湖北省圆创联盟2025-2026学年高三上学期2月期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省圆创联盟2025-2026学年高三上学期2月期末联考数学试卷（Word版附解析），文件包含湖北曾都一中等校圆创2026届高三上学期2月联考数学试题Word版含解析docx、湖北曾都一中等校圆创2026届高三上学期2月联考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题
卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的概念即可.
【详解】由题意得， ，
故 的虚部是 .
故选：C
2. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简两个集合，再根据交集的概念运算.
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【详解】 ，即 ，得 ，故 ；
由 ，得 ，故 ，
故 .
故选：A
3. 命题“对 ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用参变分离求出 的范围，再结合充分、必要条件的定义求出.
【详解】若 为真命题，则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，则 ，
因为命题“对 ”为假命题，所以 ，
故命题为假的一个充分不必要条件是 .
故选：B
4. 若将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，
则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用变换得出解析式，再根据余弦型函数的性质可得.
【详解】由题意可知， 为奇函数，
则 ，得 ，
因为 ，所以 .
故选：D
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5. 已知向量 满足 在 上的投影向量是 ，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量求出 ，利用 求出 ，最后利用向量的模的计算公式即可.
【详解】因为 ， 在 上的投影向量是 ，所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
则 的最小值为 .
故选：A
6. 已知双曲线 是坐标原点， 是 上的一点，过 的直线分别与 的两条渐近线交于
两点，且 ，则 的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据渐近线方程的概念，设出点的坐标，根据平面向量线性运算的坐标表示，求出点 的坐标，
根据渐近线方程斜率与倾斜角的关系，以及三角恒等变换，再根据正弦面积公式，求出结果即可.
【详解】由题意可知两条渐近线方程分别为 ，
不妨设点 ，其中 ，
可得 ，
由 得 ，
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得 ，解得 ，
可知 ，即 ，化简得 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，可知 ，
由 ，解得 ，所以 ，
由 ，可得 ，
则 .
故选：D
7. 已知实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，根据直线与圆的位置关系求出 的范围，再利用对勾函数的单调性求最值.
【详解】因为 ，所以原点 在圆外，
令 ，则 ，
则直线 与圆 存在交点，
则圆心 到直线 的距离为 ，得 ，
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则 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
故 的最小值是 .
故选：D
8. 袋中有 9 个除了颜色外完全相同的小球，其中有 3 个白球，2 个红球，4 个黄球.从中不放回地取球，每
次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照第 次球的颜色进行分类，利用排列组合的知识求解即可.
【详解】取 次球，共有 种，
第 次为白球，前 次为红球或黄球，且红球和黄球均至少一个，
共有 种；
第 次为红球，前 次为白球或黄球，且白球和黄球均至少一个，
共有 种；
第 次为黄球，前 次为红球或白球，且红球和白球均至少一个，
共有 种；
则 .
故选：C
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 的最小值为 2
B. 若 ，则 的最大值为
C. 若 ，且 ，则 的最大值为
D. 若 ，则 的最小值为 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质，以及基本不等式取等号的条件，逐一判断各选项正误.
【详解】对于选项 A， ，当且仅当 时，即 时取等号，因为 ，所以等号
不成立，所以选项 A 错误；
对于选项 B，当 时， ，则 ，当且仅当 时，即 时取等
号，
所以 ，即 ，所以选项 B 正确；
对于选项 C， ，因为 ，所以 ，当且仅当 时，即
时取等号，即 ，
所以 ，所以 ，所以选项 C 正确；
对于选项 D，因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，即 时
取等号，
所以 ，所以选项 D 正确；
故选：BCD.
10. 记 的内角 的对边分别为 ，下列说法中正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
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C. 若 ，则 为锐角三角形
D. 若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】A 由正弦定理判断；B 利用二倍角的余弦公式以及 A 选项可得；C 举反例；D 作出三角形，数形
结合.
【详解】由正弦定理 以及 可知， ，则 ，故 A 正确；
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
结合 A 选项可知 ，故 B 正确；
若 为钝角， 为锐角，则 ，
则满足 ，但 不是锐角三角形，故 C 错误；
过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，交 于点 ，
因为 ，所以 ， ，
欲使 为锐角三角形，则点 位于线段 上，不含两个端点，
故 的取值范围是 ，故 D 错误.
