山东省青岛市国开中学2025-2026学年九年级下学期期初 数学试题

这是一份山东省青岛市国开中学2025-2026学年九年级下学期期初 数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数中是无理数的为（ ）
A. B. 2C. D. 0.9
2.中国青岛作为北方第三大经济城市，某年第四季度财政收入为41.76亿元，将数据“41.76亿”用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为（ ）
A. 41×108B. 4.1×109C. 4.2×109D. 41.7×108
3.如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列计算正确的是（ ）
A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a6
C. 2n-2n-1=2n-1（n≥2）D. a3÷a4=a（a≠0）
5.《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）.意思是，现有一根长木，不知道其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A. x+4.5=2（x-1）B. x+4.5=2（x+1）C. x-4.5=2（x+1）D. x-4.5=2（x-1）
6.如图，在△ABC中，∠A=70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（ ）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 55°
7.如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A'B'C'，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a,b），那么它的对应点P′的坐标为（ ）
A. （a-3，b）
B. （a+3，0）
C. （3-a,-b）
D. （a-3，-b）
8.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（ ）
A. 5
B. 3
C.
D.
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ）
①abc＞0；
②b2-4ac＜0；
③4a-2b+c＜0；
④2b+c＜0；
⑤若（x1，y1）和（x2，y2）是这条抛物线上的两点，则当时，y1＜y2
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.近几年，青岛汽车产业已经崛起为青岛工业当中第一大产业，2024年全市预计整车产能约125万辆.如图是4种常见的汽车轮胎的样式，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：-2sin45°= ．
12.若一组数据a1，a2，…，an的平均数为4，方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是 ， .
13.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍．若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为 ．
14.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 .
15.数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 .
16.如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD上，DE=1cm,作EF∥BC，分别交AC，AB于点G、F，M，N分别是AG，BE的中点，则下列5个结论中：
①点F、N、C共线；②；​③AC⊥BE；④△MNC的面积为；⑤∠MEB=45°.正确的是 （填写所有正确结论的序号）.
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
已知：如图△ABC（AB＞AC）．求作：△PAB，使得PA=PB，且∠C=∠APB．
18.(本小题10分)
（1）化简：（a-）÷
（2）求不等式组的整数解．
19.(本小题8分)
如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势.图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度i=0.75的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮AB的高度.（结
果保留整数）（参考数据：sin24°≈0.4，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
20.(本小题10分)
为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用.经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低0.4万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同.
（1）求A，B两种健身器材每套的售价分别为多少万元？
（2）经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.2万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折，若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？
21.(本小题10分)
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC=CD，∠A=30°.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积.
23.(本小题10分)
如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE=CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG=2时，DE=______．
24.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段MN从AC出发沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s,交AB于点E，交DA延长线于点M；连接PN交AC于点Q，连接EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）.解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形PNCD为矩形？
（2）设四边形AENP的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t,使EQ平分∠AEN？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】BC
11.【答案】
12.【答案】11
12

