安徽省阜阳市太和县北城中学2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

这是一份安徽省阜阳市太和县北城中学2025-2026学年上学期八年级数学期末试题，共29页。
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各选项中的图形，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知等腰三角形的一边长是，则另两边长不可以是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
5. 若分式的值为零，则的取值为（ ）
A. B. C. D. 的值不存在
6. 如图，在中，，点在边上，连接，增加下列条件中的1个：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 对于任意整数，多项式都能（ ）
A. 被6整除B. 被7整除C. 被8整除D. 被9整除
8. 某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ）
A. 甲：B. 乙：C. 丙：D. 丁：
10. 如图，已知，点，分别在，上，且，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 多项式分解因式时，应提取的公因式是____________．
12. 如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______．
13. 如果关于x方程无解，则m的值是_______．
14. 如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）若，则___________；
（2）若为等边三角形，则___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图，在中，，，垂直平分交于点，连接，求度数．
16. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，，相交于点，，于点，于点，且．求证：．
18. 我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ．
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
（1）填空：=__________
（2）填空：= ．
（3）若，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，将绕点旋转，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，过点作交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）求证：点为的中点．
20. 【自主学习】
范例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则
解得：
另一个因式为，的值为．
类比探究】
（1）若二次三项式，可分解为，则 ， ；
（2）若二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值；
创新应用】
（3）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ．
六、（本题满分12分）
21. 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用)
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分．
（1）当为等边三角形时，求的度数；
（2）探究与之间的数量关系，并说明理由．
八、（本题满分14分）
23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值；
（3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）
燃油车
油箱容积：升
油价：元/升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：千瓦时
电价：元/千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：____元
八年级数学
（人教版）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各选项中的图形，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式逐项判断，只有选项A符合运算法则，其他选项均有错误．
详解】解：选项A: ，正确，符合题意；
选项B: ，错误，不符合题意；
选项C: 和不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
选项D: ，错误，不符合题意．
故答案：A．
4. 已知等腰三角形的一边长是，则另两边长不可以是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键．
【详解】解：∵三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴、，不能构成三角形，该选项符合题意；
、，能构成三角形，该选项不符合题意；
、，能构成三角形，该选项不符合题意；
、，能构成三角形，该选项不符合题意；
故选：．
5. 若分式的值为零，则的取值为（ ）
A. B. C. D. 的值不存在
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式为零的条件，根据分式值为零需分子为零且分母不为零列方程求解即可．
【详解】解：∵分式值为零，
∴且，
由得，即或，
当时，，分母为零，分式无意义，
当时，，分母不为零，且分子，
∴满足条件．
故选：C．
6. 如图，在中，，点在边上，连接，增加下列条件中的1个：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定；根据在中，，可得，当添加条件①时，，可得；当添加条件②时，，得，可得；当添加条件③时，由，可得，可得；当添加条件④时，，可得．4个条件都能使．
【详解】解：∵在中，，
∴，

当添加条件①时，∵，，，
∴；
当添加条件②时，∵，
∴，
∵，，
∴；
当添加条件③时，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
当添加条件④时，
∵，，，
∴．
∴能使的条件有4个．
故选：D．
7. 对于任意整数，多项式都能（ ）
A. 被6整除B. 被7整除C. 被8整除D. 被9整除
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的应用．利用平方差公式分解因式，化简后判断整除性即可．
【详解】解：∵
，
∵ 为整数，
∴ 为整数，
∴ 原式能被9整除．
故选：D
8. 某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设购买机器人的数量为x套，根据无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元，列出方程即可．
【详解】解：设购买机器人的数量为x套，则购买无人机的数量为套，根据题意得：
．
故选：B．
9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ）
A. 甲：B. 乙：C. 丙：D. 丁：
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握利用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
甲：利用平方差公式进行因式分解即可；乙：利用完全平方公式进行因式分解即可；丙：有理数范围内不能进行因式分解；丁：利用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意；
B、乙：，故此选项不符合题意；
C、丙：，在有理数范围内不能因式分解，符合题意；
D、丁：，故此选项不符合题意；
故选：C．
10. 如图，已知，点，分别在，上，且，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查动点最值-将军饮马问题，涉及对称性质、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质等知识，熟记动点最值问题-将军饮马题型的解法是解决问题的关键．
作点关于直线的对称点，连接，如图所示，由对称性质得到，，，从而确定，则由两点之间线段最短可知，当点为与的交点时，最小，即的值最小为线段，然后由等边三角形的判定与性质求解即可得到答案．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，如图所示：
由对称性质可得，，，
则，
由两点之间线段最短可知，当点为与的交点时，最小，
即的值最小为线段，
，
，
为等边三角形，
则，
的最小值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 多项式分解因式时，应提取的公因式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的．
根据公因式概念解答即可．
【详解】解：∵，
∴应提取的公因式是．
故答案为：．
12. 如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，过作于点，由角平分线性质可得，然后代入即可求出的面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，
∵是的平分线，，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
