陕西省榆林市2026届高三上学期1月期末检测训练数学试卷（Word版附解析）

这是一份陕西省榆林市2026届高三上学期1月期末检测训练数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知一组样本数据的方差为2，则数据的方差为（ ）
A．0B．2C．D．
4．已知双曲线的虚轴长为，离心率为2，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．5B．10C．D．20
5．已知数列满足，则（ ）
A．-1B．C．2D．3
6．如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
7．已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．把的图象向右平移个单位长度，得到的函数是奇函数
10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ）
A．
B．若，则直线倾斜角为
C．若的面积为16，则直线的斜率为
D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为
11．已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．1
三、填空题
12．中国灯笼又统称为灯彩、主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．育德中学4名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有 种．（用数字作答）
13．已知，则 ．
14．若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则 ，数列的前项和为 ．
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的值．
17．如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，点，是侧棱上的动点，．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
18．已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：为定值；
(3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
19．定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组；
(3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：．
参考答案
1．D
【详解】由，得：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.
2．C
【详解】，解得或，，
又，，故C正确．
故选：C．
3．D
【详解】样本数据的方差为，设样本平均数为，
，
数据的平均数为
，
，故D正确．
故选：D．
4．B
【详解】因为双曲线的虚轴长，离心率为2，所以，
由，得，所以，
即双曲线的实轴长．
故选：B．
5．C
【详解】解法1：由数列满足，
可取，则；
取，则；
取，则，
猜想数列是周期为3的周期数列，.
解法2：由得，，逐项代换可得，
数列是周期为3的周期数列，.
故选：C
6．A
【详解】取的中点，的中点，连接、，
因为是正三角形，所以，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，所以与所成角的余弦值为.

故选：A
7．A
【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0，
不妨设，由函数可知．
不妨设，，，，
所以，，所以
所以，
则有，
因为，所以，所以，
所以.
故选：A.
8．B
【详解】设，则，
当且仅当时取等，因此在上单调递增．
可知为上的奇函数．
解法1：因为，所以．
原不等式可化为，即．
由于在上单调递增，因此，解得，
故选：B．
解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称，
且在上单调递增，．
原不等式可化为，解得，
故选：B．
9．AC
【详解】观察图象得，令的最小正周期为，则，解得正确；
又，即，而，则，所以，B不正确；
因为，则，所以在上单调递增，C正确；
，D不正确．
故选：AC
10．ACD
【详解】设，则，则，故，故A正确；
设直线，联立，则，
设，则，
故，
解得，则直线的斜率为，倾斜角为或，故错误； ，解得，
则直线的斜率为，故正确；
由上述分析可知，
圆，圆心，半径，
易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直，
，两切点连线的斜率为，
故两切点连线为，
即，故D正确．
故选：ACD．
11．BCD
【详解】设公切线与两曲线与分别相切于，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
由题意可得，，即，
设，则，
令得．当时，；
当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时，
的图象如图所示：
由题意可知函数的图象与直线有两个交点，因此，解得，
故选：BCD．
12．
【详解】因为这4名同学每人有三种选购方法，所以共有种不同的选购方法．
故答案为：81.
13．
【详解】法1：因为，所以，即，
所以；
法2：因为，所以，即，
所以；
故答案为：
14． 21
【详解】因为，则，曲线在点处的切线方程为，
又因为切线过点，所以，可得，
所以，所以．
设数列的前项和为，
由二项式定理可得，，
当为奇数时，，
由于，为不小于1的整数，所以，
当为偶数时，，所以，
故，所以，
所以．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，所以，由，
及余弦定理得：，
解得．
（2）解法1：由，得．由正弦定理得，，
即．
因为，则，所以是锐角，，则，
所以．
解法2：由，得．由余弦定理得，
所以，
又由，得，
所以．
16．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为．
若，则在单调递增．
若，则由得．
当时，；当时，．
因此在单调递减，在单调递增．
（2）解法1：由（1）知当在单调递增，
时，，不满足题意．
当时，由（1）知．
因为，所以．
设，则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以，当且仅当时取等号．
故，结合可知，故．
解法2：因为，所以为的极小值点．
因此，解得．
当时，，由（1）知在单调递减，在单调递增．
因此，满足题意．
综上，．
解法3：因为，所以恒成立．
当时，显然成立，此时．
当时，恒成立．
设，则．
设，则．
当时，在单调递增，，即，
在单调递增，因此．
当时，恒成立．当时，在单调递减，
，即在单调递增，．
综上，．
17．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）法1，如图，取的中点，连接，

因为分别是和的中点，所以，且，
又因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面．
法2：由题意得平面且，
因此以为坐标原点，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则，设，则
有，
设平面的法向量为，
则，即，取，
则，即平面的一个法向量为，
则平面，所以平面．
（2）在直三棱柱中，平面且，
因此以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，由题易知，为平面的一个法向量．
设，则，有，
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，即平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
令，则，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．
18．(1)；
(2)证明见解析，；
(3)存在.
【详解】（1）因为轴时，，
所以点在椭圆上，则，
又，联立解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）当的斜率为零时，为椭圆长轴端点，
，
则，
当的斜率不为零时，设的方程为：，
设，
由消去得，
，
所以，
又，
则，
因此，即，
所以．
（3）根据题意得，，，
，
则，
同理，
而，，
由（2）知，
于是，，
所以，
整理得，则或（舍去），
因为，而，
解得，即，所以存在点满足题意．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解法1：当时，，解得．
当时，两式相减得，
整理得，因为，所以，
所以，从而，
因此，
所以，当时数列为常数列．
由于，因此，即，且和适合上述关系．
因此数列的通项公式为．
解法2：当时，，解得．
当时，两式相减得，
整理得，因为，所以，
所以，从而，累加可得，
由于，因此，即，且和适合上述关系．
因此数列的通项公式为．
（2）证明：不妨设，由（1）知数列为递增数列，因此．
充分性：若为三角数组，则．因为、，所以，
所以，
所以为三角数组．
必要性：若为三角数组，则，即，
所以，所以为三角数组．
故为三角数组的充要条件是为三角数组．
（3）证法1：由（2）知，从数列的前项中任意取出不同的三项，
这三项为三角数组等价于从前个正整数中依次取出三个不同的数，
这三个数为三角数组．从中一次任取三个数和，
共有种可能．
记从中一次任取三个数为三角数组的可能数为，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，，故，
由累加法可得：，
故．
证法2：由（2）知为三角数组的充要条件是为三角数组．
从中任意取出不同的三个数，不妨设，共有种方法．
对于定值，
当，时，为三角数组，记满足条件的三角数组的个数为，
当为奇数时，，
故为偶数时，，
当为偶数时，所有满足条件的三角数组的个数为
，
此时
当为奇数时，所有满足条件的三角数组的个数为
，
所以．
故对任意都成立．
证法3：由（2）可知，原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数，
则这三个数为三角数组的概率．
设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”，
事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”，
则，
易知，从而，
下面证明：，
由法2的分析可得满足有个，且，
故，又，
故，
下面用数学归纳法证明：，
当时，，故时命题成立；
设，设成立，则成立，