2026年天津一中高考数学统练试卷（一）

这是一份2026年天津一中高考数学统练试卷（一），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2=1}，B={0,1}，则A∪B=( )
A. {1}B. {0}C. {−1,0,1}D. {−1,0}
2.高三某班10名同学的数学模考成绩(满分150)依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为( )
A. 112.5B. 115C. 142.5D. 145
3.已知x,y∈R,x=lg63,2=6y，则( )
A. y>xB. xy1D. x+ y> 2
4.在△ABC中，“cs2A=cs2B”是“△ABC为等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. y= −x2+2|x|
B. y=x 4−x2
C. y=|x| 4−x2
D. y= −x2+2x
6.已知正四棱锥P−ABCD的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为( )
A. 102B. 2( 10−1)3C. 2( 10+1)3D. 2 103
7.如图，双曲线x2−y28=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与该双曲线的两支分别交于A、B两点(A在线段F1B上)，⊙O1与⊙O2分别为△AF1F2与△ABF2的内切圆，其半径分别为r1、r2，则r1r2的取值范围是：( )
A. (13,12)B. (13,23)C. (12,23)D. (0,+∞)
8.已知数列{an}满足a1=2，bn=an+1an，且{bn}是公比为2的等比数列，b3=8，则a7+a8=( )
A. 222+229B. 221+228C. 222+228D. 221+229
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)图像的两条相邻对称轴间的距离为π2，现将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，下列说法正确的是( )
A. 直线x=2π3是函数g(x)的图象的一条对称轴
B. 点(−π6,0)是函数g(x)图象的对称中心
C. 函数g(x)在[0,π3]上单调递增
D. 函数g(x)在[−π6,5π12]上的值域是[1,2]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数z满足z(1−2i)=|3+4i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为 ．
11.已知(ax2+1x)3的展开式中常数项为3，a∈R，则(ax2+1x)3的展开式中x3的系数为 ．
12.已知直线l：x−y+1=0关于P(1,1)对称的直线l2与圆C：x2+y2+2x+2m=0相离，则m的范围为是 ．
13.我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1−12的深空探测目标(含行星、小行星等)里随机选一个执行任务，定义：
事件A：“选中奇数编号目标”(对应具有稀有金属开采价值的天体)
事件B：“选中编号小于7的目标”(对应我国近地测控覆盖范围内的天体)
事件C：“选中1，2，4，8号目标”(对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标)
现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有 ．
①P(AB)=P(A)P(B)
②P(A|C)=14
③P(A|C)+P(A|C−)=1
④P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
14.在△ABC中，CA=a，CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a，b表示DE为 ，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为 ．
15.定义在R上的函数f(x)满足3f(x)=f(x+1)，且当x∈[0,1)时，f(x)=1−|2x−1|.若关于x的方程f(x)=ax2−2ax+1(a>0)至多有三个不同的解，则正实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知sinA− 3csB+C2=0,△ABC的面积为6 3．
(1)求角A；
(2)若c=3，
(i)求边a的大小；
(ii)求cs(2C+A)．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD=2BC=6，CD=3 5，cs∠ADC=2 55，AP=6．
(1)求证：AC⊥平面PAD；
(2)设点G是△PCD的重心．
(i)求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；
(ii)设AG∩平面PBD=F，求AFFG．
18.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7=4a2，S5=40，数列{bn}满足b12+b222+⋯bn2n=2n+1+n−2(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)将数列{an}，{bn}的公共项从小到大排列组成新的数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题15分)
离心率为 32的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线被圆O：x2+y2=5所截的弦长为2 2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)P是圆O上任意一点，过P作椭圆C的两条切线PM、PN，M、N为切点．
(ⅰ)证明：PM⊥PN；
(ⅱ)作PQ⊥MN于Q，判断|QF1|+|QF2|是否为定值？若是求出其定值，若不是请说明理由．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=axexex−1(a∈R)．
(1)当x>0时，f(x)>1，求a的取值范围；
(2)设a=1，exn+1=f(xn)，n∈N*，且x1=12．
(i)证明：数列{xn}是递减数列；
(ii)证明：|exn−1|lg62，即x>y，故A错误；
选项B：x>0，y>0且x≠y，由x+y=1和基本不等式可得xy0，
∴圆心C(−1,0)到直线l2：x−y−1=0的距离d=|−1−0−1| 2= 2，
∵直线l2与圆C相离，∴d>r，
即 2> 1−2m，又1−2m>0，解得−120,h(2)=f(2)−g(2)=0−10，考虑18x−37>0的情况即可，
令18x−37=t，t∈(0,8]，
则18x−37x(2−x)=324tt2+38t+37=324t+37t+38≤32438+2 37=19− 372，
当且仅当t=37t，即t= 37时，取到等号．
因此，a≥19− 372．
所以正实数a的取值范围为[19− 372,+∞)．
故答案为：[19− 372,+∞)．
作出函数的图象，通过观察函数解析式和画函数图象来发现规律，由二次函数y=ax2−2ax+1过定点(0,1)，(2,1)，并在图象上发现该二次函数与f(x)至少有两个交点，再去研究什么情况下至多再有一交点，即可得出结论．
本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了一次函数、二次函数及基本不等式的应用，属于难题．
16.【答案】A=π3 (i)a=7；(ii)−2398
【解析】解：(1)因为sinA− 3csB+C2=0，
在△ABC中，cs=B+C2=csπ−A2=sinA2，
所以sinA− 3sinA2=0，即sinA2(2csA2− 3)=0，
因为A∈(0,π),A2∈(0,π2),sinA2≠0，
所以csA2= 32，可得A2=π6，
可得A=π3；
(2)(i)c=3，A=π3，S=6 3，
因为S△ABC=12bcsinA=12×3×bsinπ3=6 3，解得b=8，
由余弦定理可得a= b2+c2−2bccsA= 64+9−2×8×3×12=7；
(ii)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，
所以sinC=csinAa=3× 327=3 314，
因为c0)的左、右焦点分别为F1、F2，
过F1作垂直于x轴的直线被圆O：x2+y2=5所截的弦长为2 2．
∴弦长为2 5−c2=2 2，则c= 3
∵e=ca= 32，∴a=2．
b2=a2−c2=22−( 3)2=4−3=1．
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
(2)(i)证明：P是圆O上任意一点，过P作椭圆C的两条切线PM、PN，M、N为切点，
设P(x0,y0)，则x02+y02=5，过点P的直线方程为y−y0=k(x−x0)，即y=kx+(y0−kx0).
