吉林白山市2026届高三下学期二模数学试题含答案

这是一份吉林白山市2026届高三下学期二模数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了 已知双曲线 C， 已知抛物线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将条形码粘贴在答照卡相应位置, 并且把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 答非选择题时, 将答案写在答题卡相应位置上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 只上交答题卡, 试卷不回收.
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A={2,3,a2−2a−3},B={0,3},C={2,a} ,若 A∪B=A,A∩C={2} ,则 a= ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
2. 已知函数 fx=x2+4x,x≥04x−x2,xfa ,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. −∞,2 B. 2,+∞
C. −∞,−2 D. −2,+∞
3. 甲、乙等 6 人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排 3 人(如图所示)，其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有( )

A. 144 种 B. 168 种 C. 192 种 D. 216 种
4. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,过左焦点 F 作斜率为 12 的直线与双曲线的一条渐近线相交于点 A ,且 A 在第一象限,若 OA=OF ( O 为坐标原点),则双曲线 C 的渐近线方程为( )
A. y=±34x B. y=±43x C. y=±23x D. y=±32x
5. 若复数 z=i+i2+i3+…+i2026 (其中 i 为虚数单位),则 z 的共轭复数的虚部是( )
A. 1 B. -1 C. i D. −i
6. 已知 m>0,n>0 ,直线 y=xe+m+1 与曲线 y=lnx−n+3 相切,则 1m+9n 的最小值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 9 D. 8
7. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，动点 M 在 C 上，点 B 与点 A1,−2 关于直线 l:y=x−1 对称,则 MFMB 的最小值为 ( )
A. 22 B. 12 C. 33 D. 13
8. 函数 fx=alnx−2lnxx+2bx−ab ,若 fx≥0 恒成立，则 ab+1 的取值范围是( )
A. (−∞,e] B. (0,2e] C. [2,+∞) D. (−∞,2]
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列,前 n 项和为 Sn ,满足 a1+5a3=S8 ,下列选项正确的有( )
A. a10=0 B. S7=S12
C. S10 最小 D. S20=0
10. 已知复数 z 满足 z+1+z−1=4 ,则下列说法正确的是 ( )
A. z≤2 B. z−1≥1
C. 若 z∈R ,则 z=2 D. 若 z2∈R ,则 z=2
11. 设函数 fx=sinπxx2−x+1 ,则( )
A. fx≤43 B. fx≤5x
C. 曲线 y=fx 存在对称轴 D. 曲线 y=fx 存在对称中心
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 将答案填在答题卡相应的
位置上.
12. 1−2x7 展开式的第 4 项的二项式系数是_____. (用数字作答)
13. 已知平面向量 a=x,1,b=−2,2x,a+b 在 a 方向上的投影向量模长为 2 ，则 a= _____.
14. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在正方体的内切球表面上运动,且满足 D1P// 平面 A1BC1 ,则 AP 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表:
(1)能否有 95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？
(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取 8 名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛. 现从 8 名选手中选 3 人，用 AI 监测他们的比赛数据.
① 求两个赛区都有人被选中的概率；
②用 X 表示被选 3 人中“喜欢用无缝球”的人数，求 X 的分布列和期望.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,
16. 如图,在平面四边形 ABCD 中, A=π3,E 在边 AB 上, BE=3,AE=CE ,
DE⊥CE,△BEC 的面积为 332 ,记 ∠BEC=θ00 的焦距为 2,且过点 1,32 .
(1)求 C 的标准方程；
(2)过点 N1,32 作两条斜率存在且不为零的直线 l1,l2 分别交 C 于 P,Q 和 S,T ，满足
NPNQ=NSNT.
(i) 证明: l1,l2 的斜率之和为定值;
(ii) 求四边形 PSQT 面积的最大值.
1.
略
2. A
解: 当 x≥0 时, fx=x2+4x ,其对称轴为 x=−2 且函数图像开口向上,所以 fx=x2+4x 在 [0,+∞) 上为增函数,且 fx≥f0=0
当 xa ,解得 a0 ,由 x=my−1y2=4x 消去 x 得 y2−4my+4=0 ,
则 Δ=16m2−16=0 ,得 m=1 ,直线 MB 的斜率为 1,倾斜角为 π4 ,
于是 θmax=π4, csθmin=22 ,所以 MFMB 的最小值为 22 .
故选: A
8. D
由题设 fx=ax−2lnx−bx≥0 在 0,+∞ 上恒成立,
知 a>0 ,此时 y=ax−2,y=lnx−b 在 0,+∞ 上都单调递增,
所以只需 y=ax−2,y=lnx−b 在 0,+∞ 上的零点相同,
即 2a=eb ,所以 ab+1=2b+1eb ,
令 gx=2x+1ex ,则 g′x=−2xex ,
当 x0 ,即 gx 在 −∞,0 上单调递增,
当 x>0 时, g′x0,an 是单调递增数列, a10=0 ,
所以当 n0 ,所以 S9 或 S10 最小;
当 d10 时 an0 恒成立,
则 gx 在 R 上递增,又 g0=0 ,
所以当 x0 ;
作出 sinπx 和 5x3−5x2+5x 的图象如图所示:

由图象可知 sinπx≤5x3−5x2+5x 成立,即 fx≤5x ,选项 B 正确;
对于 D 选项,若存在一点 a,b 使得 fx 关于点 a,b 对称,则 fa−x+fa+x=2b , 通过分析发现 fa−x+fa+x 不可能为常数,故选项 D 错误.
故选: ABC.
12.
略
13.
略
14. 66
由题意得,正方体内切球的球心为正方体的中心,记为点 O ,内切球半径 r=12 .
∵AD1//BC1,AD1⊄ 平面 A1BC1,BC1⊂ 平面 A1BC1 ,
∴AD1// 平面 A1BC1 ,同理可得 AC// 平面 A1BC1 ,
∵AD1,AC⊂ 平面 D1AC,AD1∩AC=A,∴ 平面 DAC// 平面 A1BC1 ,
∵D1P// 平面 A1BC1,∴D1P⊂ 平面 D1AC ,故点 P 的轨迹是平面 D1AC 与正方体内切球的交线, 此交线为圆,记圆心为 O1 .