13. 如果关于x的方程无解，则m的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解分式方程，根据其无解，得出，即可得到答案．
【详解】方程去分母，得：，
∴，
∵关于x的方程无解，
∴，
∴，
∴
故答案为：2．
14. 如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）若，则___________；
（2）若为等边三角形，则___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案；
（2）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当点在边上时，如图所示：
在等边中，，则由题意可得，
，
在中，，
，
则，解得；
当点在边上时，如图所示：
在等边中，，
，且是的一个外角，
，
即，此情况不存在；
综上所述，若，则，
故答案为：；
（2）解：当点在边上时，连接，如图所示：
在等边中，，则，
不可能为等边三角形，此情况不存在；
当点在边上时，如图所示：
在等边中，，，则由题意可得，
，
若为等边三角形，则，
，解得；
综上所述，若为等边三角形，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，涉及等边三角形性质、含直角三角形性质、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论，数形结合是解决问题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图，在中，，，垂直平分交于点，连接，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】先由垂直平分线性质得到，进而由等边对等角得到，再由外角性质得到，在中，由直角三角形两锐角互余求解即可得到答案．
【详解】解：垂直平分，
，
，
是的一个外角，
，
在中，，则．
【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．
16. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可．
【详解】解：
．
当时，原分式有意义，则原式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，，相交于点，，于点，于点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等判定与性质，涉及垂直定义、平行线的判定等知识，熟记两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
先由垂直定义得到，再判定，进而由全等性质得到，再判定，进而确定，最后由内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
18. 我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ．
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
（1）填空：=__________
（2）填空：= ．
（3）若，求的值．
【答案】（1）16 （2）48
（3）18
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算．
（1）根据①中所给公式直接进行求解即可；
（2）根据②中所给公式直接进行求解即可；
（3）根据题中所给公式直接代值求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
；
故答案为16；
【小问2详解】
解：由题意得：
；
故答案为48；
【小问3详解】
解：由题意得：，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，将绕点旋转，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，过点作交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）求证：点为中点．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得到，则，再由等边对等角得，结合平行线的性质、等边三角形定义即可确定，，即、为等边三角形，再由等边三角形定义即可得证；
（2）由直角三角形两锐角互余及互余定义得到，再由等边对等角、等边三角形性质即可得到，结合中点定义判定即可得证．
【小问1详解】
证明：将绕点旋转得到，
，
，
，
，
，
则是等边三角形，
即，
又
，
则，
是等边三角形，
则，
在等边中，，
；
【小问2详解】
证明：，
，
，
由（1）知，等边中，
，
即点是的中点．
【点睛】本题考查几何证明，涉及旋转性质、全等性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、互余定义、等边对等角、中点定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．
20. 【自主学习】
范例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则
解得：
另一个因式为，的值为．
类比探究】
（1）若二次三项式，可分解为，则 ， ；
（2）若二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值；
【创新应用】
（3）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ．
【答案】（1）；；（2）另一个因式为，的值为3；（3）81
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，同底数幂的除法，掌握待定系数法解题是关键．
（1）先计算，再比较即可得到答案；
（2）设另一个因式为，可得，再建立方程组解题即可；
（3）设另一个因式为，可得，再利用待定系数法可得，再结合同底数幂的除法运算可得答案．
【详解】解：（1）；
，
故答案为：；；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，的值为3，
故答案为：，3；
（3）设另一个因式为，
则
，
，由①得：③，
把③代入②得：，
，
．
故答案为：．
六、（本题满分12分）
21. 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用)
【答案】（1）
（2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低
【解析】
【分析】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可；
（）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解；
本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
解：新能源车的每千米行驶费用为；
【小问2详解】
解：①由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，；
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；
②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得，，
解得，
答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分．
（1）当为等边三角形时，求的度数；
（2）探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）等边三角形的性质，得到，角的和差关系得到，角平分线的定义，推出，等边对等角，求出的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可；
（2）设，三角形的外角得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义求出的度数，即可．
【小问1详解】
解：为等边三角形，
，
又平分，
，
，
，
又
；
【小问2详解】
解：．理由如下：
设，则，
，
，
，
平分，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值；
（3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）
【答案】（1）；；
（2）22 （3）1744
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答；
（2）根据将原式变形求解即可；
（3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可．
【小问1详解】
解：图1中，由图可知，，
由题意得，，即；
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，即．
故答案为：；；
【小问2详解】
解： 由图1可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵长方形的面积是200，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
燃油车
油箱容积：升
油价：元/升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：千瓦时
电价：元/千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：____元