13.【答案】=+
14.【答案】k＜1且k≠0
15.【答案】
16.【答案】①②④⑤
17.【答案】解：如图，△PAB和△P′AB为所作．

18.【答案】解：（1）原式=​​​​​​​
=
=．
（2），
由①得：x≥-3，
由②得：x＜，
∴该不等式组的解集为：-3≤x＜，
不等式组的整数解为-3，-2，-1,0，1,2.
19.【答案】解：如图，作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N，
则MN=BC=40m，BM=CN，
在RtCDN中，i==0.75=，
∴设CN=3xm（x＞0），则DN=4xm，
∴CD==5x=20，
解得：x=4，
∴CN=12m，DN=16m，
∴BM=12m，EM=MN+DN+DE=40+16+122=178(m)，
在RtAEM中，tan24°=≈0.45，
∴≈0.45，
∴AB=178×0.45-12≈68（m），
答：摩天轮AB的高度约为68m.
20.【答案】解：（1）设A种健身器材每套的售价为x万元，则B种健身器材每套的售价为（x+0.4）万元，
由题意得：=，
解得：x=1.6，
经检验，x=1.6是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.4=1.6+0.4=2，
答：A种健身器材每套的售价为1.6万元，B种健身器材每套的售价为2万元；
（2）设学校购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材（80-m）套，
由题意得：80-m≥2m,
解得：m≤26，
∵m为正整数，
∴m的最大值为26，
设总费用为w万元，
由题意得：w=（1.6-0.2）m+2×0.75（80-m）=-0.1m+120，
∵-0.1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=26时，w有最小值，
此时，80-m=80-26=54，
答：学校购买A型健身器材26套，B型健身器材54套才能使总费用最少．
21.【答案】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%=50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为50-（4+15+18+3）=10（名），
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×=600（名）；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为=．
22.【答案】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵AC=CD，
∴∠ADC=∠OAC=30°，
在△ACD 中，由三角形内角和得：
∠OCD=180°-∠CAD-∠ACO-∠ADC=180°-30°-30°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得 OC⊥CD，
∴△OCD 为直角三角形，
∵OC=4，∠ADC=30°，
∴OD=8，，∠COD=60°，
∴BD=OD-OB=8-4=4，
∵BE⊥ED，∠ADC=30°，
∴BE=2，，
S阴影=S△OCD-S△BED-S酶形OBC
=
=，
∴图中阴影部分的面积为．
23.【答案】解：（1）证明：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FBC=90°，
∵BE⊥CF于点O，
∴∠BOC=90°，
∴∠ABE=90°-∠OBC=∠BCF，
∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF．
（2）①如图②，作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，
则∠OMD=∠OND=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MDN=∠A=∠BCD=90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵PE⊥CF于点O，
∴∠COE=90°，
∴∠CON=∠EOM=90°-∠EON，
∵∠ONC=∠OME=90°，
∴△ONC∽△OME，
∴，
∵∠OND=∠BCD，
∴ON∥BC，
∴△DON∽△DBC，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∵BC=AD=6，AB=CD=8，
∴；
②
24.【答案】解：（1）由题意得：AP=t cm,CN=2t cm,
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=8cm,∠ADC=∠ACD=90°．
∴PD=AD-AP=（8-t）cm,
∴当PD=CN时，四边形PNCD为矩形，
∴8-t=2t,
∴t=．
∴当t=s时，四边形PNCD为矩形；
（2）由题意得：AM=CN=2t cm,AP=t cm,
∴BN=BC-CN=（8-2t）cm,
∵AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°，
∴AC==10（cm）．
∵AD∥BC，
∴△AME∽△BNE，
∴，
∴，
∴BE=6-t.
∵S四边形AENP=S梯形ABNP-S△BEN，
∴y=（AP+BN）•AB-BN•BE
=（t+8-2t）×6-（8-2t）（6-t）
=+9t.
∴y与t的函数关系式为y=+9t.
（3）存在时刻t=s,使EQ平分∠AEN，理由：
过点A作AF⊥MN于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，QH⊥MN于点H，如图，
由题意得：AM=CN=2t cm,AP=t cm,
∴BN=BC-CN=（8-2t）cm,
∵AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°，
∴AC==10（cm）．
由题意得：四边形AMNC为平行四边形，
∴MN=AC=10cm,MN∥AC．
∵AF⊥MN，QH⊥MN，
∴AF=QH．
∵EQ平分∠AEN，QG⊥AB，QH⊥MN，
∴QG=QH．
∵AD∥BC，
∴△APQ∽△CNQ，
∴=．
∴．
∵QG⊥AB，CB⊥AB，
∴QG∥BC，
∴△AQG∽△ACB，
∴，
∴，
∴QG=，
∴AF=QG=．
∵MN∥AC，
∴∠M=∠DAC，
∵sin∠DAC=，
∴sin∠M=．
∵sin∠M=，
∴，
∴，
∴t=．
∴存在时刻t=s,使EQ平分∠AEN．
甲
乙
丙
丁
甲
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（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
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（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
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（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
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