初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）24.1 平面直角坐标系随堂练习题

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Ⅰ、平面直角坐标系的引入
一、平面直角坐标系
回顾：确定直线上一个点的位置的方法，在直线上规定原点、正方向和单位长度，就得到了一条数轴.数轴上的点与实数是一一对应的.所以利用数轴，可以用一个实数来确定直线上一个点的位置.
问题：如何确定平面上一个点的位置?
先来看一个生活中的例子.看电影时根据 电影票上的信息“4排5座”,能确定这个座位在影院放映厅中的位置，这个座位可以用(4,5)表示.事实上，放映厅里每个座位都可以用一个由两个正整数组成的数对来表示.此1.有序数对：不同顺序的数对(4,5)与(5,4)表示的座位不同，像这样的数对叫作有序数对.
2.平面直角坐标系
参照利用数轴确定直线上点的方法，我们在平面上画两条互相垂直且有公共原点的数轴，建立一个直角坐标系.这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为x轴与y 轴.这两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为O. 坐标系记作平面直角坐标系xOy, 如图24-1-2所示.

3.平面上的点与有序数对是一一对应的
有了平面直角坐标系，平面上任意给定的点就可以用一个有序数对来表示了.
①一般地，对于平面直角坐标系中任意给定的一点P, 如图24- 1-4,过 点P作x轴的垂线，垂足为M, 点M在x轴上所对应的数为a; 过点P作y轴的垂线，垂足为N, 点N在y轴上所对应的数为b, 有序数对(a,b) 就表示点P. 这样的有序数对是由点P唯一确定的.
②反过来，任意给定有序数对(a,b), 可在x轴上描出数a所对应的点M, 在y轴上描出数b所对应的点N; 过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，这两条垂线的交点P就表示有序数对(a,b), 这样的点也是唯一确定的.于是，给定平面直角坐标系，平面上的每一个点都有唯一的有序数对与之对应；反过来，对于任意给定的有序数对，平面上都有唯一的点与之对应. 所以，给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的.
二、点的坐标与坐标平面
1.点的坐标；横坐标与纵坐标
问题：在同一平面直角坐标系中，有序数对(a,b) 与(b,a) 表示同一个点吗?
横坐标与纵坐标：在平面直角坐标系xOy中，点P 所对应的有序数对(a,b) 叫作点P的坐标，记作“P(a,b)”, 其中a叫作横坐标，b叫作纵坐标.
2.坐标平面
①建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面(除了坐标轴)按照横坐标 与纵坐标的符号分成四个部分：(正，正)、(负，正)、(负，负)、(正，负),每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限， 如图24-1-5所示.坐标轴上的点不属于任何象限.
注意：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
②坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
③确定横坐标与纵坐标：向x轴作垂线确定横坐标，向y 轴作垂线确定纵坐标.
Ⅰ、简单图形的坐标表达
坐标轴与平行于坐标轴上的点
1.坐标轴上的点
①x轴上的点：在x轴上的点的纵坐标为0;反之，纵坐标为0的点一定在x轴上.
因此，可以把x轴记为直线y=0.
②y轴上的点：在y轴上的点的横坐标为0;反之，横坐标为0的点一定在 y轴上.
因此，可以把y轴记为直线x=0.
2.平行于坐标轴的直线上的点
问题：平行于坐标轴的直线又如何表示呢?为此，我们讨论平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征.
举例：如图24-1-9,经过点 A(2,3) 分别作x 轴的平行线AM 和 y轴的平行线AN, 它们与坐标轴的交点分别是M 、N. 直线AM上的点的坐标有什么特征?直线AN上的点的坐标又有什么特征呢?
过直线AM上任意给定一点作y 轴的垂线，垂足都是M, 所以直线AM 上的点的纵坐标都是3,横坐标可以是任意实数；反之，纵坐标为3的 点一定在直线AM上 . 因此，直线AM 可记为直线y=3.
同理，直线 AN 上的点的横坐标都是2,纵坐标可以是任意实数；反 之，横坐标为2的点一定在直线AN 上 . 因此，直线AN 可记为直线x=2.
①纵坐标等于b 的点：纵坐标等于b的点的全体是经过点A(0,b) 且平行于x 轴的直线，它可记为直线 y=b;
②横坐标等于a的点：横坐标等于a的点的全体是经过点A(a,0) 且平行于y轴的直线，它可记为直线x=a.
二、用坐标来表达图形
在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形.