故选：AB
11. 如图，在三棱锥 中， .设直线 与平面 所成的角为
，则下列说法中正确的是（ ）
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A. 存在点 ，使得
B. 恰存在两条直线 ，使得直线 与直线 、 所成的角均为
C. 当 时， 的余弦值的取值范围是
D. 当 时，二面角 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】当平面 平面 时可证 ，即可判断 A，利用锐角三角函数得到 ，
即可判断 B，过 作 平面 于 ，过 作 于 ，连接 ，即可得到 为直线
与平面 所成的角，即可得到 ，从而判断 C，设
点 在平面 内的投影为点 ，过 作 于 ，连接 ，即可得到 为二面角
的平面角，从而得到 ，求出 的范围，即可判断 D.
【详解】对于 A：当直线 在平面 上的投影为直线 即平面 平面 时，
因为 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ，在 中 ，
所以 ，设 的平分线为 ，连接 ，在平面 中过 作 ，
则 ，
要使直线 与直线 、 所成的角均为 ，
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则点 在平面 上的投影在 的平分线上，
如图在 内存在直线 使得直线 与直线 、 所成的角均为 ，
在 的邻补角 内存在直线 使得直线 与直线 、 所成的角均为 ，
所以恰存在两条直线 ，使得它与直线 ， 所成的角为 ，故 B 正确；
对于 C：过 作 平面 于 ，过 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，即 ，
于是 ，
又 ， ，所以 ，
即当 时， 的余弦值的取值范围是 ，故 C 错误；
对于 D：设点 在平面 内的投影为点 ，
则 ，
过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角.
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在 中， ，
其中 是平面 内以 为圆心， 为半径的圆上的点 到直线 的距离，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的范围是 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 ，则 __________.（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】利用展开式的通项求解.
【详解】展开式的通项为 ，
令 ，则 ，则 ，
故 .
故答案为：
13. 已 知 数 列 满 足 ， 且 对 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的定义，结合分类讨论思想、数列的单调性进行求解即可.
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【详解】 ，
当 时， ，
所以该数列奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列， 为最小项，
该数列偶数项是以 为首项， 为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列， 为最小项，
因此 对 恒成立，即 恒成立，
因为数列奇数项的最小值为 ，偶数项的最小值为 ，
所以数列 的最小值为 ，故只需 ，
因此 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知函数 有最小值，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分 、 、 、 四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值.
【详解】①若 ，则 ，
因为 的图象的对称轴为 ，
故该函数在 上单调递增，所以 ，
若 ，则 ，当 时， ，则 有最小值 ；
若 ，因为 在 上单调递减，所以 ，
若 存在最小值，则 ，得 ，舍去；
若 ，因为 在 上单调递增，所以 ，
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若 存在最小值，则 ，得 ；
②若 ，因为 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，则 的最小值必在 上取得，符合题意；
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
四､解答题；本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 所对的边分别为 为锐角.
（1）求 ；
（2）若 ，延长 至 ，使得 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式、辅助角公式化简即可；
（2）利用正弦定理得出 ，设 ，利用 求出 ，在
中利用正弦定理求出 ，最后利用面积公式即可.
【小问 1 详解】
由 以及正弦定理可得，
，
则
因为 ，所以 ，则 ，
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则 ，
因为 ，所以 ，则 ，得 .
【小问 2 详解】
因为 ， ， ， ，
则在 中分别利用正弦定理得 ，
即 ，
设 ，
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，即 ，
在 中利用正弦定理得， ，得 ，
则 的面积为 .
16. 如图，在长方体 中，底面 是边长为 2 的正方形，高为 分别为 ，
的中点.
（1）求证： 平面 ；
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（2）若 为直线 上的动点，当二面角 的正弦值最大时，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以 为原点建系，利用坐标计算得出 即可求证；
（2）计算两个平面的法向量，根据平面 平面 求出点 坐标即可.
【小问 1 详解】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ,
则 ，故 共面，
因为 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
设 ，
因为 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 ， ，则 ， ，
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当二面角 正弦值最大时，平面 平面 ，
则 ，得 ，则 ，
此时 的长为 .
17. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）是否存在正实数 ，使得 仅有 1 个零点？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）存在， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，结合一元二次函数的性质分类讨论求出单调区间；
（2）记 ，结合（1）可知， ，解方程组即可.
