湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一下学期数学第一次月考模拟试卷含解析（word版+pdf版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 (测试范围:第五、六章)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在平面直角坐标系 中,角 的终边经过点 ,则 .
2. 若向量 ，且 三点共线，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量 ，且 三点共线，得 ， 又 ，得 ，解得 .
3.已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,则 , 所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
4.如图，在四边形 中， ， ，设 ， ，则 等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以
.
5.计算:
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为
，所以原式的值为 .
6.已知平面向量 满足 ，且 ，则
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】已知平面向量 满足 ,且 ,则 ,即 , 所以 ,又 ,且 ,所以 .
7.已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 . 若 的最小正周期为 ,且 ,则
A. B. C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】 是奇函数， ，则 将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),所得图象对应的函数为 . 即 的最小正周期为 ,得 ,则 ,若 ,
则 ,即 ,则 ,
则 .
8.已知平面向量 ,且 . 已知向量 与 所成的角为 ,且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为
A. B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】已知平面向量 ,且 . 已知向量 与 所成的角为 ,且 对任意实数 恒成立,则 对任意实数 恒成立,又 ,则 对任意实数 恒成立，则 ，即 ，则 ,又 ,则 的最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 的内角 的对边分别为 ,下列四个命题中正确的是
A. 若 ，则 一定是锐角三角形
B. 若 ，则 一定是等边三角形
C. 若 acsA=bcsB,则 一定是等腰三角形
D. 若 acsB+bcsA=a,则 一定是等腰三角形
【答案】BD
【解析】若 ,故 ,解得 为锐角,并不能说明 一定是锐角三角形,故 错误; 由于 ,利用正弦定理: ,整理得 =tanC，利用正切函数的性质，所以 ，所以 为等边三角形，故 正确；若 ， 利用正弦定理 ，所以 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，故 错误； 若 ，利用正弦定理:sinAcsB+sinBcsA=sinA，所以 ，故 ，所以 为等腰三角形，故 正确.
10.函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的有
A. 是 的一条对称轴 B. 在 上单调递增
C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】由 的部分图象知, ,最小正周期为 , 所以 ,所以 ,即 ,解得 . 因为 ,所以 . 所以 . 对于 ,当 时, ,选项 正确; 对于 的单调递增区间为 ,解得 ,当 时,故 在 上单调递增,在 上单调递减,选项 B 错误; 对于 ,选项 错误; 对于 , ,所以 是偶函数,选项 正确.
11.已知点0为 所在平面内一点，满足 ，则(其中 )
A. 当 时，直线 过边 的中点
B. 若 时， 与 的面积之比为 2 : 3
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则 满足
【答案】AD
【解析】对于 ,设 的中点为 ,当 时, ,即 三点共线，直线 过边 的中点，选项 正确；对于 ，延长 至 ，使 ，延长 至 ， 使 ,连接 ,设其中点为 ,连接 并延长至 ,使 ,连接 , 则四边形 是平行四边形，所以 时, ，所以 ，即 三点共线，且 ，根据同底等高三角形面积相等，则 ，即 与 的面积之比为 1:2，选项 B 错误；对于 ,由于 且 时, ,故 0 为 的外心和重心, 故 为等边三角形，则 ，由 可得 ， 故 ，选项 C 错误；对于 ，因为 ，且 ， 由 得， ，所以 ，即 ，选项 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.设向量 ，且 ，则 ________.
【答案】-2
【解析】 ,可得 . 向量 ,可得 ,解得 .
13.已知 ,若 ,则 _______.
【答案】
【解析】由 ,所以 ,又 ,所以 , 而 ，所以 .
14.已知 0 为 的外心，若 ，则 的最大值为________.
【答案】
【解析】因为0为 的外心,若 ,取 的中点 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,
两边同乘 可得 ,可得 becsA = m (csA+2) AD AB+m (csA+2) DO AB m (csA+2) ,所以 besA m ，由正弦定理可得: 时 ，即 ,在 中, ,所以 ,而 ,可得 . 当且仅当 ,即 ,即 时取等号,所以 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 的内角 的对边分别为 . 设 .
(1)求A；
(2)若 ，求 .
【解析】(1) 的内角 的对边分别为 . 由正弦定理得: .
(2) 由正弦定理得 解得 或
.
16.已知函数 .
(1)求 的定义域与最小正周期；
(2)讨论 在区间 上的单调性.
【解析】(1) 的定义域为 . . 所以, 的最小正周期
(2)利用整体思想，令: ，解得: Z),即函数的单调递增区间为: ,同理: 函数的单调减区间为: ,由于 ,则函数的单调递增区间为 ,函数的单调递减区间为 .
17.如图， 的内角 A, B, C 的对边分别为 是边 BC 的中点，点 D 在边 AB 上，且满足 ， 与 交于点 .
(1)试用 表示 和 ；
(2)若 ，求 .
【解析】
(1) ,设 ,又 三点共线, , .
(2) ，设
,又 P、C、D三点共线, , ,又 . 或 (舍去), .
18.已知向量 ，函数 ，
(1)若 的最小值为 -1，求实数 的值；
(2)是否存在实数 ，使函数 有四个不同的零点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) 向量 ,函数


, 令 ,则 ,则 ,对称轴 ,①当 ,即 时,当 时,函数取得最小值此时最小值 ,得 (舍),②当 ,即 时,当 时, 函数取得最小值此时最小值 ,得 ,③当 ,即 时,当 时,函数取得最小值此时最小值 ,得 (舍),综上若 的最小值为 -1,则实数 .
(2)令 ,得 或 方程 或 在 上有四个不同的实根,则 ,得 ,则 ,即存在实数 ,使函数 有四个不同的零点,实数 的取值范围是 .
19.设 0 为坐标原点,定义非零向量 的 “相伴函数” 为 R), 称为函数 的 “相伴向量“.
(1)设函数 ，求函数 的相伴向量 ；
(2)记 的 “相伴函数 “为 ，若方程 在区间 上有且仅有四个不同的实数解,求实数 的取值范围;
(3)已知点 满足 ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值， 当点 运动时,求 的取值范围.
【解析】(1) ,所以函数 的相伴向量 , .
(2) 的 “相伴函数” ，方程 为 则方程 ,有四个实数解,所以 ,有四个实数解,令 , ,
① 当 时， ，② 当 时， ,所以 ,
作出 的图象,如图所示 ,所以函数 与 有四个交点时,实数 的取值范围为 .
(3)向量 的 “相伴函数” ，其中 ， ,当 ,即 时, 取得最大值，所以 ，所以 ，令 (a ,则 ,所以 ,解得 ,因为 , 所以 ,即 ,所以 满足 ,所以