题型1：有序数对
1．如果用表示七年级一班，那么八年级五班可表示成（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有序数对，解题的关键是根据题意确定有序数对的含义．
根据有序数对的第一个数表示年级，第二个数表示班级解答．
【详解】解：∵表示七年级一班，
∴八年级五班可表示成
故选：C．
2．如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（ ）
A．3排5号B．5排3号C．4排3号D．3排4号
【答案】B
【分析】此题主要考查了有序数对的实际应用．根据“3排1号”记作求解即可．
【详解】解：∵“3排1号”记作，
∴表示5排3号．
故选：B．
3．根据下列表述，能确定一个具体位置的是（ ）
A．某影城1号厅3排B．负一层停车场
C．北纬，东经D．南偏西方向
【答案】C
【分析】本题考查了有序数对确定位置．理解确定位置需要两个数据是解题关键．
根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解．
【详解】解：A仅指定排数未指定座位，B仅指定楼层未指定车位，D仅指定方向未指定距离，均不能确定唯一位置；C提供经纬度坐标，能唯一确定地球上一个点；
故选项C给出的北纬和东经，能唯一确定位置 ；
故选：C．
4．在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查新定义下的位置表示，方向角的识别，理解位置表示规则是解题关键．
根据题意提炼表示规则，对选项依次判断即可．
【详解】解：根据题意可知雷达目标的位置表示规则是：第一个数为距离中心的圈数，第二个数为方向角．
选项：错误，应表示为；
选项：错误，应表示为；
选项：表示正确；
选项：错误，应表示为．
故选：．
题型2：点到坐标轴的距离
5．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为 ．
【答案】
7
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值．
【详解】解：点到轴的距离为，
故答案为：7．
6．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：点到x轴的距离是，
故答案为：．
7．在平面直角坐标系中，点在第 象限，它到轴的距离是 ．
【答案】 三 5
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征以及点到坐标轴的距离的意义是解题的关键．
根据点的横纵坐标符号判断象限，点到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第三象限；
点到轴的距离为．
故答案为：三，5．
题型3：根据点到坐标轴的距离求点的坐标
8．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握轴上的点横坐标为，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
根据点在轴上，可得横坐标为；根据点到轴的距离为，可得纵坐标为．
【详解】解：∵点在轴上，
∴点的横坐标为．
∵点到轴的距离为，
∴点的纵坐标为或．
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
9．在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点到x轴的距离为2，则a的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键．
根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，结合点在第一象限，纵坐标为正，建立方程求解．
【详解】解：∵点到x轴的距离为2
∴．
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
解得．
故答案为6．
10．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，它到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标平面内点的坐标的特征，点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据第四象限点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，即可得解．
【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，
，，
点在第四象限，
横坐标，纵坐标，
，，
点的坐标为．
故选：A．
11．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解．
【详解】解：设点坐标为，
∵点到轴的距离为3，
∴；
∵点到轴的距离为1，
∴；
又∵点P在第二象限，
∴．
∴．
∴点的坐标为．
故选：C．
12．已知点P在轴的右侧，点P到轴的距离为6，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
根据点到坐标轴的距离定义，点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合点P在y轴右侧，横坐标为正，求解即可．
【详解】解：∵点到轴的距离为 6 ，且它到轴的距离是到轴距离的一半，
∴点到轴的距离是 3 ，
∵点在轴右侧，
∴点的横坐标为 3 ，
∵点到轴的距离为 6 ，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为或，
故选：D．
题型4：判断点所在的象限
13．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第四象限即可解答．
【详解】解：，，
点所在的象限是第四象限，
故选：D．
14．下列各点中，在如图所示的阴影区域内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，先确定阴影区域所在的象限，再判断各选项中点所在的象限，从而找出在阴影区域内的点．
【详解】解：∵平面直角坐标系中，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，观察图形可知阴影区域位于第二象限；
A选项的横坐标为正，纵坐标为正，在第一象限，不在阴影区域内；
B选项的横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限，在阴影区域内；
C选项的横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限，不在阴影区域内；
D选项的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，不在阴影区域内；
故选：B．
15．下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系象限的定义，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正．根据坐标点的位置特征逐一判断即可．
【详解】解：∵第二象限的点需满足且，
∴选项B：中，，，符合条件；
选项A：中，，，位于第一象限；
选项C：中，，，位于第三象限；
选项D：中，，，位于第四象限．
因此，只有选项B位于第二象限．
故选：B．
16．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查坐标系中各象限点的特征；根据点的横纵坐标符号判断所在象限，第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负.
