2026年高考数学二轮复习专题讲义——圆锥曲线中的最值（范围）问题

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①利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；
②利用基本不等式或函数最值问题解决。
方法 1、利用定义法和几何关系求最值
解题技巧：遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。
【例 1】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名. 他发现:“平面内到两个定点 A,B 的距离之比为定值 λλ≠1 的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 已知在平面直角坐标系 xOy 中， A−2,1,B−2,4 ，点 P 是满足 λ=12 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_____；若点 Q 为抛物线 E:y2=4x 上的动点， Q 在直线 x=−1 上的射影为 H ，则 12PB+PQ+QH 的最小值为_____.
【答案】 x+22+y2=4 ， 10
【分析】(1) 利用直译法直接求出 P 点的轨迹. (2) 先利用阿氏圆的定义将 12PB 转化为 P 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得 12PB+PQ+QH 的最小值.
【解析】设 Px,y ，由阿氏圆的定义可得 PAPB=12 ，
即 x+22+y−12x+22+y−42=14 ，化简得 x+22+y2=4
∵PAPB=12 ，则 PA=12PB
设 F1,0 ，则由抛物线的定义可得 QH=QF
∴12PB+PQ+QH=PA+PQ+QF≥AF=10 ，当且仅当 A,P,Q,F 四点共线时取等号，
∴12PB+PQ+QH 的最小值为 10
故答案为: x+22+y2=4;10 .
【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质， 同时考查了阿氏圆定义的应用. 还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力. 难度较大.
【例 2】已知点 P 在离心率为 2 的双曲线 x2a2−y2b2=1 的 左支上， A0,43 ， F 是双曲线的右焦点，若 △PAF 周长的最小值是 20，则此时 △PAF 的面积为( )
A. 63 B. 103 C. 143 D. 18
【答案】B
【分析】首先由双曲线的定义可知 △PAF 周长的最小值等于 AF1+AF+2a ，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线 AF1 与双曲线联立即可求出 P 点的坐标，最后利用 SΔPAF=SΔAF1F−SΔPF1F 即可求出面积.
【解析】设双曲线的左焦点为 F1 ，由题知: PF1−PF=2a,PF=2a+PF1 .
ΔPAF 周长 =AP+PF+AF=AP+PF1+AF+2a≥AF1+AF+2a .
当且仅当 A,P,F1 三点共线时取等号. 所以 AF1+AF+2a=20 .
所以 248+c2+2a=20ca=2c2=a2+b2 ，解得 a=2b=23c=4 ，双曲线方程为 x24−y212=1 .
kAF1=434=3,lAF1:y=3x+43.
x24−y212=1y=3x+43⇒3x2−3x+432−12=0 ，解得 x=−52 ，代入 y=3x+43 ，得 y=332
所以 P 的坐标为 −52,332⋅
S△PAF=S△AF1F−S△PF1F=12×8×43−12×8×332=103 . 故选: B
【点睛】本题主要考查双曲线的性质， 同时考查了直线与双曲线的位置关系， 属于难题.
【例 3】已知椭圆 x225+y216=1 内有两点 A1,3,B3,0,P 为椭圆上一点，则 PA+PB 的最大值为_____.
【答案】 15
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为 B3,0 和 B′−3,0 . 因此连接 PB′、AB′ ，根据椭圆的定义得 PA+PB=PA+2a−PB′=10+PA−PB′ . 再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点 P 在 AB′ 延长线上时， PA+PB=10+AB′=15 达到最大值，从而得到本题答案.
【解析】 ∵ 椭圆方程为 x225+y216=1 ， ∴ 焦点坐标为 B3,0 和 B′−3,0
连接 PB′、AB′ ，根据椭圆的定义，得 PB+PB′=2a=10 ，可得 PB=10−PB′
因此 PA+PB=PA+10−PB′=10+PA−PB′
∵PA−PB′≤AB′ ∴PA+PB⋅10+AB′=10+1+32+3−02=10+5=15
当且仅当点 P 在 AB′ 延长线上时，等号成立
综上所述，可得 PA+PB 的最大值为 15
【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到 PA+PB=10+PA−PB′ 是解题的关键.
【例 4】已知 F 是双曲线 C:x2a2−4y2=1a>0 的右顶点到其一条渐近线的距离等于 34 ，抛物线 E:y2=2pxp>0 焦点与双曲线 C 的右焦点重合，则抛物线上的动点 M 到直线: l1:4x−3y+6=0,l2:x=−1 的距离之和的最小值为_____.
