陕西省铜川市2026届高三下学期模拟预测（二）数学试卷含答案（word版）

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第 II 卷 (非选择题 共 92 分)
12. 897
13. 2533+2636
14. 21
15. ( 1 )设数列的公差为 d ，由 S3=2S2+a1 可知 a1+a2+a3=2a2+a1+a1 ，则 a2=3a1 ，
又 a2n=2an+1 ,令 n=1 可得 a2=2a1+1 , -3 分
联立解得 a1=1,a2=3 ,则 d=2 , -4 分
∴an=2n−1 , -5 分
( 2 )当 x≠−1,x≠0 时， fx=x1+1+x+1+x2+⋯+1+x2n−1
=x1+x2n−11+x−1=1+x2n−1 ,当 x=−1,x=0 时, fx=1+x2n−1 成立, -7 分
所以 fx=1+x2n−1 , -8 分
f′x=2n1+x2n−1 ,则 f′1=n⋅22n=n⋅4n,bn=n⋅4− , -9 分
Tn=1×4+2×42+3×43+⋯+n⋅4n, 10 分
4Tn=1×42+2×43+⋯+n⋅4n+1, -11 分
−3Tn=4+42+⋯+4n−n⋅4n+1=4n−14−1×4−n⋅4n+1=1−3n⋅4n+1−43 , -12 分
∴Tn=3n−1⋅4n+1+49 -13 分
16. 137 ;
(2)2
(1)由正弦定理得到 b=2c ，根据 S△ABC=S△ADB+S△CDA 得到方程，求出 c=3,b=6 ，根据余弦定理得到 a2=63 ，求出 a ；
【详解】(1)因为 sinB=2sinC ,由正弦定理得 b=2c ，
因为 ∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D ，所以 ∠BAD=∠CAD=60∘ ， -2 分
由 S△ABC=S△ADB+S△CDA ,得 12bcsin∠BAC=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD ,
则 12×2×bsin60∘+12×2×c×sin60∘=12×bcsin120∘ , -4 分
即 bc=2c+2b ,所以 c=3,b=6 ,
在 △ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2−2accs120∘=36+9−2×3×6×−12=63 , -6 分即 a=63=37 ; -7 分

(2)由 S△ABC=S△ADB+S△CDA ，
得 12bcsin∠BAC=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD ，
得 12×2×bsin60∘+12×2×c×sin60∘=12×bcsin120∘ , -9 分
化简得 bc=2c+2b ,即 2b+2c=1 , -10 分
所以 b+c=b+c2b+2c=2+2bc+2cb+2≥22bc×2cb+4=8 , -11 分
当且仅当 b=c=4 时等号成立, b+c 取得最小值, -12 分
此时, △ABC 面积为 12×b×c×sin120∘=12×4×4×32=43 . -13 分
AM2=−a2+2b2+2c24=2×16+2×16−484=4 -14 分
AM=2 15 分
17.
【详解】( 1 )交换 1 次后,随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2 , -1 分
PX=0=12×12=14, PX=1=12×12+12×12=12, PX=2=12×12=14, -6 分所以随机变量 X 的分布列为
随机变量 X 的期望 EX=0×14+1×12+2×14=1 -8 分
(2) 582=2564 . PA=1−2564=3964 -12 分
(3) pk=13+−1k3⋅2k ; 13 分 pk=12 解得 k=1 -15 分
18. ( 1 )由题知 e=ca=1−b2a2=12，解得a2=4,b2=3, -2 分所以 E 的方程为 x24+y23=1 . -3 分
(2)(i)因为 F1−1,0,F21,0 ,又 P−1,32 ,由对称性知 A−1,−32 , -4 分又 kPF2=32−1−1=−34 ,所以 lPF2:y=−34x−1 , -5 分由 x24+y23=1y=−34x−1 ,消 y 并整理得到 7x2−6x−13=0 ,解得 x=−1 或 x=137 , -7 分当 x=137 时, y=−34×137−1=−914 ,所以 B137,−914 , -8 分则 kAB=−914+32137+1=310 ,所以直线 AB 的方程为 y+32=310x+1 ,即 3x−10y−12=0 . -10 分
(ii) 设 Px0,y0y0≠0,Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 PF1=−1−x0,−y0,F1A=x1+1,y1 ,
又 PF1=λF1A ,则 −1−x0=λx1+1−y0=λy1 ,解得 x1=−1−x0−λλ,y1=−y0λ , 12 分
因为 A 在椭圆上，则 −1−x0−λλ24+y0−λ23=1 ，即 x02+21+λx0+1+λ24+y023=λ2 ，
又 x024+y023=1 ,则 21+λx0+1+λ24=λ2−1 , -13 分
易知 λ>0 ,化简得 2x0=3λ−5 ,则 λ=2x0+53 ,
又因为 PF2=1−x0,−y0,F2B=x2−1,y2 , 14 分
又 PF2=μF2B ,则 1−x0=μx2−1−y0=μy2 ,解得 x2=1−x0+μμ,y2=−y0μ ,
因为 B 在椭圆上，则 1−x0+μμ24+−y0μ23=1 ，即 x02−21+μx0+1+μ24+y023=μ2 ， -15 分
又 x024+y023=1 ,则 −21+μx0+1+μ24=μ2−1 ,
易知 μ>0 ,化简得 −2x0=3μ−5 ,得到 μ=−2x0+53 , 16 分
故 λ+μ=2x0+53+−2x0+53=103 , -17 分