【详解】解：∵，
∴，即横坐标为正，纵坐标，
∴点在第四象限.
故选：D.
17．若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可．
【详解】解：点的坐标为 ．
第一象限要求且，即且，解得，有解；
第二象限要求且，即且，解得，有解；
第三象限要求且，即且，即且，无解；
第四象限要求且，即且，解得，有解．
点不可能在第三象限．
故选：C．
18．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了判断点所在象限，根据轴上点的纵坐标为，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴点的坐标为，即，
∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第二象限．
故选：B．
19．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，
∴点的横坐标，纵坐标，
∴点N在第三象限，
故选：C．
题型5：根据点所在的位置求参数的值或取值范围
20．若点在第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，点位于第三象限时，横坐标和纵坐标均为负数，已知纵坐标为，只需横坐标，求解即可．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴横坐标，纵坐标（已满足），
∴，
解得，
故选A．
21．已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（ ）
A．B．或2C．2D．6或
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，掌握平面直角坐标系象限角平分线上的点的坐标规律是解题的关键．
根据第二、四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上，
，解得．
故选：A．
题型6：坐标轴上的点、特殊平行线上的点及其应用
22．已知点P的坐标为，若点在y轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标特征，熟练掌握点在轴上的坐标特征是解题的关键．
根据点在轴上的坐标特征，横坐标为0，建立方程求解即可．
【详解】解：点在轴上，
则横坐标，
解得，
故答案为：．
23．经过点，，则直线的可表示为
【答案】/
【分析】本题考查直线方程的表示方法，特别是当两点纵坐标相等时，直线为水平直线，方程形式为（常数）．解题的关键是掌握特殊位置直线的特征（如水平、垂直）有助于快速解题，避免使用两点式或点斜式等复杂计算．题目给出直线上的两个点和，要求写出直线的方程．观察两点的纵坐标相同，说明该直线是水平直线，即平行于轴，其方程形式为常数．因此只需根据点的坐标确定常数值即可．
【详解】点和 的纵坐标均为，因此直线 平行于轴，故直线可表示.
故答案为：
24．已知点，，若轴，且线段的长为8，则 ．
【答案】12或
【分析】本题考查了点的坐标，由平行于x轴，得点A与点B纵坐标相等，即；再由线段的长为8，得，求解即可．
【详解】解：∵轴，且，，
∴．
∵线段的长为8，
∴
∴或．
解得或．
故答案为：12或．
25．已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，掌握平行于轴的直线上点的横坐标相等是解题关键．根据平行于轴的直线上点的横坐标相等，列方程求解．
【详解】解：直线轴，
点和点的横坐标相等，
，，
，解得，
，
点的坐标为．
故答案为：．
26．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则 ．
【答案】
或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平行于y轴的直线的特点，两点之间距离的计算是关键．
由与y轴平行可得点P和点Q横坐标相等，即；再根据，利用两点间距离公式求出n的值，进而计算．
【详解】解：∵点，点，且轴，
∴；
又∵，
∴，即，
∴或，
解得或；
当时，；
当时，；
故答案为：或．
题型7：确定平面直角坐标系
27．如图，小晨将一片树叶放在平面直角坐标系中，已知点，，则叶柄底部点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系，点的坐标与位置，掌握相关知识是解决问题的．根据，可建立平面直角坐标系，进而确定C的坐标．
【详解】解：∵点，，
∴可建立如图所示的平面直角坐标系：
∴．
故答案为：．
28．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则“善”字的笔画“”下端所在的位置点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，掌握根据点的位置得到点的坐标是解题的关键．
根据点Q的坐标找到坐标原点，再根据点C的位置得到点的坐标．
【详解】解：根据题意，可知点N为坐标轴原点
点C的坐标为．
故答案为：．
29．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为广泛流行的益智游戏．如图，这是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帅”的点的坐标分别为，，则表示棋子“车”的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的平移；棋子“车”可由棋子“帅”先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，根据“帅”的坐标即可求出“车”的坐标．
【详解】解：∵棋子“车”可由棋子“帅”先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
又∵“帅”的点的坐标，
∴棋子“车”的点的坐标．
故答案为：．
题型8：用坐标表达图形
30．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标可得轴，再由长方形对边平行且相等得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴轴，
∵长方形对边平行且相等，
∴，
∴轴，
∴，即，
故选：D．
31．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【详解】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，点A的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴B点的坐标是．
故选：B．
32．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识点，灵活运用全等三角形解决坐标问题是解题的关键．过点A、点B分别作、垂直于x轴，先证明得到、，进而得求点A的坐标即可解答．
【详解】解：如图：过点A、点B分别作、垂直于x轴，
∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，