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,则 A1,0,0,C0,1,0,D10,0,1,O12,12,12 , ∴AC=−1,1,0,AD1=−1,0,1,AO=−12,12,12 .
设平面 D1AC 的法向量为 n=x,y,z ,则 AC⋅n=−x+y=0AD1⋅n=−x+z=0 ,
令 x=1 ,则 y=z=1 ,故 n=1,1,1 ,
∴ 点 O 到平面 D1AC 的距离为 d=AO⋅nn=123=36 ,
∴ 圆 O1 的半径为 r1=r2−d2=122−362=66 ,

由 AO=−12,12,12 得, AO=−122+122+122=32 ,
∴AO1=AO2−d2=322−362=63 ,
∴AP 的最小值为 AO1−r1=63−66=66 .
故答案为: 66 .
15. 略
16. 略
17. 略
18.(1)(1)由题可知， X1 的可能取值为 0，1，2. 由相互独立事件概率乘法公式可知:
PX1=0=13×23=29;PX1=1=13×13+23×23=59;PX1=2=23×13=29,
故 X1 的分布列如下表:
(2)由全概率公式可知:
PXn+1=1
=PXn=1⋅PXn+1=1∣Xn=1+PXn=2⋅PXn+1=1∣Xn=2
+PXn=0⋅PXn+1=1∣Xn=0
=13×13+23×23PXn=1+23×1PXn=2+1×23PXn=0
=59PXn=1+23PXn=2+23PXn=0,
即: an+1=59an+23bn+231−an−bn ,
所以 an+1=−19an+23 ,
所以 an+1−35=−19an−35 ,
又 a1=PX1=1=59 ,
所以，数列 an−35 为以 a1−35=−245 为首项，以 −19 为公比的等比数列，
所以 an−35=−245⋅−19n−1=25⋅−19n ,
即: an=35+25⋅−19n .
(3)由全概率公式可得:
PXn+1=2
=PXn=1⋅PXn+1=2∣Xn=1+PXn=2⋅PXn+1=2∣Xn=2
+PXn=0⋅PXn+1=2∣Xn=0
=23×13⋅PXn=1+13×1⋅PXn=2+0⋅PXn=0,
即: bn+1=29an+13bn ,
又 an=35+25⋅−19n ,
所以 bn+1=13bn+2935+25−19n ,
所以 bn+1−15+15−19n+1=13bn−15+15−19n ,
又 b1=PX1=2=29 ,
所以 b1−15+15×−19=29−15−145=0 ,
所以 bn−15+15−19n=0 ,
所以 bn=15−15−19n ,
所以 EXn=an+2bn+01−an−bn=an+2bn=1 .
19. (1) 由焦距 2c=2 ,即 c=1 ,可知两焦点坐标分别为 F1−1,0,F21,0 ,
则 2a=1−−12+32−02+1−12+32−02=4 ,
即 a=2,b2=a2−c2=3 ,
所以 C 的标准方程为 x24+y23=1 .
(2)

(i) 设 P,Q 的坐标分别为 Px1,y1,Qx2,y2 ,设 l1 的方程为 y−32=k1x−1 , 联立 x24+y23=1y−32=k1x−1 ,整理得 3+4k12x2+8k132−k1x+432−k12−12=0 , 所以 Δ=64k1232−k12−43+4k12432−k12−12=144k12+483k1+108>0 , x1+x2=8k1k1−323+4k12, x1x2=432−k12−123+4k12,
NPNQ=NP⋅NQ=x1−1,y1−32⋅x2−1,y2−32
=x1−1x2−1+y1−32y2−32
=x1−1x2−1+k12x1−1x2−1=1+k12x1x2+1−x1+x2
=1+k123+4k12432−k12−12+3+4k12+8k132−k1=61+k123+4k12,
设 l2 的方程为 y−32=k2x−1 ,同理有 NSNT=61+k2​23+4k22 ,
所以 61+k123+4k12=61+k223+4k22 ,即 k12=k22 ,
由于 k1≠k2 ,所以 k1=−k2 ,即 k1+k2=0 ,所以 l1,l2 的斜率之和为定值 0 .
(ii) 不妨设 l1 的斜率 k1>0 ,其倾斜角为 α ,
则四边形 PSQT 的面积为 S四边形PSQT=12PQSTsin2α ,
PQ=x1−x22+y1−y22=1+k12x1−x2=1+k12⋅144k12+483k1+1083+4k12 =23⋅1+k12⋅12k12+43k1+93+4k12,
同理得 ST=23⋅1+k22⋅12k22+43k2+93+4k22 ,
由 k1+k2=0 ,得 ST=23⋅1+k12⋅12k12−43k1+93+4k12 ,
又 12sin2α=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=k1k12+1 ,
所以 S四边形PSQT=12k13+4k122⋅144k14+168k12+81=363k1+4k12⋅16k12+563+9k12 .
设 t=16k12+563+9k12 ,由基本不等式得 t≥216k12⋅9k12+563=863 ,
当且仅当 k1=32 等号成立,
设 ft=36tt2+163,t∈863,+∞,f′t=1216−3t2t2+1632