浙江省金丽衢十二校2026届高三下学期第二次联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份浙江省金丽衢十二校2026届高三下学期第二次联考数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含金丽衢十二校2026届高三第二次联考数学试题解析版docx、金丽衢十二校数学试题及答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 为正奇数列, 为除以 4 余 1 的正奇数列, .
2. 复数 的虚部为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,虚部为 .
3.向量 ,若 ,则
A. 0 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】由题意, .
4.已知 分别为椭圆 的上顶点和右顶点， 为 的右焦点，若 的一个内角为 ，则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,只可能 .
5.已知 为空间中的四个不重合的点,则 “点 不共面” 是 “直线 和 不相交” 的( )条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
【答案】A
【解析】当 时， ， ， ， 共面，当 ， ， ， 不共面， ， 既不能相交也不能平行，条件充分不必要.
6.已知函数 向右平移 个单位后是偶函数,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意, ,最少向右移 为偶函数.
7.掷一枚均匀的骰子 2 次,记出现的点数分别为 ,令 ,则 的数学期望
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】写出分布列,计算 ,即 2 次中至少有一次为 ,另一次 ,
的有 个,考虑出现的先后顺序需乘以 2,
而样本点 只算一次,故要减 1,故 ,
故 .
8.已知 表示不超过 的最大整数 (例如 ),数列 满足 ,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 对任意 恒成立
D. 存在
【答案】C
【解析】算几项探索, ,故 A 错误;
猜测 且递增,下面归纳证明: ,设 ,则 ,故 , ,也满足 ,故 ,于是 恒成立, ,故 正确;
设 ,令 ,解得 ,作出蛛网图知 单调递增趋于 ,故 错误.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知幂函数 为增函数,则下列说法正确的是
A. B. 函数 为增函数
C. 函数 极大值为 2 D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】A 项: 因为 为幂函数,所以 ,可得 或 ,又因为 为增函数,则 , ,故 A 正确;
B 项: ,当 和 时,函数值均为 0,所以 不单调递增,故 B 错误;
C 项: ,所以 ,当 时, ,当 时, ,所以在 时, 取到最大值为 2,故 正确;
D 项: 因为 单调递增, ,即 或 ,当 时, ,不符合题意,故 错误.
10.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则下列说法正确的是
A. B.
C. D. 的面积最大值为 6
【答案】ABD
【解析】A 项: 因为 ,又因为 ,所以 ,又因为若 ,不符合题意; 若 ,则 ,不符合题意, 且 ,则 ,故 正确;
B 项: 因为 ,故 B 正确;
C 项: 因为 ,因为 , ,故 C 错误;
D 项: 因为 ,而 ,所以 ,所以 ,所以 , 因为 ,所以 ,故 正确.
11.有 30 个人，他们的身高各不相同，从矮到高依次记为 . 现在让他们排成 行 列的矩形队列 ,把每一列最矮的人选出,并把其中最高的人的身高设为 ; 把每一行最高的人选出,并把其中最矮的人的身高设为 ,则下列说法正确的是
A. 当 时,
B. 当 时,
C. 任何一种列队方式,都有
D. 当 时,无论如何列队, 与 都不可能相等
【答案】ABC
【解析】A 项: 最高的仅一人,即 ,故 A 正确;
B 项: 设每列最矮的人分别为 ,从小到大排列为 ,则 , , 故 ,故 正确;
C 项: 若 为同一人,则 ; 若 在同一行,均有 ; 若 不同行,设 所在列与 所在行相交的人为 为 列最矮的人,故 为 行最高的人,故 ,则 ,故 正确;
项: 如下图矩阵,此时 ,故 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.函数 的最小正周期为________.
【答案】
【解析】 ,所以最小正周期为 .
13.已知 展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则展开式中的常数项为_____. (结果用数字表示)
【答案】 70
【解析】由题意可得 ,解得 ,展开通项 ,
则 ,所以 .
14.在平面直角坐标系 中,圆 与 轴交于点 ,若圆上恰有一点 满足到直线 的距离等于 ，则圆 的半径是________.
【答案】
【解析】由题意可得,圆 与抛物线 恰有唯一的公共点,且在公共点 处的切线重合。
由抛物线方程,得切线方程为 ,则其与 轴的交点为 .