∴，，即：，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故选：B．
题型9：用坐标表达图形的应用
33．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（ ）
A．22B．23C．24D．25
【答案】C
【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∵，，，，
∴，，，，，
∴四边形的面积是．
故选：C
34．如图，已知点，，，则的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．
如图，作矩形，根据，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，作矩形，
则
．
故答案为：．
35．在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形面积的计算，利用点的坐标求三角形面积是解题关键，设点的坐标为，则，根据题意可得，即，解之即可得到答案．
【详解】解：设点的坐标为，
，
，
与的面积相等，
，
，
或，
点的坐标为或．
故答案为：或．
36．在平面直角坐标系中，已知点，点，三角形的面积为15，点C到x轴的距离为2，点C的坐标是 ．
【答案】，，，
【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握坐标特点及其应用．
根据点的坐标特点，根据三角形的面积为，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
设的高为，
∴，
，
∴
∴点的横坐标为：或，
∵点到轴的距离为，
∴点的纵坐标为：或，
∴点坐标为，，，，
故答案为：，，，．
37．在直角坐标系内，已知点的坐标是，点在坐标轴上，是等腰三角形，则点的可能位置有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．分别以O、A为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，以点O为圆心，以为半径画圆，交坐标轴于4点，当点B在这4个点时，是等腰三角形；
以点A为圆心，以长为半径作圆，交坐标轴于2点，当点B在这2个点时，是等腰三角形；
作线段的垂直平分线，交坐标轴于2点，当点B在这2个点时，是等腰三角形；
综上分析可知：满足条件的点B有（个），
故选：C．
题型10：解答题
38．下图是一个动物园游览示意图，以南门为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向．
(1)请按要求建立平面直角坐标系．
(2)写出图中动物园四个游览位置的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)马，狮子，飞禽，两栖动物
【分析】此题主要考查平面直角坐标系中点坐标的相关知识，正确的建立坐标系是解答的关键．
（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；
（2）再根据平面直角坐标系直接写出四个景点位置的坐标即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：由平面直角坐标系可得，
马，狮子，飞禽，两栖动物．
39．小敏和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景点地图（如下图所示）．可是她忘记了在图中标出原点O，x轴和y轴，只知道游乐园D和湖心亭B的坐标分别为，．请你帮小敏画出平面直角坐标系并写出其他各景点的坐标．
【答案】见解析，音乐台，望春亭，牡丹园，孔桥
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立与点的坐标确定，掌握通过已知点坐标确定原点位置，结合网格确定单位长度，进而写出其他点坐标是解题的关键．
先利用已知的游乐园和湖心亭的坐标，结合网格确定单位长度，找到原点的位置，从而建立平面直角坐标系；再根据各点相对于原点的位置，写出其他景点的坐标．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示．
音乐台，望春亭，牡丹园，孔桥．
40．已知，点为平面直角坐标系内一点．
(1)若点P在x轴上，求m的值；
(2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了坐标性质，熟练掌握坐标系性质是解题关键；
（1）根据轴上点的纵坐标为0，即可解决问题．
（2）根据题意建立关于的等式，求出的值即可解决问题．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
；
（2）解：点的横坐标比纵坐标大3，
，
解得，
，，
点坐标为．
41．三角形在平面直角坐标系的位置如图．将三角形向右平移4个单位长度得到三角形，点，，，分别为，，的对应点．
(1)画出三角形；
(2)直接写出点，，的坐标．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系中的点，以及求网格三角形面积．
（1）将A、B、C分别向右平移4个单位长度得到，并连接即可；
（2）由坐标系直接求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：将A、B、C分别向右平移4个单位长度得到，并连接，作图如下：
（2）解：点，，的坐标分别为，，．
（3）解：的面积
42．如图所示，在平面直角坐标系中，已知．
(1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积；
(2)已知P为y轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)作图见详解，
(2)或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的特点是关键．
（1）描点，连线得到，运用格点求三角形面积即可；
（2）根据题意得到，由两点之间距离即可求解．
【详解】（1）解：描点，连线，如图所示，
∴即为所求图形，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，，
∴或．
43．已知：在平面直角坐标系中，点的坐标为
(1)若点在轴上，求的值；并直接写出点能否为原点．
(2)若轴，并且点的坐标为．
①求点的坐标；
②求线段的长．
【答案】(1)，不能
(2)①；②
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键．
（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；根据横，纵坐标，即可判断点M不能为原点；
（2）①根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案；
②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可．
【详解】（1）解：∵点M在x轴上，
∴点的纵坐标为0，
即．
解得；
当，；当，，
∴点M不能为原点；
（2）解：∵轴，
∴点M和点N的纵坐标相等．
即．
解得．
∴点M的坐标为；
∵点N的坐标为，点M的坐标为，
∴．
