浙江省Z20名校联盟2025-2026学年高二下学期创新班联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若 ,则 的取值可以为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,代入选项 A: 当 时, ,故 A 正确;代入 B，C，D 选项都不正确.
2. 已知向量 满足 ，若 为 在 上的投影向量，则向量 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 为 在 上的投影向量， , 所以 ,所以 .
3. 设 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ,设 为条件 为条件 ,
当 时， ， ，则 ，则 ；
当 时，因为 ，则 或 ，直线 与 的关系不确定，即 ，
则 为 的充分不必要条件 .
4.已知圆 ，直线 ，则圆 上到直线 的距离等于 的点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】 ,则圆上的点到直线的距离为 的点为 3 个,
其中 2 个为过圆心 且与 平行的直线 与圆的交点,
剩下一个为与 平行且与圆相切的直线 与圆相切的切点.
5.已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 8 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】B
【解析】设 ,则 成等比数列,即 .
6.已知双曲线 的两条渐近线分别为 ,点 为 右支上任意一点,它到 的距离分别为 ,到右焦点的距离为 ,则
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】C
【解析】 ,则 ,则 ,故 错误; ,故 A 错误; .
7.一个几何体 垂直投影到平面 上,形成图形 ,我们就称 为 在平面 上的正投影. 在长方体 中， ， ， ， ， 的中点分别是 ， ， ，则长方体 在平面 上的正投影的面积为
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】设底面半径为 ,高为 ,母线长为 ,则 .
当圆锥扁平 ( 趋向于 0) 时, 以 为坐标原点, 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,则 ,
于是 ,
设平面 的法向量为 ,令 ,可得法向量 .
分别取平面 的法向量为 ,
平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,
于是四边形 在平面 的正投影面积为 ,
四边形 在平面 的正投影面积为 ,
四边形 在平面 的正投影面积为 ，
所以总正投影面积为 .
8.已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ,
,在 上, ,故 ,
,即 ,即 ,故 ,
另一方面 ,所以 ,故 ,
综上， .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某同学掷骰子 5 次，记录每次骰子出现的点数，统计后发现平均数为 2 ，方差为 0.8 ，则
A. 一定没有出现点数 6 B. 中位数可能为 2
C. 众数可以是 1 和 3 D. 可能出现 4 点
【答案】ABC
【解析】若出现 6,则 ,故 A 正确;
若 5 次分别为1,1,2,3,3,故 正确; 若出现一次 6，则 ，故另外四次只能均为 2，则与平均数 2 矛盾，故 D 错误.
10.已知抛物线 的焦点为 ,若 上存在 个互不重合的点 满足 ,下列结论中正确的有
A. 若 ,则 的最小值为 4
B. 若 ,则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最小值为 16
【答案】ACD
【解析】A 项: 当 时,易知 为焦点弦,所以最小值为通径长度 ,故 A 正确;
B 项: 不妨设 在第一象限,由焦半径倾斜角公式得 ,故 , 故 B 错误;
C 项: 当 时,易知 和 为过焦点的两条互相垂直的焦点弦,不妨设 和 在第一象限,且 在 的右侧,由焦半径倾斜角公式得 , 故 ,故 正确;
D 项: ,同理 ,
,当且仅当 时,等号成立,故 D 正确.
11.莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用. 所有大于 1 的正整数 都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于 1 的自然数中,只有 1 和它本身两个因数的数) 的乘积形式: 数， 为质数， )，例如: ，对应 ， ， ， ， ， . 现对任意 ,定义莫比乌斯函数 记 的所有真因数 (除了 1 和 以外的因数) 依次为 . 则下列说法正确的是
A.
B. 对正整数
C.
D. 若 且
【答案】AD
【解析】A 项: ,所以 ,故 A 正确;
B 项: 取 ,则 ,故 B 错误;
C 项: 取 ,则 , 则 ,故 C 错误;
D 项: ,且 ,所以 ,且 为偶数, ,
,
所以 ,所以 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则 ________.
【答案】2
【解析】 .
13.已知等差数列 中， ，公差 ， ， 为数列 的前 项和，则 _______.
【答案】
【解析】 ,所以 ,数列 的周期为 2,且 , ,当 为偶数时, ,当 为奇数时, ,综上可知, .
14.设正实数 满足 ,则 ________.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,
构造 ,令 ,由余弦定理可知 , 同理, ,且 , 即点 为 三角形 的费马点.
