安徽省A10联盟2026届高三下学期2月开学学情检测数学试卷（Word版附解析）

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满分 150 分，时间 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题的四个选项中，只有一项是最符
合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 如下一组数据：85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第 80 百分位数是（ ）
A. 102 B. 101 C. 100 D. 99
4. 等差数列 中， ，则 （ ）
A. 23 B. 21 C. 19 D. 17
5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆 与直线 相切，且经过坐标原点和 ，则圆 的半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若
，恰存在三个不同的实数 ，使得 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 在 内不单调，则实数 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设 为数列 的前 项和，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在三棱锥 中， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则三棱锥 正三棱锥
B. 若 ， ， 周长均为 4，则三棱锥 是正三棱锥
C. 若 ， ， 的内切圆的面积均为 ，则三棱锥 是正三棱锥
D. 若 ，则三棱锥 是正三棱锥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，则 __________．
13. 已知向量 是单位向量，向量 在 上的投影向量为 ，向量 在 上的投影向量为 ，则 的
最小值为__________．
14. 已知椭圆 的左、右焦点为 ，且 是抛物线 的焦
点，记 与 的一个交点为 ，若直线 与 只有一个公共点，则 的离心率为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了 100 名学生，得到如下列联表．
否喜欢围棋
性别 合计
是 否
男生 20
女生 20 50
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合计 100
（1）补充完整列联表，根据 的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？
（2）为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，
没有平局．已知每局甲胜乙的概率为 ，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率．
附： ，其中 ．
0 1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 在 中，内角 的对边分别是 ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ， 为 的角平分线，且 ，求 的面积．
17. 如图几何体是圆锥 的一部分，且 ，点 是 上一点（不与 重合），二面角
的大小为 ．
（1）求证： ；
（2）取 的中点 ，连接 ，若 平面 ．
（i）求 的度数；
（ii）求点 到平面 的距离．
18. 已知双曲线 的渐近线方程为 和 ，右焦点为 ．
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（1）求 的方程；
（2）过 的直线 交 的右支于 两点．
（i）求直线 倾斜角的取值范围；
（ii）过 作 的平行线交 于 ，过 作 的平行线交 于 ，求证： ．
19. 已知 ，直线 与曲线 和 都相切．
（1）求 的值；
（2）若 ，其中 ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求证： ．