44．在平面直角坐标系中，有，，三点．
(1)当点在轴上时，则的值为______；
(2)当轴时，求，两点间的距离；
(3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用轴上点的坐标特征得到，即可求出的值；
（2）先根据与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出的值后得到点、的坐标，即可求出点、之间的距离；
（3）由面积关系可列等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在轴上，且，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵轴，且，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
即，两点间的距离为；
（3）设点，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴或，
解得或，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，三角形面积公式等知识点，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
45．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．
(1)的“长距”为____________；的“长距”为____________．
(2)若是“完美点”，求的值；
(3)若的长距为5，且在第三象限内，的坐标为，试说明：点是“完美点”．
【答案】(1)4；3
(2)2或3
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键；
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义可得，求出答案；
（3）先根据的“长距”是5，求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可．
【详解】（1）解：∵点A到x轴的距离数4，到y轴的距离是2，
∴点的“长距”为4；
∵点B到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴的“长距”为3
故答案为：4；3
（2）解：∵是“完美点”，
∴，
解得：或2；
（3）解：∵的长距为5，且在第三象限内，
∴，
解得：，
∵的坐标为，
∴点D坐标为，
∴点D到x轴和y轴距离均为8，即点D到x轴和y轴距离相等，
故点D是“完美点”．
一、单选题
1．根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．万达影城3号厅2排B．经十路中段
C．南偏东D．东经，北纬
【答案】D
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、万达影城影城3号厅2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、经十路中段，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C、南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
2．某校七（1）班里的3排2列，记作，则6排5列可记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中规定的意义写出一对有序实数对．
【详解】解：∵七（1）班里的3排2列，记作，
∴6排5列记作．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中，有序实数对与点一一对应；记住平面直角坐标系中特殊位置的点的坐标特征．
3．点的坐标为，那么点到轴和轴的距离依次是（ ）
A．B．C．3，2D．2，3
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点到轴和轴的距离依次是3，2
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
4．下列命题不正确的是（ ）
A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同
B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点
C．若点在y轴上，则
D．到x轴的距离为3
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特点，点到坐标轴的距离求解即可．
【详解】解：A．平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相同，正确，不符合题意；
B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点，正确，不符合题意；
C．点P（a，b）在y轴上，则a＝0，正确，不符合题意；
D．点P（，4），则P到x轴的距离为|4|＝4，选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，点到坐标轴的距离等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．已知点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】直接利用第二象限内的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，
点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是点的坐标，解答本题的关键是明确点到轴的距离是这点的纵坐标的绝对值，到轴的距离是这点的横坐标的绝对值．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．点一定在第二象限
B．点到y轴的距离为2
C．若中，则P点在x轴上
D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上
【答案】C
【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、因为−a2−1＜0，|b|＋1＞0，所以点A（−a2−1，|b|＋1）一定在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意．
B、点P（−2，3）到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意；
C、若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意；
D、若x＋y＝0，则x、y互为相反数，点P（x，y）一定在第二、四象限角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
二、填空题
7．点在轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，根据x轴上点的纵坐标为0，列出方程求解即可．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得．
