2026高考总复习优化设计二轮用书数学课件_第7讲　导数与函数的零点(含解析)

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考点一　判断函数零点的个数
考点二　根据函数零点的个数求参数的取值范围
目 录 索 引
判断函数零点个数的方法1.利用函数单调性和零点存在定理(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.
2.利用数形结合函数的零点个数即函数图象与x轴交点的个数,因此借助数形结合思想,可通过函数图象判断函数的零点个数.(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况,并结合函数值的正负情况及变化趋势,作出函数f(x)的大致图象,然后根据图象判断零点个数.(2)若函数f(x)的图象不易直接作出,可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根,再将方程进行变形,转化为两个函数的图象交点问题,从而判断函数的零点个数.
(多选题)(2022新高考Ⅰ卷,10)已知函数f(x)=x3-x+1,则(　　)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
∵f(x)+f(-x)=2,∴点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心.由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;曲线y=f(x)在点(-1,1)处的切线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直线y=2x与曲线y=f(x)不相切.故选AC.
例1　(2025广东珠海模拟)已知函数f(x)=ax-ln x-2.(1)当a≤0时,讨论f(x)的零点个数;(2)当a=1时,证明:f(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点.
【对点训练1】(2025山东临沂模拟)已知函数f(x)=x2ln x-ax2+a,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最值;(2)讨论f(x)的零点个数.
已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法
1.(2023全国乙,文8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(　　)A.(-∞,-2)B.(-∞,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)
例2　(2022全国乙,理21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.
当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,所以当x>0时,g(x)>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,不符合题意,舍去.若a0,当x>1时,g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)