联立直线与椭圆方程y=kx+(y0−kx0)x24+y2=1，消去y得：x24+[kx+(y0−kx0)]2=1，
展开并整理得(1+4k2)x2+8k(y0−kx0)x+4(y0−kx0)2−4=0．
∵直线与椭圆相切，
∴Δ=64k2(y0−kx0)2−4(1+4k2)[4(y0−kx0)2−4]=0，化简得(x02−4)k2−2x0y0k+y02−1=0．
设直线PM、PN的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是上述方程的两个根，
根据韦达定理得：
k1k2=5−x02−1x02−4=4−x02x02−4=−1，∴PM⊥PN．
当直线PM、PN中有一条直线的斜率不存在时，
设直线PM的斜率不存在，则PM的方程为x=±2，
当x=2时，代入圆的方程x2+y2=5得y=±1，此时P(2,1)或P(2,−1)．
若P(2,1)，则直线PN的斜率为0，满足PM⊥PN；
若P(2,−1)，同理可得PM⊥PN．
当x=−2时，同理可证PM⊥PN．
综上，PM⊥PN．
(ii)PQ⊥MN于Q，|QF1|+|QF2|为定值．理由如下：
当切线PM，PN的斜率都存在时，设 M(x1,y1)，N(x2,y2)，
切线PM，PN方程为 y−yi=ki(x−xi)，i=1，2，
由(i)得(4−xi2)k2+2xiyiki+1−yi2=0,i=1,2，
又M，N点在椭圆上，得 xi24+yi2=1,i=1,2，
代入得 (2yki+xi2)2=0，
即ki=−xi4yi,i=1,2，
切线PM，PN方程为 xix4+yiy=1,i=1,2，
又过P点，则xix04+yiy0=1,i=1,2，
∴直线MN方程为x0x4+y0y=1，
由PQ⊥MN得直线PQ方程为y−y0=4y0x0(x−x0)，
联立直线MN方程与直线PQ方程x0x4+y0y=1y−y0=4y0x0(x−x0)，
解得xQ=4x0(1+3y02)x02+16y02=4x0(1+3y02)5+15y02=4x05，
代入直线PQ方程得yQ=15y0，
由x02+y02=5得Q点轨迹方程为xQ2165+yQ215=1，
则Q点恰好在以F1，F2为焦点，半长轴长为4 55的椭圆上，
当切线PM，PN的斜率有一个不存在时，
如PM斜率不存在，则M(2,0)，P(2,1)，N(0,1)，
直线MN方程为 y=−12x+1,PQ方程为 y−1=2(x−2)，
可解得Q(85,15),Q点也在椭圆xQ2165+yQ215=1上，
若M(−2,0)，同理，
故|QF1|+|QF2|=8 55．
(1)由圆的弦长公式求出c，结合离心率求出a，b，可得椭圆标准方程；
(2)(i)设P(x0,y0)，切线y−y0=k(x−x0)，联立切线方程与椭圆方程，消元后由Δ=0 得k1k2=−1，从而得PM⊥PN；当切线PM，PN的斜率有一个不存在时，求出此时的P点以及PM，PN直线，同样得证；
(ii)先求得切线方程为xix4+yiy=1,i=1,2，利用切线都过P得直线MN的方程，由垂直得直线PQ方程，从而可得Q点坐标，再利用P在圆上，可得Q点轨迹方程，判断其为椭圆，焦点也是F1，F2，得|QF1|+|QF2|定值．当切线PM，PN的斜率有一个不存在时，求出Q点坐标后也在上述椭圆上，从而证得结论．
本题考查圆的弦长公式、离心率、椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】[l,+∞) 证明：因为a=1，由(1)知，当x>0时，f(x)>1，
(i)因为x1=12>0，所以ex2=f(x1)>1，所以x2>0，
因为x2>0，所以ex3=f(x2)>1，所以x3>0，以此类推，xn>0(n∈N*)，
因为xn+1−xn=lnexn+1−xn=lnxnexnexn−1−lnexn=lnxnexn−1，
令g(x)=x−(ex−1)，则g′(x)=1−ex，
当x>0时，g′(x)0，所以ax+a−10，所以ex2=f(x1)>1，所以x2>0，
因为x2>0，所以ex3=f(x2)>1，所以x3>0，以此类推，xn>0(n∈N*)，
因为xn+1−xn=lnexn+1−xn=lnxnexnexn−1−lnexn=lnxnexn−1，
令g(x)=x−(ex−1)，则g′(x)=1−ex，
当x>0时，g′(x)