故答案为：．
8．若点在第四象限，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据第四象限点的特征，得到关于的不等式组，解不等式组，即可求解，
本题考查了，坐标系内点的特征，解不等式组，解题的关键是：熟练掌握各象限内点的特征．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
9．已知点和点，若点在坐标轴上，且的面积为6，则点的坐标是
【答案】（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）
【分析】分点C在x轴上，在y轴上两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当点C在x轴上时，
∵△ABC的面积为6，
∴，
∴AC=4，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为（-2，0）或（6，0）；
当点C在y轴上时，
∵△ABC的面积为6，
∴，
∴BC=6，
∵点A的坐标为（0，3），
∴点C的坐标为（0，9）或（0，-3）；
综上所述，点C的坐标为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3），
故答案为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
10．在平面直角坐标系内，点一定不在第 象限．
【答案】三
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的坐标符号判断象限，分析m的取值范围，发现不存在m使得横纵坐标同时为负，即可得出结论．
【详解】解：当时，则，此时点在第四象限；
当时，则；故当时，此时点在第一象限，当时，此时点在第二象限；
不存在时，，即点一定不在第三象限；
故答案为：三．
11．如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的坐标为，
，轴，
．
故答案为．
12．如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】∵，
∴，，
①如图，此时，
∴，
∴；
②如图，此时，
∴，
∴；
故答案为：或．
三、解答题
13．如图是游乐园的一角．
(1)如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对___________表示，碰碰车用数对___________表示，摩天轮用数对___________表示．
(2)请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了用有序实数对表示位置，数形结合是解题的关键．
（1）在数对中前面的数表示列，后面的数表示行；
（2）因每个格子表示米，所以秋千的位置是．
【详解】（1）解：如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对表示，碰碰车用数对表示，摩天轮用数对表示；
故答案为：；
（2）
14．在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件，求出M点的坐标．
(1)点M在y轴上；
(2)点M到x轴的距离为1；
(3)点N的坐标为，且轴．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】（1）点在y轴上，令横坐标等于零即可求解；
（2）点到x轴的距离为1，则即可求解；
（3）轴，则点M、N两点纵坐标相等求解即可．
【详解】（1）∵点在y轴上，
∴，即，
∴．
（2）∵点到轴的距离为1，
∴，
解得或．
点的坐标为或．
（3）∵点，点且轴，
∴．
解得．
故点的坐标为．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及平面直角坐标系中点到两坐标轴的距离，平行于x轴或者y轴时点的坐标特征，理解题意，熟悉相关知识是解决问题的关键．
15．如图，点为我国领海某海上雷达站．该雷达能够侦察的海面最远距离为60海里．
(1)以O点为观测点，写出图中被侦察点的位置是 ．
(2)如果规定向东为正，向西为负，向北为正，向南为负．B点的位置用数对表示为．一艘游轮行驶到点的位置，请用数对表示出点E的位置为 ，雷达站是否能够侦察到这艘游轮的位置？为什么？请说明理由．
(3)点与点关于直线（横轴）对称，请你在图中标出点．驱逐舰从点出发向南行驶，必须在小时内到达点，速度至少是多少？
【答案】(1)点A在东偏北方向50海里的位置
(2)，雷达站不能够侦察到这艘游轮的位置，理由见解析
(3)速度至少是海里/小时．
【分析】本题主要考查了根据方向和距离确定物体的位置、数对与位置、行程问题、不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以O点的位置为观测点，点A在北偏东方向50海里的位置；
（2）根据点B的表示方法表示出点E的位置；先求得，再与雷达能够侦察的海面最远距离为60海里比较即可解答；
（3）根据轴对称的性质确定点D的位置，易得、，则；设驱逐舰的速度为v，再根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：
点A在北偏东方向50海里的位置．
（2）解：如果规定向东为正，向西为负，向北为正，向南为负，B点的位置用数对表示为．用数对表示E点的位置为．
∴，
雷达站不能够侦察到这艘游轮的位置，理由如下：
∵，
∴雷达站不能够侦察到这艘游轮的位置．
（3）解：如图：点D的位置如图所示，即，．
∴，
设驱逐舰的速度为v，
由题意可得：，解得：，
所以速度至少是海里/小时．
16．在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中为常数，则称点与点互为“阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”．
(1)下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有_________（填序号）；
① ② ③ ④
(2)点和点互为“0阶和谐点”，则____________
(3)若点与点互为“阶和谐点”，点到坐标轴的距离相等，求的值；
【答案】(1)①③
(2)
(3)或33
【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，一元一次方程的其他应用，新定义，熟练掌握直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键；
（1）根据“8阶和谐点”可依次进行排除；
（2）结合“0阶和谐点”进行列式计算，即可作答．
（3）根据题意易得，然后得出m的值，进而根据“a阶和谐点”可进行求解；
【详解】（1）解：①∵，，
∴，故符合题意；
②∵，，
∴，故不符合题意；
③∵，，
∴，故符合题意；
④∵，，
∴，故不符合题意；
故答案为①③；
（2）解：∵点和点互为“0阶和谐点”，
∴，
解得；
（3）解：∵，且点P到坐标轴的距离相等，
∴，
解得：或，
∴或，
当，时，则有；
当，时，则有；
∴综上所述：a的值为33或；