19.(1)根据题意先构建面面平行，即平面 ABF// 平面 DCE ，因为 BF⊂ 平面 ABF ， BF⊄ 平面 CDE ，所以 BF// 平面 CDE ；
(2)①过点 C 作 CH⊥EB 交 EB 于点 H ，先证明 CH⊥ 平面 FBE . 得到 BF⊥CH ，再证 BC⊥ 平面 FAB ，得到 BF⊥BC ， 因为 BC∩CH=C ,则可证 BF⊥ 平面 BCE ,进而证得 BF⊥CE ;
②由题意得 E 到底面 AFB 的距离为 AD ,设点 E 到 DC 的高 EK ,可证 EK⊥ 平面 ABCD ,即点 E 到底面 ABCD 的高为 EK ,在 △CDE 中使用等面积法可得 EK=4sinα ,进而可使用割补法得几何体 EFABCD 的体积 V=53×t(5− t)sinα ,取 DE 的中点 S ,连接 SC ,易得 SC⊥ 平面 BCE ,即 SC⊥CE ,在 △SDC、△ECD、△SCE 中,结合勾股定理与余弦定理,可得 csα=t6+43t,csα≥2t6×43t=223 ,当且仅当 t=22 时等号成立,故当 α 取得最大值时,即 csα 取得最小值 223,sinα=13 ,进而可求 V 的值.
(1)证明:根据题意可知 AF∥DE ， AB∥CD ，
因为 AF⊄ 平面 DCE ， DE⊂ 平面 DCE ，所以 AF// 平面 DCE ，
同理,因为 AB⊄ 平面 DCE,DC⊂ 平面 DCE ,所以 AB// 平面 DCE , -1 分
又因为 AF,AB 是平面 ABF 内的两条相交直线,所以平面 ABF// 平面 DCE , -2 分
因为 BF⊂ 平面 ABF ,所以 BF// 平面 CDE . -3 分
(2)①证明:在平面 BCE 内过点 C 作 CH⊥EB⫫CE 为于点 H ，

因为平面 FBE⊥ 平面 CBE ,平面 FBE∩ 平面 CBE=EB ,所以 CH⊥ 平面 FBE .
又因为 BF⊂ 平面 FBE ,则 BF⊥CH ; 4 分
根据题意,平面图形翻折后 AD⊥AB,AD⊥AF ,
且 AF,AB 是平面 FAB 内两条相交直线，
所以 AD⊥ 平面 FAB ,又 BC∥AD ,得 BC⊥ 平面 FAB . -5 分
又 BF⊂ 平面 FAB ,则 BF⊥BC ,
因为 CH,BC 是平面 BCE 内两条相交直线，所以 BF⊥ 平面 BCE ， -6 分
因为 CE⊂ 平面 BCE ,所以 BF⊥CE . -7 分
②直角梯形 BCEF 中， BF∥CE ， ∠BCE=90∘ ，且 AD∥BC ，
由①可知 AD⊥ 平面 FAB ，
由(1)可知由题意平面 ABF// 平面 DCE , -8 分
所以 E 到底面 AFB 的距离为 AD ,
在 △CDE 中，设点 E 到 DC 的高 EK ，即 EK⊥CD ， -9 分
因为 BC⊥ 平面 CDE ,而 EK⊂ 平面 CDE ,所以 BC⊥EK ,
因为 CD∩BC=C ， CD,BC⊂ 平面 ABCD ，所以 EK⊥ 平面 ABCD ， -10 分
故点 E 到底面 ABCD 的高为 EK ,
在 △CDE 中,根据三角形的面积公式 12×4tsinα=12t×EK,∴EK=4sinα ; -11 分
几何体 EFABCD 的体积为
V=VE−ABCD+VE−AFB=13×t5−t4sinα+13×12×2tsinα×5−t=53×t5−tsinα; -12 分取 DE 的中点 S ,连接 SC ,

因为 SF∥BC,SF=BC ,所以四边形 SFBC 是平行四边形; 所以 SC∥BF,SC=BF ,
因为 BF⊥ 平面 BCE ,所以 SC⊥ 平面 BCE ,又因为 CE⊂ 平面 BCE ,所以 SC⊥CE , -14 分
在 △ECD 中, EC2=4+t2−4tcsα ,
在 △ECD 中, EC2=16+t2−8tcsα , 15 分
在 △SCE 中, SC2+EC2=SE2,∴20+2t2−12tcsα=4 ,化简得到 csα=t6+43t , 16 分
因为 α∈0,π,0