浙江省宁波十校2026届高三下学期3月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知 ,则 .
2. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了 “狄利克雷函数” . 已知 . 则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设 为条件 为条件 ,设 ,
则 ,但 ,则 ,若 ,则 ,
则 ,则 ,则 为 的必要不充分条件.
3.设 是 与 的等差中项,则 的值为
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】由题可得 ,则 .
4.已知幂函数 是非奇非偶函数,令 ,记数列 的前 项和为 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得 ,即 ,
因为 是非奇非偶函数,所以 ,
所以 .
5.若关于 的方程 在 上恰有 3 个根 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,则 ,设 ,则 有 3 个解,
则 , 则 .
6.某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的 400 名学生进行了调查。调查中使用了两个问题, 问题 A: 你的手机尾号是否是偶数? 问题 B: 你是否经常吸烟? 调查者设计了一个随机化装置, 这是一个装有大小、形状和质量完全一样的 50 个白球和 50 个红球的袋子, 每个学生随机从袋中摸取 1 个球 (摸出的球再放回袋中), 摸到白球的学生如实回答问题 A, 摸到红球的学生如实回答问题 B,每个学生只需回答 “是” 或 “否”，无人知道他回答的是哪一个问题。已知手机尾号为偶数的概率为 0.5 , 若在 400 名学生中共有 150 人回答 “是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3
【答案】C
【解析】设男大学生吸烟比例为 ,则 .
7.如图所示，已知 ，点 ， 满足 ， ， 与 交于点 ， 交 于点 ,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】一方面,设 ,同理可得 ,
另一方面,设 ,同理可得 ,
对比系数有 ,解得 ,故 ,因此 选项错误;
设 ,同理可得 ,
又因为 ,得 ,
对比系数有 ,解得 ,故 C 选项错误;
对于 选项, ,故 选项正确.
8.已知直线 与焦点为 的抛物线 相交于 两点，且 ，线段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ,则 的最小值为
A. 1 B.2 C. D. 2
【答案】C
【解析】设 ,
在 中由余弦定理得 ，
由抛物线定义及梯形中位线可得 ,
从而 ,得 ,
由基本不等式知 ,于是 ,得 ,
故 (当且仅当 时, 取到最小值),故 ,最小值为 选项正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是
A. 一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第 60 百分位数为 4
B. 两个随机变量的线性相关程度越强,则样本相关系数 的绝对值越接近于 1
C. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 ,根据小概率值 的 独立性检验: ,可判断 与 有关联,此推断犯错误的概率不超过 0.5%
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】BD
【解析】 ，则取第 5 个数，为 5，故 A 错误；
由线性相关性质的定义知 正确;
由卡方检验的定义可知 错误;
由题可知, ,则 ,故 正确.
10.设复数 满足 ,则
A.
B. 存在复数 ,使得 为纯虚数
C. 存在 ,关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ,则 的最小值为
【答案】ABC
【解析】 可看成在焦点 ,长轴为 的椭圆上,设 为 ,椭圆方程为 ,可得 ,故 正确;
假设存在,设 ,若为纯虚数,则 ,可知点 在每个象限的角分线,此时与椭圆有交点,可联立求得 ,故 正确;
同上,知 ,则 在 上,此直线与椭圆有交点,可联立求得 或 , 故 C 正确;
在以 为圆心， 1 为半径的圆上运动，此题可理解为圆上的点与椭圆上的点的最小距离，设椭圆上的点为 ,对称轴为 ,则 ,故 D 错误.
11.已知实数 互不相等,且满足 ,下列说法正确的有
A. B.
C. D. 对任意 均为整数
【答案】ABD
【解析】A 项: , 为方程的根 ,
,所以 ,故正确;
B 项: ,故正确;
C 项: ,
故错误;
D 项: ,
降幂迭代,为整数, 升幂迭代, 为整数,故正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.一个底面半径为 的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为 的实心铁球，沉入水底后， 水未溢出容器，则水面升高了_____cm.
