2025北京西城高三下高考一模数学试卷（教师版）

这是一份2025北京西城高三下高考一模数学试卷（教师版），共12页。
2025.4
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，那么集合
（2）下列函数中，图象关于轴对称的是
（3）在的展开式中，的系数等于
（4）在长方形中，为的中点，，则
（5）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数
（6）设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的
（7）已知函数. 若，则
（8）设双曲线的左右焦点分别为和. 若上存在一点
使得，则双曲线的离心率的取值范围为
（9） 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的. 若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示. 设为图中个正六边形（边长为）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为
（10）设等比数列的前项和为，前项的乘积为.若，则
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）设为虚数单位，则____.
（12）设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到的距离为____.
（13）设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值____，____.
A
C
D
B
（14）端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日. 从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等. 其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示. 设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为____，内含食物的体积为____. （粽叶的厚度忽略不计）
（15）记表示不超过实数的最大整数. 设函数，有以下四个结论：
= 1 \* GB3 ① 函数为单调函数；
= 2 \* GB3 ② 对于任意的，或；
= 3 \* GB3 ③ 集合为常数中有且仅有一个元素；
= 4 \* GB3 ④ 满足的点构成的区域的面积为8.
其中，所有正确结论的序号是____．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在多面体中，平面，平面平面，，于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ） 设，，求直线与平面所成角的正弦值．
O
A
B
C
D
P
Q
（17）（本小题14分）
在中，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件 = 3 \* GB3 ③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高．
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路. 为调查研究，某地统计了辖区内从年至年这年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：
在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为.
（Ⅰ）从年至年这年中随机抽取年，求该年值超过的概率；
（Ⅱ）现从年至年这年中依次随机抽取，每次抽取个年份，若该年的值超过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到值超过的年份. 记抽取的次数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ） 记年至年这年新能源汽车销量数据的方差为，且这年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若关于原点的对称点为，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为,轴于点，直线与轴交于点. 用与分别表示与的面积，证明：.
（20）（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求使得不等式
成立的的最小值.
（21）（本小题15分）
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列.
若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定.
（Ⅰ）已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定：
条件：“已知”；
条件：“已知”.
（Ⅱ） 设条件： “任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为；
（Ⅲ） 设条件： “已知集合或，其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）A（ 2 ）C（ 3 ）D（ 4 ）B （ 5 ）A
（ 6 ）A（ 7 ）B（ 8 ）D（ 9 ）B（10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （答案不唯一） （14）
（15） = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4\* GB3 ④
注：（13）（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题全部选对得5分，有两个选对且无错选得4分，有一个选对且无错选得3分，其他得0分.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）如图，因为，平面，平面，
所以平面. ……………… 3分
O
A
B
C
D
P
Q
x
y
z
又因为平面，平面平面，
所以. ……………… 5分
（Ⅱ）在平面内过点作.
因为平面，
所以平面．
所以，.
又因为，所以两两互相垂直．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． ……………… 7分
由题意，得．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是． ……………… 10分
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为． ……………… 13分
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，
得， ……………… 3分
即. ……………… 5分
由，得. ……………… 7分
所以.
由，得.
所以. ……………… 8分
（Ⅱ）选择条件②：
由，且，得. ……………… 9分
由余弦定理，
得，
解得或（舍）. ……………… 12分
设边上的高为，则三角形面积，
所以. ……………… 14分
选择条件③：
由，且，得. ……………… 9分
由，且，得
所以 ……………… 11分
由正弦定理，得，
所以边上的高. ……………… 14分
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设从年至年这8年中随机抽取年，且该年的值超过为事件，
由图表知，在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过，
所以. ……………… 4分
（Ⅱ）由图表知，在年至年这年中，值超过的有年，
所以随机变量的所有可能取值为. ……………… 5分
则，，． … 8分
所以的分布列为：
故的数学期望． ……………… 10分
（Ⅲ）． ……………… 13分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，得 ……………… 3分
解得，
所以椭圆的方程为. ……………… 5分
（Ⅱ）由题意，设点，则点，.
设直线的方程为，. ……………… 6分
由得.
所以，……………… 8分
故，. … 10分
又因为，
所以，
即，
所以或. ……………… 12分
当时，直线过原点，不符合题意.
当时，直线的方程为，则点坐标为，
所以，.
故. ……………… 15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，得. ……………… 2分
则，
解得. ……………… 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）,知.
当时，，
所以在上单调递增，无减区间； ……………… 4分
当时，令，得， ……………… 5分
若，由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为； …… 7分
若，由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
综上，当时，函数在上单调递增，无减区间；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. ……………… 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间单调递增；
当时，令，得，
此时在区间上，故函数在区间上单调递增， … 10分
所以.
由，得， ……………… 11分
令，则，
由，得或.
当变化时，与的变化情况如下表：
所以在和上单调递增，在上单调递减. ……… 13分
又因为,，且，
所以当时，；当时，.
即当且仅当时，恒成立，
所以使得成立的的最小值为. …………… 15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）数表不能被确定；数表能被确定. ……………… 3分
（Ⅱ）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与，
便可根据，求出该等差数列中的每一项.
故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数. ……………… 5分
一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数，
所以. ……………… 7分
另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知，
于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知，
所以数表中所有的数都能求出，即能被确定.
综上，的最小值为. ……………… 9分
（Ⅲ）当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数. … 10分
当时，已知与中的任意个数，则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数. …… 11分
因为与中至多有两个数在同一行，
所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中.
当时，通过列举可知：余下已知的个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）； ……………… 13分
当时，，
因为在与中至多有两个数在同一列，
所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数.
又因为第行的数均已得到，
所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出，
于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数.
综上，的最小值为. ……………… 15分（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（A），
（B）或，
（C），
（D）或，
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
A
B
（B）
（C）
（D）
（A）无最小值，无最大值
（B）有最小值，无最大值
（C）无最小值，有最大值
（D）有最小值，有最大值
↗
极大值
↘
极小值