高中数学人教版第二册下A第九章 直线、平面、简单几何体简单几何体表格教案

这是一份高中数学人教版第二册下A第九章 直线、平面、简单几何体简单几何体表格教案，共8页。教案主要包含了情景引入，温故知新，新知学习，新知应用——表面积，新知探究，新知应用——体积，新知升华，新知小结等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
春季
课题
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
教科书
书 名：普通高中教科书 数学 必修 第二册
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
1. 掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，了解公式推导过程，理解棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。
2. 会求简单组合体的表面积和体积, 能用公式解决简单的实际问题。
3. 培养数学思想，如转化思想、类比思想、一般化与特殊化思想等，提高逻辑推理、直观想象等核心素养。
教学内容
教学重点：
1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式。
教学难点：
1. 棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解。
教学过程
一、情景引入
生活中，我们经常会通过送礼物来表达自己的喜爱之情，感恩之情.
某天，小明精心为自己的妈妈准备了如下长方体礼物（棱长分别为8cm，15cm，20cm），你能估计小明最少需要用掉多少面积的包装纸吗？
二、温故知新
初中我们已经学习了直棱柱的侧面展开图并求解了相应直棱柱的表面积(表面积即几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小).
所用方法是将长方体表面积转化为展开图面积，将空间问题转化为平面问题.从而情景问题中的答案为.
思考1：类比长方体表面积的求解，你能想出求解棱柱、棱锥、棱台表面积的方法吗？
将求长方体表面积转化为求其展开图面积.
三、新知学习
1、棱柱表面积
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
根据棱柱定义，得到，两个底面是多边形，侧面呢？分别看一下直棱柱和斜棱柱.
（1）直棱柱（gegebra动画演示直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱等底面和侧面）
直棱柱的侧面为一个一个的矩形，可以合成一个大矩形.
（2）斜棱柱（以斜三棱柱为例，gegebra动画演示）

斜棱柱的侧面为一个一个的平行四边形，只有在特殊的情况下才能合成一个大平行四边形.
2、棱锥表面积
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
根据棱锥定义，得到，底面是多边形，侧面呢？分别看一下正棱锥和斜棱锥.
（1）正棱锥（gegebra动画演示正五棱锥、正六棱锥、正七棱锥等底面和侧面）
（2）斜棱锥（以一般四棱锥为例，gegebra动画演示）

3、棱台表面积
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．
根据棱台定义，得到，上底面和下底面是多边形，侧面呢？分别看一下正棱台和斜棱台.
（1）正棱台（gegebra动画演示正三棱台、正四棱台、正五棱台等底面和侧面）
（2）斜棱台（gegebra动画演示一般四棱台底面和侧面）
4、多面体（棱柱、棱锥、棱台）表面积具体计算
方法：求多面体表面积转化为求展开图面积，进一步就是求平面多边形面积.
常见平面多边形面积计算：
(1)三角形
（2）平行四边形
多边形可分割成三角形进行计算.特别地，边长为的正三角形面积为，边长为的正六角形面积为.
注：棱柱、棱锥、棱台的高和斜高
棱柱（棱台）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即.
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离，即.
棱柱、棱锥、棱台的斜高是侧面多边形中顶点到底边的高，即.
四、新知应用——表面积
例1 如图所示，四面体各棱长均为，求它的表面积.
解：因为四面体各棱长均为，所以四面体四个面都是正三角形，因此，四面体的表面积为
五、新知学习
几何体的体积即几何体占有空间部分的大小.你已经学习过哪些体积公式了？
小学时，我们分别学习了正方体、长方体，圆柱、圆锥的体积公式，具体如下：
类比已学知识，你能猜想一下棱柱、棱锥的一般体积公式吗？
猜想，.
下面来验证下猜想.
平面中，等底等高的三角形面积相等,即.
它能否推广到空间，即空间中，等底面积、等高的柱体体积是否相等？
六、新知探究
如图，两沓一模一样的A4纸（各500张），其中一沓改变形状，此时两沓纸体积相同，引出祖暅原理.
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.即幂势既同，则积不容 异.幂指水平截面面积，势指几何体的高，积指几何体体积.
利用祖暅原理重新理解刚才做的实验.这两个几何体高是一样的，被平行于底面的任意平面所截，截得的两个截面的面积总相等，所以根据祖暅原理，两个几何体体积相等，即使它们截面形状是不一样的.因此在高和截面总相等的情况下，可以用比较常见的几何体代替不常见的几何体，计算体积.严格的祖暅原理的证明，需要用到微积分，可以参看本节课学习任务单中推荐的学习资源栏目.
另一个实验.另一沓也拿一张纸，截成两张一模一样的纸片，分别放在两沓纸上，此时符合祖暅原理的条件，体积相等。把一张仍放最上面，一张放在另一沓纸中间，此时两沓纸体积是一样的，但不满足祖暅原理应用条件.因此，祖暅原理是证明几何体体积相等的充分不必要条件.
祖暅原理是由祖暅提出的.祖暅（5世纪-6世纪），祖冲之之子，他在刘徽的基础上和父亲的帮助下，巧妙地将难求的几何体体积问题，转化为构造截面总相等的几何体问题.将空间问题转化为平面问题.将求复杂几何体体积问题，转化为求简单几何体体积问题.17世纪，意大利数学家卡瓦列里也给出了上述结论，我国比其他国家早一千多年.我们应该为我国的数学家们点赞.
1、棱柱体积
思考2：等底等高的柱体体积相等吗？
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根据祖暅原理，等底等高的柱体体积相等.因此.
2、棱锥体积
推导1：等底等高的锥体体积相等.因此.
推导2：从柱体体积得到锥体体积.
思考3：你能否找到等底等高的柱体与锥体之间的联系？从而得到体积的联系.以如图的三棱柱为例.
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解：如图将棱柱分割成3个小棱锥，其中，，因此.
一般地， .
3、棱台体积
解：设， 分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高，为割去的小棱锥的高.
，，，，

.综上，.
七、新知应用——体积
例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米?（计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）
解：由题意知，
，∴这个漏斗的容积为
八、新知升华
思考4：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，，，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
九、新知小结
1、知识
棱柱
棱台
棱锥
表面积
求几何体表面积转化为求相应展开图面积
体积
求复杂几何体体积转化为求简单几何体体积
2、方法：空间问题转化为平面问题.
3、思想：转化思想、类比思想、一般化与特殊化思想.