【答案】
【解析】铁球的体积等于水面上升的体积, ,圆柱形容器的底面积 , 设水面上升的高度为 ,根据体积相等, ,所以 ,所以 .
13.已知点 在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】点 在圆 上运动,且 ,所以只有一种情况满足, 为圆的直径,
所以 与 关于原点 对称,即 ,
所以 ,
因为 ,则 ,设 ,
所以 ,所以 ,
因为点 在圆 上,所以 ,
当 时, ; 当 时, ,
所以 的取值范围是 .
14.已知盒子中共有 8 个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为 2,2, 4，随机变量 为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则 的数学期望为________.
【答案】6
【解析】设红球、黄球、黑球分别为 ,由题意可知, 的取值分别为2,3,4,5,6,7,8, 取球顺序中可以不需要考虑红球和黑球的位置，只需考虑黄球的位置即可， 将黑球设为 ,则 ,故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 中， ， .
(1)令 ，求证:数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】(1)因为 ，所以 ， 2 分
再由 ,
因为 ,所以 ,代入上式得:
.6 分
所以数列 是以 -1 为首项, 为公比的等比数列; 7 分
(2)由(1)可得: ，9 分则

.13 分
16.在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)点 在边 上，连接 ，且 ，记 和 的内切圆半径分别为 ， ,求 的值.
【解析】(1)由已知可得: ， 3 分
因此 ,因此 .5 分
(2)由于 ，可得 .7 分
结合勾股定理得, 为直角三角形,所以得 .9 分
所以 .11 分
在 中, ,可得 , 14 分
从而 .15 分
17.如图，四棱锥 中， 底面 ， ， 平面 ， ， .
(1)证明: ；
(2)若点 到平面 的距离为 1，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】
(1)因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 .3 分
因为 底面 , 平面 ,所以 ,
因为 , 所以 ,
又因为 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 . 6 分
(2)由(1)可知， ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示坐标系.
过点 作 ,交 于点 ,
因为 底面 平面 ,所以 ，
因为 ，所以 平面 ，又点 到平面 的距离为 1 ，
所以 ,9 分
在 Rt 中 ,由 可得 ;
设 ,则 ,即 ,解得 ;
因此 为 的中点， ，所以 .11 分
可得 ,
所以 .
设 是平面 的法向量,则 ,
即 ,取 ,则 , ,所以 是平面 的一个法向量.13 分
因为 平面 ,所以 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .15 分
18.已知椭圆 的焦距为 2,且离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ，直线 过点 (直线 不与 轴重合)，交椭圆于 两点. 直线 交椭圆于另一点 ,直线 交椭圆于另一点 ,连接 交 轴于 .
(i) 求 的值;
(ii) 求点 到直线 距离的取值范围.
【解析】(1)由题意易知: ,故 .2 分因此,椭圆 .3 分
(2)(i)不妨设 .
由 ,可得 ,
所以 .4 分
,由 ,
可得 ,所以 ,
故 .6 分
代入直线 ,可得 .7 分
同理: .8 分
因此,
故有 .11 分
(ii) 设 ,则 .
由于 三点共线,
故 .13 分
进而 ,
化简可得: ,
因此 .15 分
由于 为定点,而直线 也过定点 ,故点 到直线 距离的取值范围为 .17 分
19.已知函数 .
(1)若 ，求曲线在点 处的切线方程；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: .
【解析】(1)由于 ,则 , 1 分
由于 , 3 分
所以切线方程为 .4 分
(2)(i)由于 有两个极值点 ，故 有两个变号零点，
等价于方程 有两个不同的解.6 分
设 ,则 ,令 ,
所以, 在 上单调递减,在 上单调递增,8 分
当 时, ,当 时, ,所以 10 分
(ii) 由 (i) 得, .
欲证 ,只需证 12 分构造 ,则 ,
因为 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,所以 .15 分
设方程 的两根为 ,
则由 得 ,
所以 ,由 得, ,原命题得证. .17 分