【小问 1 详解】
的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
令 ，对称轴为 ， ， ，
若 ，则对称轴 ， ，则 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，则 在 上单调递增；
若 ，则对称轴 ， ， ，
此时 在 上仅有一个零点，即 ，
则当 时， ， ；
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当 时， ， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由（1）可知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
记 ，则 ，即 ，
当 以及 时， ，
欲使 仅有 1 个零点，则需 ，
则 ，即 ，
因为 在 上单调递增， ，
所以 ， ，
故存在 ，使得 仅有 1 个零点.
18. 已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，上､下顶点分别为 ，记四边形 的内
切圆为 为 上任意一点，过 作 的两条切线分别交 于 两点.
（1）求 的标准方程；
（2）求证：直线 过定点；
（3）求 的最小值.
【答案】（1） ；
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（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）求出直线 方程，再求出半径即可得到圆的方程；
（2）设直线 方程为 ，根据相切得到 ，联立直线与椭圆方程得到两根之积为
，从而有 ，同理得 ，即证明直线过定点；
（3）设 ，联立椭圆方程，分别求出 ，再证明其倒数平方和为定值，最后再利用基
本不等式即可求出最值.
【小问 1 详解】
由题意，知 ，所以直线 方程为 ，
即 ．
内切圆的圆心 （即原点 ）到直线 的距离为 ，
即圆 的半径 ．所以圆 的标准方程为 ．
【小问 2 详解】
设直线 方程为 ，由直线 与圆 相切，
可知原点 到直线 距离 ，整理得 ．
将直线 的方程代入椭圆 ，可得
，整理得 .
所以 ，即 ，所以 ．
同理 ，故 、 、 三点共线，所以直线 过定点 ．
【小问 3 详解】
由（2）知 、 、 三点共线，所以
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设 ，代入椭圆方程得 ，则 ．
所以 ．
同理 ．
所以 ．
因 ．
所以 ．
所以 ．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
19. 为提高学生的身体素质，某学校每天免费给学生提供水果和牛奶两种营养餐，且每人每天只能选择其中
一种.经过统计分析发现：学生第一天选择水果和牛奶的概率均为 .若前一天选择水果则第二天选择水果的
概率为 ，选择牛奶的概率为 ；若前一天选择牛奶则第二天选择水果的概率为 ，选择牛奶的概率也是
，如此往复.
（1）求某同学第 天选择水果的概率 ；
第 18页/共 21页
（2）若某同学累计 次选择水果时共花了 天，求 ；
（3）若某同学累计 次选择牛奶时共花了 天，求 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出 的表达式，再通过配凑得到数列 等比数列，即可求出；
（2）先列出 的分布列，求出 ，进而求出 的分布列，计算即可；
（3）先列出 分布列，求出 ，进而求出 的分布列，计算即可.
【小问 1 详解】
由题意， ，且 ，
，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， .
【小问 2 详解】
若第一天选择水果，目标达成，概率为 ；
若第一天选择牛奶，目标未达成，第二天选择水果的概率为 ，与第一天选中水果的概率相同，而目标还
是选择水果，
根据题设，因此还需要 ，所以 的分布列为
1
第 19页/共 21页
，解得 ，
首先达到累计 天选中水果时，由题设，花了 天，
接着再选一天，如果选中水果，则目标达成，概率为 ；如果选中牛奶，则目标未达成，
由于选中牛奶时，下一天选中水果的概率为 ，与第一天选中水果的概率相同，而还需要累计 天选中水果
达成，
故还需要 天，所以达成目标共需要 天，
所以 的分布列为
，
【小问 3 详解】
设第一天选中牛奶的概率为 时，首次选中牛奶时共用了 天，
同求 ，可求得 的分布列为
1
， ，
第一天如果选中牛奶，目标达成，概率为 ；
第一天如果选中水果，目标未达成，第二天选中牛奶的概率为 ，故还需要 天，合计 天，
，
首先达到累计 天选中牛奶时，由题设，花了 天，
第 20页/共 21页
接着再选一天，如果选中牛奶，则目标达成，概率为 ；如果选中水果，则目标未达成，
由于选中水果时，下一天选中水果的概率为 ，故还需要 天，所以达成目标一共需要
天，
所以 的分布列为
，