进行运算，然后再代入特殊角的三角函数值，最后再进行运算即可
20．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，然后再对除号后面的分式的分子根据平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘法，再进行约分化简，最后再将a的值代入化简后的式子，即可求解
21．【答案】（1）40，10
（2）解：补全图形如图：
（3）解：根据题意，可得
（人），
答：估计该校喜欢厨艺的学生人数为480人．
【解析】【解答】（1）解：本次调查总人数为（名），
D组所占的百分比为
∴，
故答案为：40，10。
（2）解：C组人数为（名），
C组所对应的扇形圆心角为。
故答案为：72。
【分析】（1）根据条状图中D的值以及D的占比，用D的数量除以D的占比，求出学生的总人数；然后再用A的人数除以学生的总人数，再乘以100%，即可求出m的值。
（2）根据（1）中得出学生的总人数，用总人数减去A、B、D的学生人数，求出C的人数，然后再在条状中补充即可；用C的人数除以学生总人数，然后再乘以360度，即可求出C组所对应的扇形圆心角。
（3）喜欢厨艺的代表的是D，用D的学生人数除以学生总人数，求出喜欢厨艺的学生的占比，然后再乘以该校的学生总人数，即可求解。
（1）解：本次调查总人数为（名），
D组所占的百分比为
∴，
故答案为：40，10；
（2）解：C组人数为（名），
补全图形如图：
C组所对应的扇形圆心角为；
故答案为：72；
（3）（人），
答：估计该校喜欢厨艺的学生人数为480人．
22．【答案】（1）解：设A型固定垃圾箱的单价是元，B型移动垃圾箱的单价是元，
根据题意，得，
解得，
答：A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元．
（2）解：设购买A型固定垃圾箱个，则购买B型移动垃圾箱个．
根据题意，得，
解得．
的最大值为20．
答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个．
【解析】【分析】（1）设A型固定垃圾箱的单价是x元，B型移动垃圾箱的单价是y元，根据“购买3个A型固定垃圾箱和2个B型移动垃圾箱共需560元”建立方程：3x+2y=560；根据“1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元”，建立方程：x+y=200，然后再解方程即可
（2）设购买A型固定垃圾箱m个，则购买B型移动垃圾箱（90-m）个，根据（1）中求出的A和B的单价，用A的单价乘以购买A型固定垃圾箱的数量，用B的单价乘以购买B型固定垃圾箱的数量，然后再根据“购买费用不超过6000元”建立不等式：，然后再解不等式即可
（1）解：设A型固定垃圾箱的单价是元，B型移动垃圾箱的单价是元，
根据题意，得，
解得，
答：A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元．
（2）解：设购买A型固定垃圾箱个，则购买B型移动垃圾箱个．
根据题意，得，
解得．
的最大值为20．
答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个．
23．【答案】（1）解：，
，
，
．
（2）解：∵，设米，米．
，，
，
，
解得，
（米）．
，
，
米．
答：天梯的长度约为296米．
【解析】【分析】（1）因为台阶BA的坡度等于AC：BC，而，然后再根据的取值，即可求出的角度；
（2）根据AC：BC=9：10，可设AC=9x，BC=10x，再根据，而，已知DB=44，CD=44+10x，AC=9x，代入数据，即可求出x的值，从而求出AC的值，最后再根据，可得，代入数据即可求解
（1）解：，
，
，
．
（2）解：∵，
设米，米．
，，
，
，
解得，
（米）．
，
，
米．
答：天梯的长度约为296米．
24．【答案】（1）证明：四边形是菱形，∴，，
，．
又四边形内接于，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，过点作交于点．
，，
．
，
．
，
，
四边形的面积是．
【解析】【分析】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以，，然后再根据平行线的性质，可得， ；因为ABED是圆的内接圆，所以，进而得到，据此即可得到DC=DE，据此即可证明
（2）如图，过点作交于点．根据（1）可得DC=DE=AB，而AD=3，进而可求出BE；据此求解，然后再（1），可得等腰三角形的性质可得．求解，再利用面积公式计算即可．
（1）证明：四边形是菱形，
∴，，
，．
又四边形内接于，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，过点作交于点．
，，
．
，
．
，
，
四边形的面积是．
25．【答案】（1）解：把点代入中，，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，且经过点和点，
则，解得，
∴直线的表达式为．
∴二次函数的表达式为，直线的表达式为．
（2）解：如图1，过点作轴交于点．
设，，则．
．
轴，
，
．
，，
，
，
，，
，；
（3）解：如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
∴．
，，
，，
，
设，则，把它们的横坐标代入中，
，，
．
由（2）知．
，
．
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入 ，求出b，从而得到二次函数的解析式，另x=0，求出y的值，从而可求出C点的坐标，然后再把结合点C的坐标和点B的坐标，设BC的解析式为y=kx+b，将b点和C点坐标代入解析式，即可求出直线BC的表达式
（2）如图1，过点作轴交于点，设，，则，表示出，然后证明出，得到，然后得到求解即可；
（3）如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，推出，设，则，表示出，，得到，然后结合求解即可．
（1）把点代入中，
，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，且经过点和点，
则，解得，
∴直线的表达式为．
∴二次函数的表达式为，直线的表达式为．
（2）如图1，过点作轴交于点．
设，，则．
．
轴，
，
．
，，
，
，
，，
，；
（3）如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
∴．
，，
，，
，
设，则，把它们的横坐标代入中，
，，
．
由（2）知．
，
．
26．【答案】（1）
（2）解：的长为2或时，是直角三角形，理由如下：
当时，
因为正方形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，
因为矩形中，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴
∴
∴，
∴，
∴的长为2或时，是直角三角形．
（3）解：由折叠可知，过点G作于M，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设正方形的边长为y，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：∵在矩形中，，
∴在矩形的周长为，
∵ 正方形和矩形的周长相等，
∴，
∴．
故答案为：。
【分析】（1）根据正方形和矩形的周长相等，再根据 ，可得到，然后再进行化简即可求解．
（2）题干中没具体说明 哪个角是直角，因此需要分和两种情况讨论：当时，即可得到，从而得到即可求解；当时，可以得到，所以，据此即可求解．
（3）由折叠得到，过点G作于M，得到，则，设，得出，设正方形的边长为y，利用，得出，再利用相似三角形的判定与性质即可求解。
（1）解：∵在矩形中，，
∴在矩形的周长为，
∵ 正方形和矩形的周长相等，
∴，
∴．
（2）解：的长为2或时，是直角三角形，理由如下：
当时，
因为正方形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，
因为矩形中，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴
∴
∴，
∴，
∴的长为2或时，是直角三角形．
（3）解：由折叠可知，
过点G作于M，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设正方形的边长为y，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
活动主题
测量天门山云纵天梯的长度
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型
抽象
测绘过程
与数据信息
设台阶的起点为B，终点为A，B在水平直线l上，线段和直线l在同一平面内，点A的铅垂高于点C．已知台阶的坡度①从点B开始沿的延长线方向行走44米到达点D处，在D处测得点A的仰角为；②用计算器计算得：，，，，，．