由 ,得 , 所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.为了解观看 “浙 BA” 联赛与性别是否有关系, 某机构随机抽取了部分市民, 调查他们对赛事的关注情况, 得到如下表格:
(1)对照 列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析关注 “浙 BA” 赛事是否与性别有关；
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 6 名市民，参加“浙
BA” 赛事知识问答,再从这 6 名市民中抽取 3 人参加抽奖活动,记这 3 人中女性人数为 ,求 的分布列和期望.
附: ，其中 .
【解析】(1)零假设 : 关注 “浙 BA” 赛事与性别无关,
,
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,
即认为关注 “浙 BA” 赛事与性别有关联, 此推断犯错误的概率不超过 0.001 .
(2)关注赛事的市民中，男性 150 人，女性 75 人，
由分层抽样知, 抽取男性市民 4 人, 女性市民 2 人,
的取值为 0,1,2,
所以 .
16.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 .
【解析】(1)当 时， 是 的中点，所以 ，
两边同时平方,得 ,
即 ,即 .
又由基本不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立，所以 ,
所以 ，即 面积的最大值为 .
(2)设 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 . ①
在 中，由正弦定理得 ，
即 . ②
当 时, ,
又 ,代入①②中,化简得 ,
所以 ,得 ,即 .
17.如图,已知四棱锥 的底面为正方形,平面 底面 .
(1)若侧面 为正三角形，求二面角 的余弦值；
(2)若 ，以正方形 为底面作正方体 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【解析】
(1)取 ，记 的交点为 ，连接 .
因为 为正方形，所以 ；
又因为平面 底面 ,平面 底面 ,所以 平面 ,所以 .
因为 为正三角形,所以 ,且 ,所以 平面 平面 ,
所以 ，而 ，所以二面角 的平面角为 ，所以 .
(2)以 为 轴， 为 轴，过点 的平面 的垂线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 ,则 .
设 ,则 .
因为 ，所以 . ①
由(1)可知， ，所以 ，即 . ②
以正方形 为底面作正方体 ,
不妨取 ,则 . 设平面 的法向量为 ,
因为 ,所以 ,取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，平方得 ，
又因为 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,此时可取 ,符合题意,
故 的最大值为 .
18.已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)当 时,若不等式 恒成立,求实数 的取值范围;
(3)若 ，证明 .
【解析】(1)由条件得 ，令 ，则 .
① 当 时， ， 单调递增，且 ，所以 是 的极小值点，无极大值点.
② 当 时,令 ,则 在 单调递减,在 单调递增,
(i) 当 时, ,所以 ,
而 ,所以 在 有唯一零点 ,
所以 是 的极大值点, 是 的极小值点.
(ii) 当 时, ,即 恒成立,所以 无极值点.
(iii) 当 ,所以 ,
而 ,所以 在 有唯一零点 ,
所以 是 的极小值点, 是 的极大值点.
(2)由(1)得,①当 时,在 上, 单调递增,
所以 ,即 ,
所以 在 上为增函数,所以 ,所以 时满足条件.
② 当 时，在 上， ， 单调递减，
所以当 时,有 ,即 ,
在 上为减函数,所以 ,不合题意.
综上,实数 的取值范围为 .
(3)由(1)得，当 时， ，即 ，
要证不等式 ,只需证明 ,
只需证明 ,只需证 ,
设 ,则 ,
所以当 时, 恒成立,故 在 上单调递增,
又 ,所以 恒成立,所以原不等式成立.
19.已知椭圆的标准方程为 分别为椭圆的左、右焦点,点 为椭圆上一动点,且在 轴上方,延长 分别交椭圆于点 .
(1)证明: 的周长大于 8；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)求 面积的最大值.
【解析】(1)连接 ，注意到 ，
故 的周长为 .
(2)设 ，
由 ，且 ，故 ，
又 ,即 ,
因此 ,故直线 的方程为: ,即 ,
联立 ,得 ,
则 ,即 ,因此 ,
而 ,因此 ,
故直线 的方程为: ,即 .
(3)因为点 在 轴上方，所以直线 ， 斜率不为 0，
设直线 ,直线 ,
联立 ,可得 ,则 ,
注意到 ,故 ,
联立 ,可得 ,则 ,
注意到 ,故 .
,因为 ,
所以 ,
则 ,
设 ,则 ,
则 单调递增,故 ,则 面积的最大值为 .性别
不关注赛事
关注赛事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
0
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