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为 y=±x2a ，右顶点 a,0 到其一条渐近线的距离等于 34 ，
可得的 a1+4a2=34 ，解得 a=34 ，即有 c=1 。
由题意可得 p2=1 ，解得 p=2 ，即有抛物线的方程为 y2=4x ，
如图，过点 M 作 MA⊥l1 于点 A ，作 MA⊥ 准线 l2:x=−1 于点 C ，连接 MF ，
根据抛物线的定义得 MA+MC=MA+MF ，
设 M 到 l1 的距离为 d1,M 到 l2 的距离为 d2 则 d1+d2=MA+MC=MA+MF ，
易知 M,A, F 三点共线时， MA+MF 有最小值。
由焦点 F1,0 到直线 l1 的距离为 2，即 MA+MF 的最小值为 2 。
方法 2、利用均值不等式或函数最值求最值(范围)
方法技巧:合理引入变量(长度，角度，斜率等)根据已知条件建立函数关系求最值(范围)或利用均值不 等式求最值 (范围)。
【例 1】已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ， 直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则 AB+DE 的最小值为
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
【答案】A
【解析】解法一: 由已知 l1 垂直于 x 轴是不符合题意，所以 l1 的斜率存在设为 k1,l2 的斜率为 k2 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2,Dx3,y3,Ex4,y4 ，此时直线 l1 方程为 y=k1x−1 ，
联立 y2=4xy=k1x−1 ，得 k12x2−2k12x−4x+k12=0,∴x1+x2=−−2k12−4k12=2k12+4k12 同理得 x3+x4=2k22+4k22
由抛物线定义可知 AB+DE=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8≥216k12k22+8=16
当且仅当 k1=−k2=1 (或 -1 ) 时，取得等号. 故答案选A
解法二: 设 AB 倾斜角为 θ . 作 AK1 垂直准线， AK2 垂直 x 轴，易知
AF⋅csθ+GF=AK1(几何关系)AK1=AF(抛物线的定义)GP=p2−−p2=p 得到: AF⋅csθ+P=AF
AF=P1−csθ; BF=P1+csθ; AB=2P1−cs2θ=2Psin2θ
又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 θ+π2,DE=2psin2θ+π2=2pcs2θ ，
而 y2=4x 即: p=2 ; 所以 AB+DE=2psin2θ+2pcs2θ=4sin2θcs2θ=16sin22θ≥16 ， 当 θ=π4 ，取等号，即 AB+DE 最小值为 16 . 故选 A
【名师点睛】对于抛物线弦长问题， 要重点抓住抛物线定义， 到定点的距离要想到转化到准线上， 另外， 直线与抛物线联立， 求判别式、韦达定理是通法， 需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.
【例 2】在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD 且 AB=2,AD=1,CD=2x ， 其中 x∈0,1 ，以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ，以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ，若对任意 x∈0,1 ，不等式 t12×5−1+45−1=5 ，故选B.
【例 3】已知椭圆 C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0 与双曲线 C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0 有相同的焦点 F1,F2 ，点 P 是曲线 C1 与 C2 的一个公共点， e1,e2 分别是 C1 和 C2 的离心率，若 PF1⊥PF2 ，则 4e12+e22 的最小值为 ( )
A. 92 B. 4C. 52 D. 9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a1 ，双曲线实轴为 2a2 ，
令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义 PF1−PF2=2a2 ，①
由椭圆定义 PF1+PF2=2a1 ，②
又 ∵PF1⊥PF2,∴PF12+PF22=4c2 ，③
① 2+②2，得 PF12+PF22=4a12+4a22 ，④
将④代入③，得 a12+a22=2c2 ，
∴4e12+e22=4c2a1​2+c2a2​2=52+2a2​2a1​2+a1​22a2​2≥52+2=92 ，故选A.
【例 4】已知过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点，且 AF=3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于 C ， AA1⊥l 于点 A1 ，且四边形 AA1CF 的面积为 63 ，过 K−1,0 的直线 l ’ 交抛物线于 M,N 两点，且 KM=λKNλ∈(1,2] ，点 G 为线段 MN 的垂直平分线与 x 轴的交点，则点 G 的横坐标 x0 的取值范围为 ( )
A. 3,134 B. 2,94 C. 3,92 D. 112,7
【答案】A
【解析】过 B 作 BB1⊥l 于 B1 ，设直线 AB 与 l 交点为 D ，
由抛物线的性质可知 AA1=AF,BB1=BF,CF=p ，
设 BD=m,BF=n ，则 BDAD=BB1AA1=BFAF=13 ，即 mm+4n=13,∴m=2n .
又 BB1CF=BDDF,∴np=mm+n=23,∴n=2p3,∴DF=m+n=2p,∴∠ADA1=30∘ ，
又 AA1=3n=2p,CF=p,∴A1D=23p,CD=3p,∴A1C=3p ，
∴ 直角梯形 AA1CF 的面积为 122p+p⋅3p=63 ，解得 p=2,∴y2=4x ，
设 Mx1,y1,Nx2,y2,∵KM=λKN,∴y1=λy2 ，
设直线 l′:x=my−1 代入到 y2=4x 中得 y2−4my+4=0 ，
∴y1+y2=4m,y1y2=4,∴x1+x2=my1+y2−2=4m2−2 ，
由以上式子可得 4m2=1+λ2λ=λ+1λ+2 ，
由 10 ，即 64k2−241+2k2>0 ，化为 k2>32 .