再结合圆的两条切线段相等,得到 ，即 为等边三角形，所以 .
又由点 在圆和抛物线上,得到 ,解方程组得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.随机抽取 7 家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
（1）计算广告支出与销售额之间的相关系数（结果保留两位小数）；
（2）根据以上数据建立销售额关于广告支出的经验回归方程，参考公式与数据如下：
一元线性回归方程中，．
【解析】(1) ,4 分
，
代入数据得 . 8 分
(计算结果为 0.86 也给分; 代入数据结果算错给 1 分)
(2) ,代入数据得 , 11 分
13 分
16.已知数列满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】(1)由题意得 (否则不满足题设条件),故 , 3 分
因此 ,
故数列 是等差数列. 6 分
(作差思想给 1 分)
(2)由(1)得 故 ， 8 分
9 分
两式相减得 , 14 分
所以 . 15 分
17.己知焦点在轴上的双曲线过两点，为上的动点，直线与渐近线分别相交于点．
（1）求曲线的方程；
（2）证明：为定值，并求出该定值．
【解析】
(1)设 的方程为 ， 1 分
由渐近线是 知 , 3 分
故 的方程为 ,将点 坐标代入解得 , 5 分
故 的方程为 .
(2)设点 ，点 ， ，
由题意得 7 分
解得 ,
9 分
11 分
将 的方程 代入分母消去 ,整理后得 , 13 分
所以 为定值. 15 分
18.18．（本题满分 17 分）已知函数．
（1）当时，求函数的零点个数；
（2）若的图象有一个交点为，且两者在点处的切线互相垂直，
（i）证明：对所有符合题意的实数，都有；
（ii）设为坐标原点，记的最小值为，证明：．
【解析】 (1)令 恒成立,
因此 是减函数, 3 分
而 ,故由零点存在定理得 在区间 上存在一个零点,即为 的唯一零点,因此 恰有一个零点. 5 分
(2)(i)设点 ，则 ， 6 分
又由两切线互相垂直得 , 7 分
解得 , 8 分
即点
由此 ,记为函数 ,
,故 即 . 11 分
(ii) 由 (i) 得 ,因此 ,令 ,
12 分
令 ,知 为增函数, ,
因此 存在唯一零点 . 14 分
当 时 单调递减; 当 时 , 单调递增.
所以 . 17 分
19.如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，垂足为，且是的中点．
（1）证明：平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求的长；
（3）是否存在一个点，满足点到点的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由．
【解析】(1)由题意得 平面 ,故 ,又 ,
平面 ,故 平面 . 3 分
(2)由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ，故 .
解法一:
. 5 分
设 ，则在 中， ， 6 分
, 7 分
因此 ,8 分
由重要不等式可得上式 , 10 分
当且仅当 时等号成立,此时 , 11 分
即当三棱锥 的体积最大时, 的长为 .
解法二:
由( 1 )得 平面 ，故 ，又 ，
平面 ,故 平面 . 5 分
故 ,
又 平面 ,故 平面
又 .
因此 . 9 分
所以 , 10 分
当且仅当 时等号成立，此时可在 中算得 . 11 分
(3)解法一:
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系.
设 ,则 ,
设 ,由 解得 , 12 分
故点 坐标为 .
设 ,由 代入坐标解得 .
设平面 的法向量为 ,得
,取 得
设平面 法向量为 ,得
取 得 . 14 分
由于二面角 是锐角,因此二面角 的余弦值为
15 分
将 代入整理得
17 分
解法二:
在四棱锥 中,由 (2) 得 ,故 四点共圆, 圆心在 中点,记为 . 13 分
取线段 的中点 ，连结 ，得 ，
由( 2 )得 平面 ，
故 平面 .
因此由 得 .
故 即为题中所求点 . 14 分
作 ,垂足为 ,连结 ,由
可知 平面 ,故 ,
故 即二面角 的平面角, 不妨记作 . 15 分
在 Rt 中, ,其中 ,
而 ,故 .
即二面角 的余弦值的取值范围为 . 17 分1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告支出（ ）
1
2
3
5
8
10
13
销售额（ ）
20
30
40
40
50
50
50