安徽省铜陵市枞阳县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份安徽省铜陵市枞阳县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
2. 已知抛物线，下列说法正确是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）

A. B. ，
C. ，D. ，
5. 已知，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ）
A. 400米B. 米C. 米D. 米
7. 如图，四边形中，，若，则等于（ ）
A. 2︰7B. 5︰7C. 3︰7D. 2︰5
8. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若关于的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______．
12. 在中，，，，则______．
13. 如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________．

14. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______．

三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图．
（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）；
（2）以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、）
17. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
18. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；
第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据：，，，，，）
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求与值；
（2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
20. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？

21. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．

（1）求证：；
（2）联结，求证：．
22. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
（1）求该抛物线解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集.安徽枞阳县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）定义即可求出答案.
【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.
故选：B.
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于熟练掌握相关定义.
2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解．
【详解】解：A，，开口向下，原说法错误；
B，对称轴是直线，原说法错误；
C，顶点坐标为，原说法正确；
D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误；
故选C．
3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图象顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
4. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）

A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解．
【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴一元二次方程的解为，．
故选：D．
【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值．
5. 已知，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，用b表示a，再代入求解，即可．
【详解】∵，
∴，
∴==，
故选D．
【点睛】本题主要考查比例的性质和分式的求值，根据条件，用b表示a是解题的关键．
6. 如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ）
A. 400米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案．
【详解】解：点作于点，
，
由题意可得：，，
∴，，
在中，米，
∴米，
米，
∴米，
∵，
∴（米），
故选：B．
7. 如图，四边形中，，若，则等于（ ）
A. 2︰7B. 5︰7C. 3︰7D. 2︰5
【答案】D
【解析】
【分析】过D作交于G，交于H，根据平行四边形的性质先求出，从而得到的长，再根据相似三角形的性质可求出的值．
【详解】解：过D作交于G，交于H．
则，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质定理，属于综合题，有一定难度，注意将分割计算是解答本题的关键．
8. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解．
【详解】解：解：设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解．
9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可．
【详解】解：取格点M，连接，，如图，
根据网格特点，B、C、M共线，
因为每个小正方形的边长均为1，
则由勾股定理得，
，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
故选：C．
10. 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
．
抛物线对称轴是直线，
且．
抛物线与轴交于正半轴，
．
∴
①错误；
故②正确；
直线经过一、二、四象限，
．
当时，则，
，
点的坐标为．
直线当时，，
可得．
③正确；
直线与抛物线的图象有两个交点
，
得，，
由图象知，
，
，
∴④正确．
综上，正确的命题有3个．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若关于的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，一元二次方程有实根的方法即可求解，掌握根与系数的关系求参数的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为： ．
12. 在中，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，角的直角三角形的性质，以及两锐角互余，解题的关键是根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．根据已知得出两种不同的图形，分别作出三角形的高，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图1所示：作，
，，，
，
，
，
，
，
如图2所示：作延长线于点，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值．
【详解】解：作交于，
∵，，
∴，，
则，
∵，
∴，

由三角形外角可知，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，，
∴，整理得：，即：，
∵，
∴，
即：的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键．
14. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
先代入特殊角的三角函数值，然后化简计算即可；
【详解】
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图．
（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）；
（2）以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转：
（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可；
（2）根据旋转方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
17. 如图，在中，点E在延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）25
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键．
（1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似；
（2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积．
小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
18. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；
第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】山坡AB的坡度
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，

在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
∴，
∴山坡的坡度为：．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求与的值；
（2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
【答案】（1）的值为，的值为
（2）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据，构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
解得：，
把代入得：．
，
把代入得：．
的值为，的值为；
【小问2详解】
解：当时，．
，
为轴上的一动点，
．
，
，
，
，
或．
20. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？

【答案】8米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为，A点坐标为，根据顶点坐标设二次函数解析式为，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令，求出x的正值即为铅球投掷的成绩．
【详解】解：如图，建立直角坐标系，

∵铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为米，
∴顶点坐标为，A点坐标为，
∴可设二次函数的解析式为，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
解得：（舍去），
∴小丁此次投掷的成绩是8米．
21. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．

（1）求证：；
（2）联结，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
（1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论；
（2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
．
又，
．
．
，
．
．
【小问2详解】
证明：，，
．
．
又，
．
．
．
22. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在， G点坐标或或或
（3）存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或
【解析】
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
（2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标；
（3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点．
【小问1详解】
解：把、、三点代入抛物线解析式得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
∴，
∵、，
∴，，
分两种情况讨论：
①当时，
∴，即，
∴，
∴或，
②当时，
∴，即，
∴，
∴或，
综上，点的坐标为或或或；
【小问3详解】
解：存在，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴设过点与直线平行的直线为：，
将点代入，得，
解得，，
∴过点与直线平行直线解析式为：，
联立，解得：，，
∵，
∴，
设过点与直线平行的直线为：，
同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：，
联立，解得：，，
∴的坐标为或，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
23. 如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题：
（1）先根据，求出B点的坐标，再把B点的坐标，代入，即可作答．
（2）求出点C坐标，根据一次函数与二次函数的交点坐标，结合图象，即可作答．
【小问1详解】
解：∵直线分别交轴，轴于两点
∴，则
∴
∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点.
∴把和代入
得
解得
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
∵
∴
结合图象，的解集为