∴x1+x2=−8k1+2k2,x1x2=61+2k2 . **
∵PA=λPB ∴x1=λx2 . 与 (**) 联立可得: λ2+1λ=13⋅10−161+2k2
∵k2>32 ∴20 ，
即 m2−9+n2>0 ，又 ∵m2−n28=1,m2−9+8m2−1>0 ，解得 m>173 或 m0 准线上的一点，点 F 是 C 的焦点，点 P 在 C 上且满足 PF=mPA ，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以原点为中心， F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
A. 3B. 32 C. 2+1D. 2+12
【答案】A
【解析】由点 A 在抛物线的准线上，所以 −p2=−3⇒p=6 ，所以抛物线的方程为 y2=12x ，
所以抛物线的焦点 F3,0 ，准线方程为 l:x=−3 ，
过点 P 作准线的垂线，垂直为 N ，由抛物线的定义可知 PF=PN ，
因为 PF=mPA ，则 m=PFPA ，当直线 PA 与抛物线相切时，此时 m 取得最小值，
设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 PA 的方程为 y+62=kx+3 ，
联立方程组 y+62=kx+3y2=12x ，整理，由 Δ=0 ，解得 k=62 ，
此时直线的方程为 y+62=62x+3⇒y=62x+6 ，
由 y=62x+6 与抛物线方程 y2=12x 联立，解得点 P2,26 ，
此时双曲线的焦点坐标为 F1−3,0,F3,0 ，且过点 P2,26
根据双曲线的定义可知 PF1−PF=2a⇒2a=2+32+262−2−32+262=2 ，
所以 a=1 ，所以双曲线的离心率为 e=ca=3 ，故选 A。
【例 3】已知抛物线 y=14x2 的焦点 F ，直线 l 过点 F 且与抛物线相交于 M ， N 两点， M,N 两点在 y 轴上的投影分别为 C,D ，若 CD≤83 ，则直线 l 斜率的最大值是 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 33
【答案】A
【分析】设直线方程为 y=kx+1 ，联立抛物线方程可得 x2−4kx−4=0 ，设 Mx1,y1,Nx2,y2 ， 则 x1+x2=4k,x1⋅x2=−4, 所以 CD=y1−y2=kx1+x22−4x1⋅x2=k16k2+16⋅83 ， 求解不等式即可得出答案.
【详解】因为抛物线 x2=4y 的焦点 F0,1 ，所以设直线方程为 y=kx+1 ，
由 x2=4yy=kx+1⇒x2−4kx−4=0 ，设 Mx1,y1,Nx2,y2 ， 则 x1+x2=4k,x1⋅x2=−4,
所以 CD=y1−y2=kx1−x2=kx1+x22−4x1⋅x2=k16k2+16≤83 ，
解得 −3≤k≤3 ，所以直线 l 斜率的最大值是 3 .
故选: A.
【点睛】本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想， 考查了计算能力， 属于难题.
【例 4】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分， 它的方程是 y2−x2=1,y∈1,10 ，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2.5
【答案】A
【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图， 只需圆与双曲线的顶点相交， 联立圆与双曲线方程，得到关于 y 的一元二次方程，要满足方程的根不能大于 1，即可求解.
【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为 r ，圆心为 0,r+1 ，
圆方程为: x2+y−r−12=r2 代入双曲线方程 y2−x2=1 ，
得 y2−r+1y+r=0,∴y=1,y=r ，要使清洁球到达底部， r≤1 . 故选:A
【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用， 关键要把实际问题抽象转化为数学问题， 属于较难题.
【例5】已知圆 C:x+32+y−42=4 和两点 A−m,0,Bm,0 . 若圆 C 上存在点 P ，使得 ∠APB=90∘ ，则 m 的最大值为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】B
【分析】由 ∠APB=90∘ 求出点 P 的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出 m 的最大值.
【详解】解: 设 Px,y 因为 ∠APB=90∘ ，所以点 P 在以线段 AB 为直径的圆上，记该圆为圆 M ， 即此时点 P 的方程为 x2+y2=m2 ，又因为点 P 在圆 C 上，故圆 C 与圆 M 有公共点，
故得到 m−2≤−32+42≤m+2 ，解得: 3≤m≤7 ，故 mmax=7 ，故选B.
【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件 ∠APB=90∘ 转化为轨迹方程， 从而解决问题.